84 4 BERECHNUNGEN IN RECHTWINKLIGEN DREIECKEN 4.55 Fertige eine Tabelle für die Steigung k zu den Neigungswinkeln α = 45°, 60°, 75°, 80°, 89°, 89,9°, 89,99°, 89,999° an und beantworte folgende Fragen: 1) Können Steigungen beliebig groß werden? 2) Kann man dem Winkel 90° eine Steigung zuordnen? Begründe! 4.56 Ein Radfahrer fährt eine Straße mit konstantem Gefälle von 8 % hinunter. Sein Höhenmesser zeigt einen Höhenunterschied von 200 m an. Welche Strecke hat der Radfahrer dabei zurückgelegt? 4.57 Ein Kanalstrang ist 7,35 m lang und hat ein Gefälle von 2,5 %. Wie groß ist der Höhenunterschied zwischen den Kanalenden? 4.58 Zwei lotrechte Kanalschächte haben einen Horizontalbstand von 16,65 m. Die unteren Enden der Kanalschächte liegen 0,51 m bzw. 0,74 m unter dem Straßenniveau. 1) Wie groß ist das Gefälle des Verbindungskanals zwischen den Schachtenden in Prozent? 2) Unter welchem Winkel ist der Verbindungskanal zur Horizontalen geneigt? 4.59 Zwei Punkte eines geradlinigen Straßenstücks weisen einen Höhenunterschied von 150 m auf. Auf einer Karte im Maßstab 1 :75 000 beträgt ihre Entfernung 4,2 cm. Berechne den Steigungswinkel, die Länge der Straße und deren Steigung in Prozent! 4.60 Ein geradlinig verlaufender Schlepplift befördert Schifahrer mit einer Geschwindigkeit von 2,8 m/s in 5 min aus 980 m Seehöhe auf 1 230 m Seehöhe. Wie lang ist der Lift, wie groß sind die Steigung und der Steigungswinkel der Lifttrasse? Entfernungs- und Höhenmessung R Bei Vermessungen misst man Winkel meistens horizontal bzw. vertikal. Horizontalwinkel werden parallel, Vertikalwinkel normal zur Horizontalebene gemessen. In nebenstehender Abbildung ist α ein Horizontalwinkel. Die Winkel β und γ sind Vertikalwinkel und geben jeweils den Winkel zwischen Blickrichtung und Horizontalebene an. Man bezeichnet β als Höhenwinkel und γ als Tiefenwinkel. 4.61 Ein senkrecht aufsteigender Ballon wird von einem Punkt am waagrechten Boden, der 750 m vom Aufstiegsort des Ballons entfernt ist, unter dem Höhenwinkel α = 65° gesehen. Wenig später erscheint er unter dem Höhenwinkel β = 73°. Um wie viel Meter ist er in der Zwischenzeit gestiegen? LÖSUNG 1. Ballonhöhe x: tan α = x _ 750 w x = 750 · tan α 2. Ballonhöhe y: tan β = y _ 750 w y = 750 · tan β Steighöhe z = y – x = 750 · tan β – 750 · tan α = 750 (tan β – tan α) = 750 (tan73° – tan 65°) ≈ 844,8 (m) Der Ballon ist ungefähr um 845 m gestiegen. α γ β α β x z y Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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