101 5.3 Die trigonometrische Flächeninhaltsformel 5.3 Die trigonometrische Flächeninhaltsformel Flächeninhalt eines Dreiecks 5.29 Von einem Dreieck kennt man a, b und γ. Stelle eine Formel für den Flächeninhalt A des Dreiecks auf! LÖSUNG sin γ = h b _ a w h b = a · sin γ A = b · h b _ 2 = b · a · sin γ __ 2 = a · b _ 2 · sin γ In der letzten Aufgabe haben wir die Formel A = a · b _ 2 · sin γ erhalten. Wir haben diese Formel nur für spitzwinkelige Dreiecke hergeleitet, doch man kann zeigen, dass diese Formel auch für rechtwinkelige und stumpfwinkelige Dreiecke gilt. Analog kann man die beiden restlichen Formeln des folgenden Satzes beweisen. Satz (trigonometrische Flächeninhaltsformel) Für den Flächeninhalt eines Dreiecks gilt: A = a · b _ 2 · sin γ = a · c _ 2 · sin β = b · c _ 2 · sin α Merke: Flächeninhalt eines Dreiecks = „ Seite mal Seite halbe mal Sinus des eingeschlossenen Winkels“ 5.30 Welche Formel ergibt sich aus der trigonometrischen Flächeninhaltsformel, wenn das Dreieck rechtwinkelig (mit γ = 90°) ist? 5.31 Berechne mithilfe der trigonometrischen Flächeninhaltsformel den Flächeninhalt A des Dreiecks! a) a = 6, b = 4, γ = 30° c) a = 3,5, b = 5,7, γ = 101° e) a = 17, c = 23, β = 56° b) b = 23,5, c = 5,2, α = 81° d) a = 17, c = 23, β = 90° f) b = 0,5, c = 0,9, α = 120° 5.32 Von einem Dreieck ABC sind die Seitenlängen a und b fest vorgegeben. Der eingeschlossene Winkel γ kann variiert werden. Ermittle das Winkelmaß γ so, dass der Flächeninhalt des entstehenden Dreiecks möglichst groß ist! Begründe mit der trigonometrischen Flächeninhaltsformel! 5.33 Von einem Parallelogramm kennt man a, b und ein Winkelmaß. Leite aus der trigonometrischen Flächeninhaltsformel für Dreiecke eine Flächeninhaltsformel für dieses Parallelogramm her und berechne den Flächeninhalt A des Parallelogramms! a) a = 29, b = 33, α = 67 ° b) a = 14, b = 11, β = 49° c) a = 30, b = 24, γ = 119° 5.34 Berechne die Winkelmaße des Parallelogramms mit folgenden Angaben! a) a = 7,5 cm, b = 4,0 cm, A = 24,87cm2, α > 90° b) a=37mm,b=93mm,A=3324mm2, β > 90° 5.35 Zwei Parallelogramme stimmen in den Seitenlängen überein, die jeweiligen Winkel beim Eckpunkt A sind jedoch supplementär (dh. ergänzen einander auf 180°). Begründe, wenn möglich auf verschiedene Arten, dass diese Parallelogramme den gleichen Flächeninhalt besitzen! L hb γ b c a kompakt S. 107 AUFGABEN L γ δ β α b a Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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