31 Grundlagen der Differentialrechnung > Der Differenzenquotient b) Der Differenzenquotient von f in [1; 10] entspricht der Steigung der Sekante s. Daher kann man k und einen Punkt von s (z.B. (1|1 )) in die Geradengleichung einsetzen: s(x) = kx + d → 1 = − 2 _ 9 ·1+d → d = 11 _ 9 → s(x) = − 2 _ 9 ·x+ 11 _ 9 Gegeben ist der Graph einer Funktion f. 1) Zeichne die Sekanten von f in [a; b]und [a; c]ein. 2) Berechne die Differenzenquotienten von f in [a; b] und [a; c] und interpretiere diese. 3) Stelle die Funktionsgleichung der Sekante von f in [a; b]und [a; c]auf. a) a = 1; b = 4; c = 8 x f(x) 2 4 6 8 10 12 –4 –2 2 4 6 –4 –2 0 f c) a = 0;b = 3;c = 8 x f(x) 2 4 6 8 10 12 –4 –2 2 4 6 –4 –2 0 f b) a = 0; b = 3; c = 7 x f(x) 2 4 6 8 10 12 –4 –2 2 4 6 –4 –2 0 f d) a = 0;b = 5;c = 8 x f(x) 2 4 6 8 10 12 –4 –2 2 4 6 –4 –2 0 f Berechne den Differenzenquotienten von f in [− 3; 5] und interpretiere diesen. a) f(x) = x 2 − 3 c) f(x) = 7 e) f(x) = x 3 − 3 x 2 + 5 b) f(x) = (x + 3) · (x − 5) d) f(x) = 3x3 − 2 f) f(x) = − 2 x 3 + 3 x2 − 3 Gegeben ist der Graph der Funktion f. Gib jeweils drei verschiedene Intervalle von f an, in denen die mittlere Änderungsrate von f 1) positiv 2) negativ ist. Gegeben sind die Funktion f und die beiden Punkte P = (u|f(u))und Q = (r|f(r)) mit r > u. Gib an, ob die Aussage richtig ist und begründe deine Entscheidung. a) Ist der Differenzenquotient von f in [u; r] positiv, dann ist die Funktion f streng monoton steigend. b) Ist der Differenzenquotient von f in [u; r] null, dann ist die Funktion eine konstante Funktion. c) Ist der Differenzenquotient von f in [u; r] negativ, dann gilt f(r) < f(u). d) Ist der Differenzenquotient von f in [u; r] null, dann gilt P = Q. e) Ist der Differenzenquotient von f in [u; r] null, dann gilt f(r) = f(u). 87 88 x f(x) 2 4 6 8 10 12 –4 –2 2 4 6 –4 –2 0 f 89 Ó Technologie Darstellung Sekantensteigung 36bf4p 90 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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