85 4.2 Anwendungen von Sinus, Cosinus und Tangens 4.62 Von einem 120 m hohen Turm an der Küste des Meeres sieht man eine Insel unter einem Tiefenwinkel von 19°. Wie weit ist die Insel vom Turm entfernt? 4.63 Auf einem waagrechten Platz steht ein Gebäude mit einem Fenster. Ein Beobachter, dessen Augenhöhe 1,70 m beträgt und der 30 m von dem Gebäude entfernt ist, sieht die Unterkante des Fensters unter dem Höhenwinkel α = 21,8° und dessen Oberkante unter dem Höhenwinkel β = 24,2°. Wie hoch ist das Fenster und wie hoch ist die Unterkante über dem Platz? 4.64 Die Höhe eines Hügels soll vermessen werden. Die Höhe des Messinstruments (Theodoliten) beträgt H = 1,80 m, die Höhe der Messlatte h = 0,95 m. Man misst r = 423 m und die „Zenitdistanz“ θ = 55,83°. Berechne die waagrechte Entfernung x des Messinstruments von der Messlatte sowie die Höhe y des Lattenfußpunkts! 4.65 Von einem Ort A mit der Seehöhe 164m aus wird ein Sendemast BC vermessen, der sich auf dem Gipfel eines Berges mit der Seehöhe 542 m befindet. Der Fußpunkt B des Sendemastes erscheint unter dem Höhenwinkel α = 14,14°, die Spitze C unter dem Höhenwinkel β = 15,46°. Wie hoch ist der Sendemast? 4.66 Ein mit 250 km/h fliegendes Flugzeug steuert einen Landeplatz an. Seine Flugrichtung bildet mit der Horizontalen einen Winkel von 9°. Um wie viel Meter sinkt es pro Sekunde? 4.67 Ein von der Dachkante des schiefen Turms von Pisa losgelassener Stein schlägt nach 3,1s genau 4,5m vom Turm entfernt am Boden auf. Unter welchem Winkel ist der Turm gegen das Lot geneigt? HINWEIS Beim freien Fall legt ein Körper in t Sekunden den Weg s = g _ 2 · t 2 zurück, wobei g ≈ 9,81 m/s 2 die Erdbeschleunigung ist. Der Luftwiderstand wird nicht berücksichtigt. Geografische Anwendungen R 4.68 Der nördliche Polarkreis der Erde hat die geografische Breite φ ≈ 66,55° (siehe nebenstehende Abbildung). Wie groß ist der Radius r des Polarkreises und welchen Abstand d hat er von der Äquatorebene? (Erdradius R ≈ 6 370 km) LÖSUNG cos φ = r _ R w r = R · cos φ ≈ 6 370 · cos 66,55° ≈ 2 535 (km) sin φ = d _ R w d = R · sin φ ≈ 6 370 · sin 66,55° ≈ 5 844 (km) 4.69 Die geografische Breite von Wien beträgt φ ≈ 48,2°. 1) Welchen Abstand hat Wien von der Erdachse? (Erdradius R ≈ 6 370 km) 2) Welchen Weg legt Wien bei einer Erdumdrehung zurück? AUFGABEN x H y h θ r Polarkreisradius r R N S Äquator d φ φ AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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