230 Binomialverteilung und weitere Verteilungen > Binomialverteilung 10 Eine Eisenwarenhandlung verkauft Schrauben in Packungen zu je 200 Stück. Der Ausschussanteil pro Packung wurde über einen längeren Zeitraum beobachtet und mit 4 % festgestellt. Erkläre, warum die Zufallsvariable X = „Anzahl der defekten Schrauben“ binomialverteilt ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Packung a) genau sieben b) höchstens sieben c) mehr als sieben, aber höchstens elf Schrauben d) mindestens zwei Schrauben einen Defekt aufweisen? Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der defekten Schrauben an. Es liegt eine Binomialverteilung vor, weil X eine diskrete Zufallsvariable ist, es nur zwei mögliche Ausgänge, „Schraube defekt“ oder „Schraube nicht defekt“ gibt und die Erfolgswahrscheinlichkeit für X immer 4 % = 0,04 ist. a) P(X = 7) = ( 200 7 ) · 0,047 · 0,96193 ≈ 0,1417 b) Es können 0, 1, 2, …, 7 Schrauben defekt sein. Die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ergibt die gesuchte Wahrscheinlichkeit. P(X ⩽ 7) = P(X = 0)+ P(X = 1)+ P(X = 2)+ … + P(X = 7) ≈ 0,4501 c) Es können 8, 9, 10 oder 11 Schrauben defekt sein. P(7 < X ⩽ 11) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) + P(X = 11) ≈ 0,4424 d) Da P (X ⩾ 2) aufwendig zu berechnen ist, kommt man mit der Gegenwahrscheinlichkeit schneller ans Ziel: P (X ⩾ 2) = 1 − P(x < 2) = 1 − [P(X = 0) + P(X = 1)] ≈ 0,9973 Binomialverteilung Geogebra: im Wahrscheinlichkeitsrechner unter „binomial“ die Werte für n und p eintragen TI-Nspire: Menü ⇒ Statistik ⇒ Verteilungen ⇒ Binomial Pdf (Einzelwerte) bzw. Binomial Cdf (Bereiche) die Werte für p, n bzw. die Schranken eintragen Casio: binomialPDf bzw. binomialCDf oder in Statistik/Calc/Verteilung Binomialverteilung wählen Ein Schütze trifft mit 70 %-iger Wahrscheinlichkeit das Ziel. Es werden acht Schüsse abgegeben. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Treffer an. a) Erkläre, warum X eine binomialverteilte Zufallsvariable ist. b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Schütze das Ziel bei den ersten fünf Schüssen trifft und dann nicht mehr? c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Schütze das Ziel genau fünfmal trifft? d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Schütze das Ziel höchstens einmal trifft? e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Schütze das Ziel mindestens zweimal trifft? Erhebungen der Exekutive haben ergeben, dass in einer Großstadt jede achte Person, die ein Auto lenkt, bei einer Kontrolle den Sicherheitsgurt nicht angelegt hat. Es werden vier Personen kontrolliert. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Personen an, die ohne angelegten Sicherheitsgurt erwischt werden. a) Erkläre, warum X eine binomialverteilte Zufallsvariable ist. b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nur die ersten beiden kontrollierten Autofahrerinnen und Autofahrer den Gurt nicht angelegt haben? c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens eine Autofahrerin bzw. ein Autofahrer den Gurt nicht angelegt hat? d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Autofahrerinnen bzw. Autofahrer den Gurt nicht angelegt haben? Muster 852 Technologie Ó Technologie Anleitung Binomialverteilung v2nf54 853 854 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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