102 5 BERECHNUNGEN IN BELIEBIGEN DREIECKEN 5.4 Sinussatz und Cosinussatz Angabefälle von Dreiecken Ein Dreieck ist durch drei Bestimmungsstücke festgelegt, unter denen mindestens eine Streckenlänge vorkommen muss. Wichtige Angabefälle sind die folgenden: SWW-Fall: Gegeben sind eine Seite und zwei Winkel. SSW-Fall: Gegeben sind zwei Seiten und ein Winkel, der einer dieser Seiten gegenüberliegt. SWS-Fall: Gegeben sind zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel. SSS-Fall: Gegeben sind die drei Seiten. Sinussatz L 5.36 a) Von einem spitzwinkeligen Dreieck kennt man a, α und β. Stelle eine Formel zur Berechnung von b auf! (SWW-Fall) b) Von einem spitzwinkeligen Dreieck kennt man a, α und γ. Stelle eine Formel zur Berechnung von c auf! (SWW-Fall) LÖSUNG Wir zerlegen das Dreieck durch die Höhe h c bzw. hb in zwei rechtwinkelige Dreiecke. a) hc α b c a II I A B C β γ D b) hb α b II I c a A B C β E γ Dreieck I: sin β = h c _ a w h c = a · sin β Dreieck I: sin γ = h b _ a w h b = a · sin γ Dreieck II: sin α = h c _ b = a · sin β __ b w b = a · sin β _ sin α Dreieck II: sin α = h b _ c = a · sin γ __ c w c = a · sin γ _ sin α Man kann zeigen, dass die erhaltenen Formeln für b und c auch für rechtwinkelige und stumpfwinkelige Dreiecke gelten. Man merkt sich diese Formeln leichter in der Form a _ sin α = b _ sin β und a _ sin α = c _ sin γ . Damit ergibt sich der folgende Satz: Sinussatz In jedem Dreieck gilt: a _ sin α = b _ sin β = c _ sin γ Der Sinussatz besagt, dass das Verhältnis der Länge einer Seite zum Sinus des dieser Seite gegenüberliegenden Winkels für jede Seite des Dreiecks gleich groß ist. L α b c a β γ Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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