70 3 QUADRATISCHE GLEICHUNGEN Quadratische Gleichungen mit vorgegebenen Lösungen L 3.51 Gib eine quadratische Gleichung an, welche die Lösungen 5 und – 3 _ 2 besitzt! 1. LÖSUNGSMÖGLICHKEIT 2. LÖSUNGSMÖGLICHKEIT (x – 5) · (x – ( – 3 _ 2 )) = 0 p = –(x1 + x 2) = – (5 – 3 _ 2 ) = – 7 _ 2 x 2 –5x+3 _ 2 x – 15 _ 2 = 0 q = x 1 · x 2 = 5 · (– 3 _ 2 ) = – 15 _ 2 x 2 – 7 _ 2 x – 15 _ 2 = 0 1 · 2 x 2 – 7 _ 2 x – 15 _ 2 = 0 1 · 2 2 x 2 –7x–15=0 2 x 2 –7x–15=0 3.52 Von einer quadratischen Gleichung kennt man die Lösungen – 3 und 4. Gib drei quadratische Gleichungen an, die diese Lösungen besitzen! LÖSUNG (x + 3)(x – 4) = x 2 – x – 12 = 0 Wird diese Gleichung zB mit 5 bzw. mit – 2 multipliziert, erhält man die Gleichungen 5 x 2 – 5x – 60 = 0 bzw.–2x2 + 2x + 24 = 0, die ebenso die Lösungen – 3 und 4 besitzen. Merke Wird eine quadratische Gleichung mit einer Zahl ≠ 0 multipliziert bzw. durch eine Zahl ≠ 0 dividiert, so ändern sich die Lösungen nicht. 3.53 Überprüfe mit den Aussagen (2) und (3) des Satzes von Vieta, ob die Lösungen der Gleichung richtig angegeben sind! a) x 2 – x – 42 = 0; x 1 = – 6, x2 = 7 b) x 2 – 50x – 5000 = 0; x 1 = 50, x2 = 100 3.54 Versuche die Lösungen der folgenden Gleichung mit Hilfe des Satzes von Vieta zu erraten! Mache die Probe durch Einsetzen in die Gleichung! a) x 2 +7x–8=0 c) x 2 +3x–10=0 e) x 2 +6x–16=0 g) x 2 –2x–15=0 b) x 2 –6x+9=0 d) x 2 +2x+1=0 f) x 2 +8x+16=0 h) x 2 +8x+15=0 3.55 Gib eine quadratische Gleichung an, welche die folgenden Lösungen besitzt: a) x 1 = 2, x2 = 3 c) x 1 = – 0,2, x2 = – 2 e) x 1 = –1, x2 = 1 b) x 1 = 1 _ 2 , x 2 = – 4 d) x 1 = – 3 _ 2 , x 2 = 1 _ 4 f) x 1 = – 1,5, x2 = 0 3.56 Gib eine quadratische Gleichung an, die nur die folgende Lösung besitzt: a) x = 4 b) x = – 5 c) x = 0 d) x = 7 _ 2 3.57 Zerlege die linke Seite der Gleichung in ein Produkt von Linearfaktoren! a) x2 –3x–18=0 c) x2 +5x–24=0 e) x2 –6x–16=0 g) x2 – 4 = 0 b) 2 x2 –12x+16=0 d) 3 x2 +18x+27=0 f) 0,5 x2 –2x+2=0 h) 2 x2 – 50 = 0 3.58 Von der quadratischen Gleichung x2 + p x + q = 0 kennt man einen der Koeffizienten p, q und eine Lösung x1 . Berechne die zweite Lösung x2 , falls es eine solche gibt! a) p=–10,x1 = 4 b) q=–10,x1 = 4 c) p = 5, x1 = 2 d) p = 0, x1 = 3 AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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