41 2.1 Zahlbereiche und Zahlenmengen Einen Punkt, dem keine rationale Zahl entspricht, können wir auf folgende Weise konstruieren. Wir errichten ein Quadrat über der Strecke von 0 bis 1 und schlagen die Diagonalenlänge � __ 2 mit dem Zirkel auf der Zahlengeraden ab. Wir erhalten einen Punkt auf der Zahlengeraden, dem die Zahl � __ 2zugeordnet wird. Wir wissen aber schon, dass diese Zahl irrational ist. Die Punkte, die den rationalen Zahlen entsprechen, füllen also die Zahlengerade nicht lückenlos aus. Diese Lücken werden aber durch die irrationalen Zahlen gefüllt. Insgesamt gilt somit: Satz Jeder reellen Zahl entspricht ein Punkt auf der Zahlengeraden und umgekehrt entspricht jedem Punkt der Zahlengeraden eine reelle Zahl. Übersicht über die Zahlenmengen R Insgesamt haben wir erhalten: N ² Z ² Q ² R Weitere Mengenbezeichnungen sind: N* = N\{0} Menge der natürlichen Zahlen ohne Null Ng = {0, 2, 4, 6, …} Menge der geraden natürlichen Zahlen Nu = {1, 3, 5, 7, …} Menge der ungeraden natürlichen Zahlen Z + = {z * Z ‡ z > 0} = N* Menge der positiven ganzen Zahlen Z – = {z * Z ‡ z < 0} Menge der negativen ganzen Zahlen Z 0 + = {z * Z ‡ z º 0} = N Menge der nichtnegativen ganzen Zahlen Z 0 – = {z * Z ‡ z ª 0} Menge der nichtpositiven ganzen Zahlen Analog sind die Mengen Z*, Q +, Q –, Q 0 + , Q 0 – , Q* und R +, R –, R 0 + , R 0 – , R* definiert. Mit der Menge R erreicht unsere Erweiterung der Zahlbereiche ihren vorläufigen Abschluss. Die Menge R hat die praktische Eigenschaft, dass für a, b * R auch a + b, a – b, a · b und a _ b (mit b ≠ 0) wieder in R liegen. Leider lassen sich mit den reellen Zahlen noch immer nicht alle Gleichungen lösen. Zum Beispiel besitzt die Gleichung x 2 = –1 keine reelle Lösung (da das Quadrat einer reellen Zahl nicht negativ sein kann). Es liegt nahe, weitere Zahlen einzuführen, sodass auch diese Gleichung lösbar wird. Aber das ist eine andere Geschichte, die wir erst in Mathematik verstehen 7 aufgreifen werden. 2.02 Kreuze die beiden richtigen Aussagen an! a) 0 ist eine natürliche Zahl. b) Jede ganze Zahl ist eine rationale Zahl. 0 ist keine rationale Zahl. Keine natürliche Zahl ist eine reelle Zahl. – 0,25 ist keine reelle Zahl. Keine rationale Zahl ist eine ganze Zahl. � __ 3ist keine irrationale Zahl. Jede irrationale Zahl ist eine reelle Zahl. – � __ 4ist eine ganze Zahl. Keine reelle Zahl ist eine natürliche Zahl. 2.03 Setze das Zeichen „*“ bzw. „+“ ein! a) 0 N b) – 3 _ 4 Z c) 1,45 Q d) � __ 2 Q e) – 1,25 R 1 0 N Z Q R AUFGABEN R Ó Arbeitsblatt 9cx5en Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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