69 3.4 Der Satz von Vieta 3.4 Der Satz von Vieta Zusammenhänge zwischen Koeffizienten und Lösungen Zwischen den Koeffizienten einer normierten quadratischen Gleichung und deren Lösungen gibt es Zusammenhänge, die François Viète (genannt Vieta, 1540 –1603) als Erster formulierte. François Viète (genannt Vieta, 1540 – 1603) Satz von Vieta Besitzt eine quadratische Gleichung x 2 +px+q=0 die Lösungen x 1 und x2 , dann gilt: (1) x 2 +px+q=(x–x 1)·(x–x2) (2) p = –(x1 + x 2) (3) q = x 1 · x 2 BEWEIS Es ist x1 = – p _ 2 + � __ Dund x2 = – p _ 2 – � __ Dmit D = ( p _ 2 ) 2 – q º 0. Damit ergibt sich: (1) (x – x1)·(x–x2) = (x + p _ 2 – � __ D ) · (x + p _ 2 + � __ D ) = (x + p _ 2 ) 2 – D = = x 2 +px+( p _ 2 ) 2 – [ ( p _ 2 ) 2 – q ] = x 2 +px+q (2) x 1 + x 2 = (– p _ 2 + � __ D ) + (– p _ 2 – � __ D ) = – p w – (x 1 + x 2) = p (3) x 1 · x 2 = (– p _ 2 + � __ D ) · (– p _ 2 – � __ D ) = ( p _ 2 ) 2 – D = ( p _ 2 ) 2 – [ ( p _ 2 ) 2 – q ] = q Merke p = negative Summe der Lösungen q = Produkt der Lösungen Der Satz von Vieta gilt auch, wenn D = 0 ist. In diesem Fall ist x 1 = x 2 = – p _ 2 , dh. die Gleichung hat nur eine Lösung. Man sagt auch: Die Lösungen x1 und x2 fallen zusammen. In diesem Fall ist im Satz von Vieta sowohl für x 1 als auch für x2 die Zahl – p _ 2 einzusetzen. Zerlegung in Linearfaktoren L Gilt x 2 +px+q=(x–x 1)·(x–x2), so sagt man: Der Term x 2 +px+q wird in das Produkt der Linearfaktoren (x – x1) und (x – x 2) zerlegt. 3.50 Zerlege den Term in ein Produkt aus Linearfaktoren, sofern dies möglich ist! a) x 2 – x – 6 b) 3 x 2 + 21x + 36 c) x 2 +5x+7 LÖSUNG a) Z eige, dass die normierte Gleichung x2 – x – 6 = 0 die Lösungen x 1 = – 2 und x 2 = 3 besitzt! Nach dem Satz von Vieta gilt daher: x 2 – x – 6 = (x + 2) · (x – 3). b) Wir heben zuerst 3 heraus: 3 · (x2 + 7x + 12) = 0. Zeige, dass die normierte Gleichung x 2 + 7x + 12 = 0 die Lösungen x 1 = –4 und x2 = – 3 besitzt! Nach dem Satz von Vieta gilt daher insgesamt: 3x2 +21x+36=3·(x+3)·(x+4). c) Z eige, dass die normierte Gleichung x2 + 5 x + 7 = 0 keine Lösung besitzt! Der Term x 2 + 5 x + 7 kann somit nicht in Linearfaktoren zerlegt werden. (Denn wäre x 2 +5x+7=(x–x 1)·(x–x2), dann hätte die Gleichung x 2 + 5 x + 7 = 0 die Lösungen x 1 und x2 .) L kompakt S. 71 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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