44 Grundlagen der Differentialrechnung > Einfache Ableitungsregeln 2 In einer Stadt kann die Temperatur T (in Grad Celsius) eines bestimmten Tages zwischen 6 und 18 Uhr durch die Funktion T in Abhängigkeit von der Zeit (t in Stunden) beschrieben werden: T (t) = − 0,01 t3 + 0,15 t2 + 1,17 t + 5,89 T (12) beschreibt z.B. die Temperatur zu Mittag. a) Skizziere den Graphen von T im Intervall [6; 18]. b) Berechne den Differenzenquotienten von T im Intervall [6; 18] und interpretiere das Ergebnis. c) Berechne die momentane Änderungsrate von T zu den Zeitpunkten t = 8, t = 12und t = 17. Interpretiere die Ergebnisse im gegebenen Kontext. Was bedeutet eine negative momentane Änderungsrate von T? Wird eine Kugel aus h 0 Meter Höhe mit einer Anfangsgeschwindigkeit von v 0 m/slotrecht nach oben geschossen, so ist ihre Höhe h nach t Sekunden ungefähr gegeben durch h (t) = − 5 t 2 + v 0 t + h0. Die Kugel wird aus 80 Meter Höhe mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 30 m/s geschossen. a) Berechne die Ableitung von h und erkläre ihre Bedeutung im gegebenen Kontext. b) Berechne die mittlere Änderungsrate von h in [1; 3] und [2; 7] und interpretiere die Ergebnisse. c) Nach welcher Zeit und mit welcher Geschwindigkeit landet die Kugel auf dem Boden? d) Nach wie viel Sekunden hat die Kugel eine momentane Geschwindigkeit von 15 m/s erreicht? e) Überprüfe allgemein, dass v0die Anfangsgeschwindigkeit und h0die Anfangshöhe ist. Wird eine Kugel vom Boden mit einer Anfangsgeschwindigkeit von v0 m/slotrecht nach oben geschossen, so ist ihre Höhe h nach t Sekunden ungefähr gegeben durch h(t) = − 5 t 2 + v 0 t. a) Berechne die Ableitung von h und erkläre ihre Bedeutung im gegebenen Kontext. b) Überprüfe allgemein, dass v0 die Anfangsgeschwindigkeit der Kugel ist. c) Nach welcher Zeit und mit welcher Geschwindigkeit landet die Kugel wieder auf dem Boden? Ein Körper bewegt sich gemäß der Zeit-Ort Funktion s mit s(t) = 0,4 t2 + t(t in Meter, s in Sekunden). a) Berechne den Differenzenquotienten von s im Zeitintervall [1; 3] und interpretiere das Ergebnis im gegebenen Kontext. b) Berechne die Geschwindigkeit des Körpers zu den Zeitpunkten t = 3 s; 5s; 8s. c) Zu welchem Zeitpunkt hat der Körper eine Geschwindigkeit von 9 m/s erreicht? d) Die Ableitungsfunktion von s lautet: s‘(t) = 0,8 t + 1. Interpretiere den Wert 0,8 in der Ableitungsfunktion von s. a) Sei V(r) das Volumen einer Kugel abhängig von ihrem Radius. Leite V einmal nach ihrem Radius ab. Was fällt dir auf? b) Sei A(r) der Flächeninhalt eines Kreises abhängig von seinem Radius. Leite A einmal nach seinem Radius ab. Was fällt dir auf? c) Sei V(r) das Volumen eines Zylinders mit konstanter Höhe abhängig von seinem Radius. Leite V einmal nach seinem Radius ab. Was fällt dir auf? d) Sei V(h) das Volumen eines Zylinders mit konstantem Radius abhängig von seiner Höhe h. Leite V einmal nach seiner Höhe ab. Was fällt dir auf? 141 142 143 M2 144 AN-R 1.3 AN-R 1.3 AN-R 1.3 AN-R 1.3 145 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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