40 Grundlagen der Differentialrechnung > Einfache Ableitungsregeln 2 Bilde die Ableitungsfunktion der Funktion f mit f(x) = x 7 und gib die Steigung der Tangente von f an der Stelle − 2 an. Um die Ableitungsfunktion zu bilden, wird die Potenzregel verwendet: f‘(x) = 7x7−1 = 7x6 Da man mit Hilfe der Ableitung die Steigung der Tangente von f an der Stelle − 2berechnen kann, gilt: k = f‘(− 2) = 7 · (− 2) 6 = 7·64 = 448 Bilde die Ableitungsfunktion der Funktion f und gib die Steigung der Tangente von f an der Stelle − 1 an. a) f(x) = x 5 c) f(x) = x 3 e) f(x) = x 9 g) f(x) = x 34 i) f(x) = x 12 b) f(x) = x 4 d) f(x) = x 6 f) f(x) = x 11 h) f(x) = x 25 j) f(x) = x 2 Die Ableitungsfunktion der Funktion f : ℝ → ℝ mit f(x) = xist gegeben durch f‘(x) = 1. a) Erkläre die Richtigkeit der Aussage mit Hilfe der Potenzregel. b) Erkläre die Richtigkeit der Aussage mit Hilfe des Differentialquotienten. c) Erkläre die Richtigkeit der Aussage mit Hilfe der geometrischen Interpretation des Differentialquotienten. Um auch Ausdrücke der Form f(x) = 2x3 + 12 x + 8ableiten zu können, werden weitere Regeln benötigt. (Beweis der Regeln 1 und 3 sind auf Seite 270 zu finden. Regel 2 wird in Aufgabe 125 bewiesen.) Ableitungsregeln – Regel der multiplikativen Konstante f(x) = k · g(x), (k ∈ ℝ) → f‘(x) = k · g‘(x) Beispiel: f(x) = 3·x4 f‘(x) = 3·4·x3 = 12·x3 – Ableitung einer konstanten Funktion f(x) = c, (c ∈ ℝ) → f‘(x) = 0 Beispiel: f(x) = 10 f‘(x) = 0 – Summen- bzw. Differenzenregel f(x) = g(x) ± h(x) → f‘(x) = g‘(x) ± h‘(x) Beispiel: f(x) = x 2 + x 3 f‘(x) = 2x+3x2 Bilde die Ableitungsfunktion der Funktion f mit f(x) = 3x4 + 7 x2 + 3 x − 9. Zur Ableitung dieser Funktion werden alle obigen Regeln benötigt: f‘(x) = 3·4x3 +7·2x+3 = 12x3 + 14 x + 3 Berechnen der Ableitungsfunktion einer Funktion f Geogebra: f’(x) f(x) = 3x 2 f’(x) 6x TI-Nspire: d _ dx(f(x)) d _ dx(3x 2) 6x Casio: d _ dx(f(x)) d _ dx(3x 2) 6x Bilde die Ableitungsfunktion der Funktion f und erkläre, welche Regeln du verwendet hast. a) f(x) = 4x3 c) f(x) = − 8 x 6 e) f(x) = 5x9 g) f(x) = 3 _ 4 x 21 i) f(x) = 7 x 12 _ 4 b) f(x) = − 5 x 4 d) f(x) = − 2 x 7 f) f(x) = − 0,5 x 11 h) f(x) = − 7 _ 5 x 25 j) f(x) = − 2 x 9 _ 18 Muster 119 t 120 121 Merke Muster 122 Technologie Ó Technologie Anleitung Berechnung der Ableitungsfunktion bk6c5m t 123 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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