39 2.3 Einfache Ableitungsregeln Lernziele: º Die Ableitungsfunktion einer Funktion definieren, interpretieren und bilden können º Die Potenzregel, Summenregel, Differenzenregel anwenden können º Die Gleichung der Tangente an eine Funktion an einer Stelle aufstellen können º Höhere Ableitungen bilden können º Die Schreibweise von Leibniz anwenden können Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung: AN-R 1.3 D en Differenzen- und Differentialquotienten in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch den Differenzen- bzw. Differentialquotienten beschreiben können AN-R 2.1 E infache Regeln des Differenzierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, Regeln für [k · f(x)]‘ […] AN-R 3.1 D en Begriff Ableitungsfunktion […] kennen und zur Beschreibung von Funktionen einsetzen können Das Berechnen des Differentialquotienten kann recht aufwändig sein. Um diese Berechnung zu vereinfachen, kann man mit Hilfe von Regeln die Ableitungsfunktion von f bilden. Ableitungsfunktion einer Funktion f Die Funktion f‘: D → ℝ nennt man Ableitungsfunktion von f (oder kurz Ableitung von f). Der Funktionswert von f‘an der Stelle x entspricht der Steigung der Tangente von f an der Stelle x. Das Berechnen der Ableitungsfunktion nennt man ableiten oder differenzieren. Berechne die Ableitungsfunktion von f mit f(x) = x 5. Durch Anwendung der Regel von Horner und anschließendem Kürzen erhält man: f‘(x) = lim z→x z 5 − x 5 _ z − x = lim z→x (z − x) · (z 4 + z 3 x + z2 x 2 + z x3 + x 4) __________________ z − x = x 4 + x 3 ·x+x2 · x 2 +x·x3 + x 4 = 5x4 Bilde die Ableitungsfunktion von f mit Hilfe des Differentialquotienten. a) f(x) = x 2 b) f(x) = x 3 c) f(x) = x 4 d) f(x) = x 5 e) f(x) = x 7 Wendet man die Definition des Differentialquotienten auf eine Potenzfunktion f mit f(x) = x n (n ∈ ℕ\{0}) an, so erhält man die Potenzregel. Potenzregel (Ableitung von Potenzfunktionen) Die Ableitungsfunktion einer Funktion f : ℝ → ℝ mit f(x) = x n (n ∈ ℕ\{0}) ist gegeben durch: f‘(x) = n·xn−1 Beweis: Es gilt: f‘(x) = lim z→x f(z) − f(x) _ z − x = lim z→x z n − x n _ z − x Durch Anwendung der Regel von Horner erhält man: f‘(x) = lim z→x z n − x n _ z − x = lim z→x (z − x)·(z n−1 + z n−2 x + zn−3 x 2 + … + z 1 x n−2 + x n−1) ________________________ z − x = lim z→x (z n−1 + z n−2 x + zn−3 x 2 + … + z 1 x n−2 + x n−1) = x n−1 + x n−2 x + … + x x n−2 + x n−1 Fasst man obigen Ausdruck zusammen erhält man: f‘(x) = n·xn−1 Kompetenzen Merke Muster 117 t 118 Merke Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=