225 Binomialverteilung und weitere Verteilungen > Binomialkoeffizient – Kombinatorik Wie viele unterschiedliche Sitzanordnungen von acht Gästen auf acht Stühlen gibt es bei einer Geburtstagsfeier? Wie viele unterschiedliche Zahlen kann man mit den Ziffern 1, 2 und 3 bilden? Jede Ziffer darf dabei nur einmal vorkommen. Schreibe alle Zahlen an. In einem Regal stehen a) fünf b) neun c) zwölf verschiedene Bücher. Wie viele unterschiedliche Anordnungen dieser Bücher sind möglich? Wird eine Auswahl aus einer Menge von Objekten getroffen, kann die Reihenfolge der Objekte eine Rolle spielen (geordnete Auswahl), und ob jedes Objekt nur einmal (ohne Wiederholung) oder öfter (mit Wiederholung) ausgewählt werden kann. Geordnete Auswahl (Variation) ohne Wiederholung Aus einer Urne mit fünf Kugeln, die mit 1 bis 5 beschriftet sind, werden nacheinander drei Kugeln gezogen und die Ziffern notiert. Die gezogenen Kugeln werden nicht in die Urne zurückgelegt. So entstehen dreistellige Zahlen, z.B. 514. Wie viele unterschiedliche Zahlen lassen sich bilden? Für die erste Stelle gibt es fünf Möglichkeiten, für die zweite Stelle vier und für die dritte Stelle der Zahl noch drei Möglichkeiten. Nach dem Zählprinzip können so 5 · 4 · 3 = 60 unterschiedliche Zahlen gebildet werden. Man spricht von einer geordneten Auswahl (Stichprobe) ohne Wiederholung. Es gilt: 5!=5·4·3·2·1 5 ! _ (5 − 3) ! = 5 · 4 · 3 | : (5 − 3) ! Geordnete Auswahl ohne Wiederholung Man betrachtet eine Menge mit n Elementen, aus denen k Elemente ausgewählt werden, wobei es auf die Reihenfolge ankommt. Sind dabei alle k Elemente verschieden, ergibt sich für die Anzahl der möglichen Auswahlen: n ! _ (n − k) ! = n · (n − 1) · … · (n − k + 1) Die Permutationen einer Menge mit n Elementen lassen sich als Sonderfall für k = n ansehen. Unter Berücksichtigung der allgemeinen Gültigkeit obiger Formel muss dann gelten: n ! _ (n − n) ! = n ! _ 0 ! = n ! Es ist daher sinnvoll 0 ! = 1zu definieren. Fakultät von 0 0 ! = 1 Aus einer Urne mit neun Kugeln, die mit 1 bis 9 beschriftet sind, werden nacheinander fünf Kugeln gezogen und die Ziffern notiert. Die gezogenen Kugeln werden nicht in die Urne zurückgelegt. So entstehen fünfstellige Zahlen, z.B. 51 483. Wie viele unterschiedliche Zahlen lassen sich bilden? Bei der Pferde-Wette „3 aus 9“ müssen von den neun beim Rennen antretenden Pferden drei gemäß der Reihenfolge ihres Einlaufs ins Ziel ausgewählt und auf einem Wettschein angekreuzt werden. Wie viele unterschiedliche Möglichkeiten gibt es, den Wettschein auszufüllen? 828 829 830 Ó Arbeitsblatt Permutation b6je8i Merke Merke 831 832 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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