224 Binomialverteilung und weitere Verteilungen > Binomialkoeffizient – Kombinatorik 10 Anordnungen unterscheidbarer Objekte (Permutationen) In einer Urne befinden sich vier Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 4 beschriftet sind. Es werden der Reihe nach alle Kugeln aus der Urne gezogen und die Nummern notiert. So entsteht zum Beispiel die „Zahl“ 4132. Wie viele unterschiedliche Zahlen gibt es? Für die erste Stelle der Zahl hat man vier Möglichkeiten, für die zweite Stelle nur mehr drei, für die dritte zwei und für die letzte Stelle nur mehr eine Möglichkeit. Nach dem Zählprinzip ergeben sich 4 · 3 · 2 · 1 = 24unterschiedliche Anordnungen für die Kugeln, d.h. 24 verschiedene Zahlen. Dieses Prinzip der Anordnung von Objekten lässt sich auf andere Kontexte übertragen. Bei einem 1 000-m-Lauf treten auf sechs Bahnen auch sechs Läufer gegeneinander an. Die Bahnen werden ausgelost. Vergabe der 1. Bahn ⇒ 6 Möglichkeiten Vergabe der 2. Bahn ⇒ noch 5 Möglichkeiten Vergabe der 3. Bahn ⇒ noch 4 Möglichkeiten Vergabe der 4. Bahn ⇒ noch 3 Möglichkeiten Vergabe der 5. Bahn ⇒ noch 2 Möglichkeiten Vergabe der 6. Bahn ⇒ noch 1 Möglichkeit Nach dem Zählprinzip gibt es 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720unterschiedliche Bahnverteilungen (Anordnungen) für die sechs Läufer. Dies lässt sich verallgemeinern, indem man nach den Anordnungsmöglichkeiten von n unterschiedlichen Elementen einer Menge fragt. Jede solche Anordnungsmöglichkeit wird als Permutation bezeichnet. Nach den obigen Überlegungen gibt es zu einer solchen Menge n · (n − 1) · (n − 2) · … ·3 · 2 · 1 Permutationen. Für dieses Produkt gibt es eine abgekürzte Schreibweise: n!=n·(n − 1) · (n − 2) ·… ·3 · 2 · 1 Permutationen Die Anzahl der Permutationen (Anordnungen) einer Menge von n unterschiedlichen Elementen ist: n!=n·(n − 1) · (n − 2)·…·3·2·1 (sprich: n Fakultät) Fakultät einer natürlichen Zahl n Geogebra: n! 4! 24 TI-Nspire: n! 7! 5 040 Casio: n! 6! 720 Berechne die Fakultäten. Erfinde ein Beispiel dazu. a) 3 ! b) 7 ! c) 10 ! d) 15 ! In einer Urne befinden sich acht Kugeln, die mit den Ziffern 1 bis 8 beschriftet sind. Die Kugeln werden nacheinander ohne Zurücklegen gezogen und die Ziffern in der Reihenfolge der gezogenen Kugeln notiert. Wie viele unterschiedliche Ziffernanordnungen sind dabei möglich? Merke Technologie Ó Technologie Anleitung Fakultät 24ir92 826 827 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=