68 3 QUADRATISCHE GLEICHUNGEN 3.3 Quadratische Gleichungen mit Parametern Lösen quadratischer Gleichungen mit Parametern Neben der Unbekannten und konkreten Zahlen kann eine Gleichung auch so genannte Parameter (Betonung: Parámeter) enthalten. Parameter sind Variablen, deren Werte zwar unbestimmt sind, aber im Verlauf der Rechnung konstant gehalten werden. Parameter werden daher im Verlauf einer Rechnung wie konkrete Zahlen behandelt. 3.44 Löse die Gleichung 2x2 –ax–a2 = 0 zuerst allgemein mit dem Parameter a und gib dann die Lösungen für a) a = 2, b) a = –2, c) a = 0 an! LÖSUNG 2 x 2 –ax–a2 = 0 x = a ± � ______ a 2 + 8a2 __ 4 = a ± � ___ 9 a 2 __ 4 = a ± 3 a _ 4 x = a = x = – a _ 2 a) Für a = 2 ergibt sich: x = 2 = x = – 1 b) Für a = – 2 ergibt sich: x = – 2 = x = 1 c) Für a = 0 fallen die beiden Lösungen zusammen: x = 0 3.45 Löse die Gleichung zuerst allgemein und gib dann die Lösungen für a = 1, a = –1 und a = 6 an! a) x 2 – ax – 2a2 = 0 b) x 2 – x – a 2 (a 2 + 1) = 0 c) x 2 –ax+a–1=0 3.46 Löse die Gleichung zuerst allgemein und gib dann die Lösungen für a = 1, a = –1 und a = 6 an! a) 3 x2 –(4a–3)·x+a(a–1)=0 b) a x2 – (a2 + 1) · x + a = 0 (mit a ≠ 0) Untersuchen von Lösungsfällen durch Fallunterscheidungen R 3.47 Für welche k * R hat die Gleichung x2 – k x + 1 = 0 genau zwei reelle Lösungen, genau eine reelle Lösung bzw. keine Lösung? LÖSUNG x 2 –kx+1=0 x = k _ 2 ± � ____ k 2 _ 4 – 1 = k _ 2 ± 1 _ 2 · � _____ k 2 – 4 genau zwei Lösungen É k 2 – 4 > 0 É k 2 > 4 É k < – 2 = k > 2 genau eine Lösung É k 2 – 4 = 0 É k 2 = 4 É k = – 2 = k = 2 keine Lösung É k 2 – 4 < 0 É k 2 < 4 É –2<k<2 3.48 Für welche k * R hat die Gleichung genau zwei reelle Lösungen, genau eine reelle Lösung bzw. keine Lösung? a) x2 –2x+k=0 b) x2 +kx+1=0 c) k x2 + x + 1 = 0 (mit k ≠ 0) 3.49 Wie muss man a * R wählen, damit die Gleichung x 2 = 3 + (ax – 3)2 nur eine Lösung für x hat? Wie lautet diese Lösung? R kompakt S. 71 AUFGABEN R AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=