195 9.2 Lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen Grafische Lösung und Lösungsfälle für lineare Gleichungssysteme R 9.23 Löse das folgende lineare Gleichungssystem grafisch und rechnerisch! { x+2y=5 –x+y=1 GRAFISCHE LÖSUNG Wir geben die beiden Gleichungen in expliziter Form an: I. x+2y=5 É y = – 1 _ 2 x + 5 _ 2 II. –x+y=1 É y = x + 1 Da die beiden Geraden verschiedene Steigungen besitzen, müssen sie einander schneiden. Wir stellen diese im selben Koordinatensystem dar. Dies geht oft schnell, wenn man die Schnittpunkte mit den Achsen ermittelt. Der Schnittpunkt S ist der einzige Punkt, der auf beiden Geraden liegt. Das ihm entsprechende Zahlenpaar (1 1 2) ist somit die einzige Lösung des Gleichungssystems. RECHNERISCHE LÖSUNG Wir lösen das Gleichungssystem mit der Eliminationsmethode. I. x + 2y = 5 ] + II. –x+y=1 y = 2, x = 1 Lösung: (1 1 2) 9.24 Löse das folgende lineare Gleichungssystem grafisch und rechnerisch! { x+2y=5 2x+4y=3 GRAFISCHE LÖSUNG Wir geben die beiden Gleichungen in expliziter Form an: I. x + 2y = 5 É y = – 1 _ 2 x + 5 _ 2 II. 2x + 4y = 3 É y = – 1 _ 2 x + 3 _ 4 Die beiden Geraden haben die gleiche Steigung k, aber verschiedenes d. Sie sind somit parallel, aber nicht zusammenfallend. Wir stellen sie im Koordinatensystem dar. Es gibt keinen Punkt, der auf beiden Geraden liegt. Somit besitzt das Gleichungssystem keine Lösung. RECHNERISCHE LÖSUNG Wir lösen das Gleichungssystem mit der Eliminationsmethode. I. x + 2y = 5 ! · (– 2) ] + II. 2x + 4y = 3 0 = – 7 (falsche Aussage!) Es gibt kein Zahlenpaar (x 1 y), das beide Gleichungen erfüllt. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung. Die Lösungsmenge des Gleichungssystems ist leer: L = { }. S 1 2 3 4 5 x 0 1 2 3 y – 1 I II 1 2 3 4 5 x 0 1 2 3 y – 1 I II Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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