194 9 Lineare GLEICHUNGEN und GLEICHUNGSSYSTEME in ZWEI VARIABLEN 9.2 Lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen Lösungsmethoden für lineare Gleichungssysteme Definition Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in zwei Variablen (bzw. Unbekannten) hat die Form: { a 1 · x + a 2 ·y=a0 b 1 · x + b 2 ·y=b0 (a 1 , a 2 , a 0 * R, a 1 und a2 nicht beide 0) (b 1 , b 2 , b 0 * R, b 1 und b2 nicht beide 0) Ein Zahlenpaar (x 1 y) heißt Lösung des Gleichungssystems, wenn die reellen Zahlen x und y beide Gleichungen erfüllen. • Substitutionsmethode (Einsetzungsmethode): Aus einer Gleichung wird eine Unbekannte durch die andere ausgedrückt. Der erhaltene Ausdruck wird in die andere Gleichung eingesetzt. I. x+2y=8 w x = 8 – 2y II. 3x+y=9 In II einsetzen: 3(8–2y)+y=9 w y = 3 x = 8 – 2 · 3 = 2 Lösung: (2 1 3) Probe: I. 2 + 2 · 3 = 8 II. 3 · 2 + 3 = 9 • Eliminationsmethode (Additionsmethode): Man multipliziert die Gleichungen mit geeigneten Zahlen, sodass beim Addieren der beiden Gleichungen eine Unbekannte wegfällt. I. x+2y=8 ! · (– 3) II. 3x+y=9 I. –3x – 6y = –24 ] + II. 3x+y= 9 – 5 y = – 15 w y = 3 In II einsetzen: 3x+3=9 w x = 2 Lösung: (2 1 3) • Komparationsmethode (Gleichsetzungsmethode): Aus beiden Gleichungen wird die gleiche Unbekannte durch die andere ausgedrückt. Anschließend werden die erhaltenen Ausdrücke gleichgesetzt. I. x+2y=8 w x=8–2y II. 3x+y=9 w x = 3 – 1 _ 3 y Gleichsetzen: 8–2y=3–1 _ 3 y w y = 3 Einsetzen in eine der beiden Gleichungen liefert: x = 2 Lösung: (2 1 3) R kompakt S. 200 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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