229 10.2 Binomialverteilung Lernziele: º Die Binomialverteilung einer Zufallsvariable erkennen und berechnen können º Die Eigenschaften der Binomialverteilung benennen können º Bernoulli-Versuche erkennen können Grundkompetenz für die schriftliche Reifeprüfung: WS-R 3.2 B inomialverteilung als Modell einer diskreten Verteilung kennen […] Wahrscheinlichkeitsverteilung binomialverteilter Zufallsgrößen angeben können, Arbeiten mit der Binomialverteilung in anwendungsorientierten Bereichen WS-R 3.3 S ituationen erkennen und beschreiben können, in denen mit Binomialverteilung modelliert werden kann Die Binomialverteilung stellt eine wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen X dar. Linda und ihre Freundin Kathi spielen Tennis. Aus Erfahrung weiß man, dass Linda als bessere Spielerin gegen Kathi jedes Spiel mit einer Wahrscheinlichkeit von 6 0 % = 0,6 gewinnt. Sie spielen sechs Spiele. Linda interessiert sich für die Wahrscheinlichkeit, vier von den sechs Spielen zu gewinnen. Die Wahrscheinlichkeit, dass Linda gleich die ersten vier Spiele gewinnt, lässt sich nach dem Multiplikationssatz sofort berechnen: P(die ersten vier von sechs Spielen gewinnen, die restlichen verlieren) = 0,64 · 0,42 ≈ 0,021 Wie bestimmt man aber die Wahrscheinlichkeit, mit der sie von den sechs Spielen beliebige vier Spiele gewinnt? Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der von Linda gewonnen Spiele an. Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit P (X = 4). Der Binomialkoeffizient ( 6 4)beschreibt, auf wie viele unterschiedliche Arten von sechs Spielen vier gewonnen werden können. Da sich die Wahrscheinlichkeit, dass Linda ein Spiel gegen Kathi gewinnt, von Spiel zu Spiel nicht verändert, braucht man nur den zuerst berechneten Wert 0 ,64 · 0,42 mit ( 6 4) multiplizieren und erhält so die gesuchte Wahrscheinlichkeit. Es gilt: P (X = 4) = ( 6 4) · 0,64 · 0,42 ≈ 0,311. Die Wahrscheinlichkeit 0,6, mit der Linda ein Spiel gewinnt, wird als Erfolgswahrscheinlichkeit bezeichnet. Die Erfolgswahrscheinlichkeit bleibt für jedes Spiel gegen Kathi unverändert. Bei jedem Spiel gibt es nur zwei mögliche Versuchsausgänge: Linda kann gewinnen oder verlieren. Man spricht von einem Bernoulli-Experiment. Die Anzahl der von Linda gewonnen Spiele ist eine natürliche Zahl, die mindestens 0 und höchstens 6 ist, da sie sechs Spiele gegeneinander spielen. Binomialverteilung Tritt bei einem Zufallsversuch das Ereignis E („Erfolg“) immer mit der Wahrscheinlichkeit p ein, wird der Versuch n-mal unter den gleichen Bedingungen durchgeführt und gibt die Zufallsvariable X die Anzahl der Versuche an, bei denen das Ereignis E eintritt, gilt für die Wahrscheinlichkeit P(X = k): f(k) = P(X = k) = ( n k) · p k · (1 − p) n−k mit 0 ⩽ p ⩽ 1und k = 0, 1, 2, 3, …, n Die diskrete Zufallsvariable X heißt dann binomialverteilt. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung f wird als Binomialverteilung mit den Parametern n und p bezeichnet. p wird Erfolgswahrscheinlichkeit genannt und bleibt bei jedem Versuch gleich. Es gibt nur zwei mögliche Versuchsausgänge („Erfolg“ – „Misserfolg“). Kompetenzen Merke Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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