Mathematik verstehen 2 4 6 8 10 2 4 6 -2 -6 -4 -8 -10 GEOGEBRA 5 ABLEITINGER | DORNER | ULOVEC
1. Auflage (Druck 0001) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2023 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Redaktion: Mag. Karin Drucks, Wien Herstellung: Ing. Bianca Mannsberger, Wien Umschlaggestaltung und Layout: normaldesign GbR, Schwäbisch Gmünd Druck: Ferdinand Berger & Söhne Ges.m.b.H., Horn ISBN 978-3-209-12381-7 (Mathematik verstehen OS GGb Technologie 5) Mathematik verstehen 5. GeoGebra, Technologietraining Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Umschlagbild: ananaline / GettyImage Technische Zeichnungen: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Mathematik verstehen 5 TECHNOLOGIETRAINING GeoGebra Assoz. Prof. Dr. Christoph Ableitinger Hochschulprofessor Mag. Dr. Christian Dorner, BSc MMag. Dr. Andreas Ulovec Wissenschaftliche Beratung: Univ.-Prof. Mag. Dr. Günther Malle Doz. Dr. Franz Embacher www.oebv.at ABLEITINGER | DORNER | ULOVEC Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
2 Erklärungen zum Technologietraining Die einzelnen Kapitel in diesem Technologietraining laufen parallel zu den Kapiteln im Schulbuch Mathematik verstehen 5. Ziel des Technologietrainings ist es, Fertigkeiten in der Software GeoGebra zu erwerben, die das Verständnis von Inhalten des Schulbuchs unterstützen, die Bearbeitung von Aufgaben aus dem Schulbuch erleichtern, es ermöglichen, handschriftlich erhaltene Ergebnisse rasch mit dem Computer zu überprüfen, bei der standardisierten Reifeprüfung erwartet werden. Zu Beginn jedes Kapitels werden die für die standardisierte Reifeprüfung bzw. vom Lehrplan geforderten Grundkompetenzen angegeben, die in diesem Kapitel mit Hilfe der Technologie vertieft und erweitert werden können. Die Technologie-Fertigkeiten sollen bei der Bearbeitung konkreter Aufgaben erworben werden. Die Idee ist, die vorgezeigten Aufgabenlösungen selbst in GeoGebra nachzuvollziehen! Entsprechende Screenshots des GeoGebra-Bildschirms sollen dabei helfen. Es ist ratsam, vor der Bearbeitung einer neuen Aufgabe eine neue Datei in GeoGebra zu öffnen, da sich GeoGebra in manchen Fällen Variablennamen merkt und in neuen Aufgaben weiterverwendet. Die Sprechblasen sollen in der angegebenen Reihenfolge 1 2 3 … gelesen und bearbeitet werden. Der Text in einer Sprechblase beginnt immer mit dem Namen jenes Fensters bzw. Bereichs, in dem der nachfolgende Schritt ausgeführt werden soll. Graue Markierungen deuten auf eine spezielle Syntax in GeoGebra hin. Der grau unterlegte Text kann direkt so in GeoGebra eingegeben werden. Falls nicht anders angegeben, ist mit einem „Mausklick“ immer die linke Maustaste gemeint. GeoGebra bietet häufig mehrere Wege an, wie bestimmte Eingaben vorgenommen werden können. In einigen Fällen werden diese unterschiedlichen Möglichkeiten angesprochen. Wir verzichten allerdings darauf, wenn dies zu Verwirrungen führen könnte. Wir verwenden in diesem Technologietraining die Version „Rechner Suite“ von GeoGebra in der Sprache Deutsch (Österreich). In Abhängigkeit von der Version kann es zu marginalen Abweichungen in der Darstellung kommen. G 7.05 Die im Technologietraining verwendeten Aufgaben werden – sofern sie nicht aus dem Schulbuch übernommen worden sind – mit einem G gekennzeichnet. Lösungen zu diesen Aufgaben findet man auf www.oebv.at, indem der Online-Code direkt ins Suchfeld eingegeben wird. O Dieses Symbol weist auf Aufgaben aus dem Schulbuch Mathematik verstehen 5 hin, die mit den neu erworbenen Fertigkeiten bearbeitet und weiter vertieft werden können. Ó nt47dp Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
3 INHALTSVERZEICHNIS Einführung in die Software GeoGebra 4 1 Grundlegende Begriffe und Fertigkeiten 19 2 Zahlen und Zahlenmengen 24 3 Quadratische Gleichungen 28 4 Berechnungen in rechtwinkeligen Dreiecken 31 5 Berechnungen in beliebigen Dreiecken 37 6 Reelle Funktionen 43 7 Lineare Funktionen 50 8 Nichtlineare Funktionen 58 9 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme in zwei Variablen 63 10 Vektoren 66 11 Geometrische Darstellung von Vektoren und deren Rechenoperationen 69 12 Geraden in ℝ2 83 13 Weitere Anwendungen von Vektoren in ℝ2 87 Das Online-Handbuch zu GeoGebra 95 Wo findet man was? 96 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
4 EINFÜHRUNG IN DIE SOFTWARE GEOGEBRA EINFÜHRUNG IN DIE SOFTWARE GEOGEBRA Falls die Software GeoGebra schon bekannt ist und bereits einige Erfahrungen mit ihr gemacht wurden, kann man dieses Kapitel getrost überspringen! Für Anfängerinnen und Anfänger stellt es eine Einführung anhand von Themen dar, die schon aus der Unterstufe bekannt sein sollten. Auf diese Weise kann man sich also auf das Erlernen des Programms konzentrieren. GeoGebra – eine dynamische Mathematiksoftware Im Namen GeoGebra stecken die beiden Wörter „Geometrie“ und „Algebra“. GeoGebra verbindet diese beiden Teilgebiete der Mathematik, die auch schon in der Unterstufe eine wichtige Rolle gespielt haben. Dieses Technologietraining soll einerseits die wichtigsten Werkzeuge in GeoGebra erklären, und andererseits dazu befähigen, sich selbständig weitere Funktionen des Programms anzueignen. GeoGebra kann man kostenlos von der Website www.geogebra.org/download (abgerufen am 4.5.2023) herunterladen. Wichtige Fenster und Werkzeuge in GeoGebra kennenlernen Nach dem Öffnen des Programms GeoGebra erscheint die Programmoberfläche des Grafikrechners mit ihren unterschiedlichen Bereichen: Algebrafenster, Grafikfenster, Menübutton und Fenstermenü: 1 2 3 4 Algebra: In diese Zeile im Algebrafenster können mathematische Objekte (Punkte, Geraden, Funktionen, etc.) eingegeben werden. Sie werden nach der Eingabe in diesem Fenster aufgelistet. 1 2 3 4 Grafik: Man kann Objekte auch direkt in das Grafikfenster zeichnen. Auch sie werden im Algebrafenster aufgelistet. Umgekehrt werden im Grafikfenster Objekte automatisch eingezeichnet, die über das Algebrafenster eingegeben werden. 1 2 3 4 Menübutton: Links oben findet man den Menübutton, über den man wichtige Funktionen (Speichern, Teilen, Drucken, Herunterladen, Prüfungsmodus, etc.) aufrufen und wichtige Einstellungen (Schriftgröße, Rundungsgenauigkeit, etc.) vornehmen kann. 1 2 3 4 Fenstermenü: Oben findet man ein Fenstermenü, über das man zwischen unterschiedlichen Rechnern (Grafikrechner, CAS, Wahrscheinlichkeit, etc.) wechseln kann. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
5 EINFÜHRUNG IN DIE SOFTWARE GEOGEBRA Es gibt in GeoGebra noch weitere wichtige Programmelemente, die in der Standardeinstellung zunächst nicht sichtbar sind, mit denen wir im Technologietraining jedoch arbeiten werden: das Werkzeugmenü, den Wahrscheinlichkeitsrechner und das CAS. 1 2 3 Fenstermenü: Wähle im Fenstermenü „CAS“ aus. Aus der „Eingabe“ im Algebrafenster wird das CAS-Fenster, in dem zB Gleichungen gelöst werden können. Dass man sich im CAS befindet, erkennt man auch daran, dass links der Button für das Werkzeugmenü verschwunden ist. 1 2 3 Fenstermenü: Wähle im Fenstermenü „Wahrscheinlichkeit“ aus. Es öffnet sich ein Fenster, in dem man Wahrscheinlichkeiten berechnen kann. Das wird in der 7. und 8. Klasse wichtig. 1 2 3 Werkzeugmenü: Klicke auf „Werkzeuge“, um das Werkzeugmenü zu öffnen! Hier findet man Werkzeuge für die Arbeit im Grafikfenster. Punkte eingeben, Koordinatengitter ausblenden G E.01 Zeichne den Punkt P = (2 1 4) in das Koordinatensystem ein! Blende danach das Koordinatengitter im Grafikfenster aus! LÖSUNG Öffne das Programm GeoGebra und folge danach den Anweisungen in den Sprechblasen! Grafik: Öffne das Grafikmenü durch Klicken auf das Zahnrad! 1 2 3 4 Grafik: P wird sowohl im Grafikfenster als auch im Algebrafenster angezeigt. 1 2 3 4 Algebra: Gib P = (2,4) in die Eingabe des Algebrafensters ein und bestätige mit Enter! 1 2 3 4 Grafikmenü: Wähle „Koordinatengitter anzeigen“ und danach „Kein Gitter“! Analog kann das Koordinatengitter natürlich wieder eingeblendet werden. 1 2 3 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
6 EINFÜHRUNG IN DIE SOFTWARE GEOGEBRA Zuweisen von Namen Wir haben in Aufgabe G E.01 dem Punkt (2 1 4) durch die Eingabe P = (2,4) den Namen P zugewiesen. Gibt man lediglich (2,4) ein, weist GeoGebra dem Punkt automatisch einen Namen zu, der noch nicht vergeben ist, zB A. Will man also die Kontrolle darüber behalten, wie die Objekte bezeichnet werden, sollte man darauf achten, den Objekten schon bei der Eingabe den gewünschten Namen zu geben. Man kann allerdings Bezeichnungen auch nachträglich noch ändern (siehe Aufgabe G E.02). Punkte werden in GeoGebra standardmäßig in der Form (x, y) dargestellt, also mit einem Beistrich zwischen den Koordinaten. In der Schulbuchreihe Mathematik verstehen wird zwischen den Koordinaten stattdessen ein senkrechter Strich geschrieben: (x 1 y). Objekte und ihre Beschriftungen ein- und ausblenden, umbenennen und löschen G E.02 Zeichne den Punkt P = (3 1 4) in das Koordinatensystem ein! a) Blende die Beschriftung von P im Grafikfenster aus! b) Blende den Punkt P im Grafikfenster aus und danach wieder ein! c) Benenne den Punkt P in Q um! d) Lösche den Punkt Q, sodass er auch im Algebrafenster nicht mehr aufscheint! LÖSUNG Klicke auf den Menübutton und dann auf „Alles löschen“, um wieder einen leeren GeoGebra-Bildschirm zu bekommen! Entscheide selbst, ob die alte Datei gespeichert werden soll. Zeichne dann den Punkt P wie in Aufgabe G E.01 beschrieben! Grafik: Klicke mit der rechten Maustaste auf den Punkt P! Es öffnet sich das Kontextmenü des Punktes P. Wähle dort „Einstellungen“! Alternativ kann man auch im Algebrafenster mit der rechten Maustaste auf den Punkt P und danach auf „Einstellungen“ klicken. 1 2 3 4 5 Einstellungen: Klicke auf „Beschriftung anzeigen“! Die Beschriftung im Grafikfenster verschwindet. 1 2 3 4 5 Grafik: Um den Punkt zu löschen, klicke mit der linken Maustaste auf den Punkt und danach auf den Papierkorb! Der Punkt verschwindet sowohl im Grafik- aus auch im Algebrafenster. Alternativ kann man im Algebrafenster auf die drei Punkte rechts neben dem Punkt klicken und danach auf „Löschen“. 1 2 3 4 5 Einstellungen/Algebra: Klicke auf „Objekt anzeigen“! Der Punkt wird zwar im Algebrafenster weiterhin angezeigt, im Grafikfenster jedoch nicht mehr. Alternativ kann man auch im Algebrafenster auf den Punkt links neben dem Punkt P klicken. Klicke auf den kleinen Kreis, um den Punkt wieder einzublenden! 1 2 3 4 5 Einstellungen: Schreibe in das Feld „Name“ den gewünschten Namen für den Punkt, also Q. 1 2 3 4 5 Merke Zwischen dem Ausblenden eines Objekts und dem Löschen besteht ein prinzipieller Unterschied: Während ein ausgeblendetes Objekt weiterhin in GeoGebra definiert bleibt und verwendet werden kann, steht ein Objekt nach dem Löschen nicht mehr zur Verfügung. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
7 EINFÜHRUNG IN DIE SOFTWARE GEOGEBRA Kontextmenü und Einstellungen So wie der Punkt P in Aufgabe G E.02 besitzen viele Objekte in GeoGebra ein Kontextmenü und Einstellungen. Dort kann man wichtige Grundeinstellungen des Objekts verändern. Das Kontextmenü kann man öffnen, indem man mit der rechten Maustaste auf das gewünschte Objekt klickt. Sogar das Grafikfenster besitzt ein Kontextmenü und Einstellungen, die durch einen Rechtsklick auf einen freien Bereich des Grafikfensters geöffnet werden können. In diesem Kontextmenü kann man zB die Achsen oder das Koordinatengitter ein- und ausblenden. Werkzeuge in GeoGebra, Zugmodus G E.03 Zeichne den Punkt P = (‒1 1 3) mit Hilfe des Werkzeugs „Punkt“! Verschiebe den Punkt danach im Zugmodus, bis er die Koordinaten (2 1 5) hat! LÖSUNG Es gibt neben der Eingabe über das Algebrafenster noch eine weitere Möglichkeit, einen Punkt zu zeichnen. Grafik: Klicke den Punkt P im Grafikfenster an, halte die Maustaste gedrückt und ziehe den Punkt an die Position (2 | 5)! 1 2 3 4 Grafik: Öffne die Einstellungen des Punktes A und benenne ihn in P um! 1 2 3 4 Werkzeugmenü: Wähle das Werkzeug „Punkt“ GeoGebra 5.0 – Icons Mode – Seite 5 von 6 Stand Juni 2017 Mode_parallel.jpg Mode_parallelplane.jpg Mode_pen.jpg Mode_plane.jpg Mode_planethreepoint.jpg Mode_point.jpg Mode_pointonobject.jpg Mode_polardiameter.jpg Mode_polygon.jpg Mode_polyline.jpg Mode_prism.jpg Mode_probabilitycalculator.jpg Mode_pyramid.jpg Mode_ray.jpg Mode_recordtospreadsheet. Mode_regularpolygon.jpg Mode_relation.jpg Mode_rigidpolygon.jpg Mode_roots.jpg Mode_rotatearoundline.jpg Mode_rotatebyangle.jpg Mode_rotateview.jpg Mode_segment.jpg Mode_segmentfixed.jpg Mode_semicircle.jpg Mode_showcheckbox.jpg Mode_showhidelabel.jpg Mode_showhideobject.jpg Mode_slider.jpg Mode_slope.jpg Mode_solve.jpg Mode_sphere2.jpg Mode_spherepointradius.jpg Mode_substitute.jpg Mode_sumcells.jpg ! 1 2 3 4 Grafik: Klicke auf den Punkt (–1 | 3) im leeren Koordinatensystem! Der Punkt wird eingezeichnet. Klicke danach links auf „Algebra“, um zu sehen, dass der Punkt auch im Algebrafenster angezeigt wird! 1 2 3 4 Beachte, dass sich durch das Verschieben des Punktes P seine Koordinaten auch im Algebrafenster entsprechend verändern! Das ist der Grund, warum GeoGebra als dynamische Mathematiksoftware bezeichnet wird: Ändert man ein Objekt in einem Fenster, so ändert sich das Objekt auch in jedem anderen Fenster, in dem es auftritt. Zugmodus Das Verschieben eines Objekts im Grafikfenster ist eine der zentralen Funktionen von GeoGebra. Man nennt dies den „Zugmodus“ von GeoGebra. Zieht man beispielsweise einen Punkt im Grafikfenster an eine andere Position, so verändern sich schon während des Ziehens seine Koordinaten im Algebrafenster mit. Außerdem verändern sich auch alle Objekte, die von dem verschobenen Punkt abhängig sind (siehe Aufgabe G E.12). Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
8 EINFÜHRUNG IN DIE SOFTWARE GEOGEBRA Sprache Im Menü (Menübutton anklicken) findet man unter „Einstellungen“ den Punkt „Sprache“. Interessant ist, dass sich dabei auch die Sprache „German/Deutsch (Österreich)“ findet. Das hängt zum einen damit zusammen, dass GeoGebra in Österreich entwickelt wurde. Zum anderen gibt es zwischen Deutschland und Österreich Bezeichnungsunterschiede. Beispielsweise heißt die Streckensymmetrale in Deutschland Mittelsenkrechte. Strecken zeichnen, Formatierung von Objekten verändern G E.04 Zeichne die Strecke PQ mit P = (‒ 2 1 0) und Q = (4 1 3)! LÖSUNG Folge den Anweisungen! Algebra: Im Algebrafenster wird bei jedem Objekt, das von anderen Objekten abhängt, die Definition des Objektes angezeigt (zB bei der Strecke f: Strecke(P,Q)). 1 2 3 4 Algebra: Gib nacheinander die beiden Punkte P = (– 2,0) und Q = (4,3) ein! Sie erscheinen im Algebra- und im Grafikfenster. 1 2 3 4 Werkzeugmenü: Um die Verbindungsstrecke zwischen P und Q zu zeichnen, klicke auf das Werkzeug „Strecke“ GeoGebra 5.0 – Icons Mode – Seite 5 von 6 Stand Juni 2017 Mode_parallel.jpg Mode_parallelplane.jpg Mode_pen.jpg Mode_plane.jpg Mode_planethreepoint.jpg Mode_point.jpg Mode_pointonobject.jpg Mode_polardiameter.jpg Mode_polygon.jpg Mode_polyline.jpg Mode_prism.jpg Mode_probabilitycalculator.jpg Mode_pyramid.jpg Mode_ray.jpg Mode_recordtospreadsheet. Mode_regularpolygon.jpg Mode_relation.jpg Mode_rigidpolygon.jpg Mode_roots.jpg Mode_rotatearoundline.jpg Mode_rotatebyangle.jpg Mode_rotateview.jpg Mode_segment.jpg Mode_segmentfixed.jpg Mode_semicircle.jpg Mode_showcheckbox.jpg Mode_showhidelabel.jpg Mode_showhideobject.jpg Mode_slider.jpg Mode_slope.jpg Mode_solve.jpg Mode_sphere2.jpg Mode_spherepointradius.jpg Mode_substitute.jpg Mode_sumcells.jpg (man findet es relativ weit unten in der Kategorie „Linien“)! 1 2 3 4 Grafik: Klicke nun nacheinander auf die Punkte P und Q im Grafikfenster! Die Strecke f wird eingezeichnet. Schließe nun das Werkzeugmenü durch einen Klick auf „Algebra“! Im Algebrafenster wird die Strecke f angezeigt und ihre Länge mit 6,71 Einheiten angegeben. 1 2 3 4 Manchmal will man eine Eingabe in GeoGebra wieder rückgängig machen (zB die Eingabe eines Objekts oder die Veränderung seiner Formatierung). Drücke dazu im Grafikfenster links oben auf das Symbol ! Alternativ kann man auch die Tastenkombination Strg+Z drücken. Die letzte Eingabe wird dadurch rückgängig gemacht! Klicke auf das Symbol rechts daneben, um sie wiederherzustellen (Strg+Y)! Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
9 EINFÜHRUNG IN DIE SOFTWARE GEOGEBRA Werkzeug und Befehl Eine Strecke kann man in GeoGebra auf verschiedene Arten zeichnen: I) Mit Hilfe des Werkzeugs „Strecke“ GeoGebra 5.0 – Icons Mode – Seite 5 von 6 Stand Juni 2017 Mode_parallel.jpg Mode_parallelplane.jpg Mode_pen.jpg Mode_plane.jpg Mode_planethreepoint.jpg Mode_point.jpg Mode_pointonobject.jpg Mode_polardiameter.jpg Mode_polygon.jpg Mode_polyline.jpg Mode_prism.jpg Mode_probabilitycalculator.jpg Mode_pyramid.jpg Mode_ray.jpg Mode_recordtospreadsheet. Mode_regularpolygon.jpg Mode_relation.jpg Mode_rigidpolygon.jpg Mode_roots.jpg Mode_rotatearoundline.jpg Mode_rotatebyangle.jpg Mode_rotateview.jpg Mode_segment.jpg Mode_segmentfixed.jpg Mode_semicircle.jpg Mode_showcheckbox.jpg Mode_showhidelabel.jpg Mode_showhideobject.jpg Mode_slider.jpg Mode_slope.jpg Mode_solve.jpg Mode_sphere2.jpg Mode_spherepointradius.jpg Mode_substitute.jpg Mode_sumcells.jpg (Aufgabe G E.04). II) Mit Hilfe des Befehls „Strecke“ über das Algebrafenster: Gib dort das Wort „Strecke“ ein! Es erscheint ein Menü, in dem man „Strecke(Punkt,Punkt)“ auswählen kann. Trage nun noch die Punkte an die entsprechenden Stellen ein, also zB: Strecke(P,Q) . Das ist typisch für GeoGebra: Für sehr viele Aktionen gibt es sowohl ein Werkzeug, das man im Werkzeugmenü findet, als auch einen Befehl, den man direkt in das Algebrafenster schreiben kann. Auf der GeoGebra-Website gibt es ein Online-Handbuch, in dem alle Befehle und Werkzeuge beschrieben sind (für eine genauere Erklärung siehe Seite 95). G E.05 Formatiere die Strecke PQ aus Aufgabe G E.04 folgendermaßen: Farbe Grün, Linienstärke 5, Linienart langstrichliert, Beschriftung mit „Strecke PQ“! LÖSUNG Wir starten mit dem Ergebnis aus Aufgabe G E.04. Grafik: Öffne mit einem Rechtsklick auf die Strecke f ihre Einstellungen! 1 2 3 4 Einstellungen: Ändere die Linienstärke und -art in der Registerkarte „Darstellung“! Schließe danach die Einstellungen rechts oben! Alle Änderungen werden übernommen. 1 2 3 4 Einstellungen: Ändere die Farbe der Strecke in der Registerkarte „Farbe“ auf Grün! 1 2 3 4 Einstellungen: Gib in das Feld „Beschriftung“ Strecke PQ ein! 1 2 3 4 G E.06 Zeichne die Strecke und formatiere sie in der angegebenen Weise! a) CD mit C = (‒2 1 2) und D = (1 1 4), rot, Linienstärke 7, Linienart strich-punktiert, Beschriftung mit „Länge l“ b) AB mit A = (‒1 1 0) und B = (3 1 1), blau, Linienstärke 3, Linienart durchgehend, Beschriftung mit der Länge der Strecke (HINWEIS Wähle „Wert“ in „Beschriftung anzeigen“) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
10 EINFÜHRUNG IN DIE SOFTWARE GEOGEBRA Gerade durch zwei Punkte zeichnen, Schnittpunkt zweier Objekte, Mittelpunkt einer Strecke G E.07 Zeichne das Dreieck ABC mit A = (‒1 1 ‒1), B = (4 1 3) und C = (1,5 1 4) und konstruiere seinen Schwerpunkt! LÖSUNG Folge den Anweisungen! Algebra: Zeichne die Punkte A, B und C! Achte bei C darauf, dass das Komma in GeoGebra mit einem Punkt eingegeben werden muss: C = (1.5,4) 1 2 3 4 5 6 Algebra: Klicke auf „Algebra“, um das Werkzeugmenü zu schließen. Das Dreieck wird im Algebrafenster mit seinem Flächeninhalt 7,5 angezeigt. Seine Seitenlängen werden extra aufgelistet. 1 2 3 4 5 6 Werkzeugmenü/Grafik: Öffne das Werkzeugmenü und scrolle ganz nach unten. Klicke auf MEHR! Wähle dann das Werkzeug „Vieleck“ GeoGebra 5.0 – Icons Mode – Seite 5 von 6 Stand Juni 2017 Mode_parallel.jpg Mode_parallelplane.jpg Mode_pen.jpg Mode_plane.jpg Mode_planethreepoint.jpg Mode_point.jpg Mode_pointonobject.jpg Mode_polardiameter.jpg Mode_polygon.jpg Mode_polyline.jpg Mode_prism.jpg Mode_probabilitycalculator.jpg Mode_pyramid.jpg Mode_ray.jpg Mode_recordtospreadsheet. Mode_regularpolygon.jpg Mode_relation.jpg Mode_rigidpolygon.jpg Mode_roots.jpg Mode_rotatearoundline.jpg Mode_rotatebyangle.jpg Mode_rotateview.jpg Mode_segment.jpg Mode_segmentfixed.jpg Mode_semicircle.jpg Mode_showcheckbox.jpg Mode_showhidelabel.jpg Mode_showhideobject.jpg Mode_slider.jpg Mode_slope.jpg Mode_solve.jpg Mode_sphere2.jpg Mode_spherepointradius.jpg Mode_substitute.jpg Mode_sumcells.jpg aus! Klicke nun nacheinander auf die Punkte A, B und C und schließlich wieder auf den Punkt A! 1 2 3 4 5 6 Werkzeugmenü/Grafik: Wähle das Werkzeug „Mittelpunkt“ GeoGebra 5.0 – Icons Mode – Seite 4 von 6 Stand Juni 2017 Mode_expand.jpg Mode_extremum.jpg Mode_extrusion.jpg Mode_factor.jpg Mode_fitline.jpg Mode_freehandshape.jpg Mode_functioninspector.jpg Mode_hyperbola3.jpg Mode_image.jpg Mode_integral.jpg Mode_intersect.jpg Mode_intersectioncurve.jpg Mode_join.jpg Mode_keepinput.jpg Mode_linebisector.jpg Mode_locus.jpg Mode_maxcells.jpg Mode_meancells.jpg Mode_midpoint.jpg Mode_mincells.jpg Mode_mirroratcircle.jpg Mode_mirroratline.jpg Mode_mirroratplane.jpg Mode_mirroratpoint.jpg Mode_move.jpg Mode_moverotate.jpg Mode_multivarstats.jpg Mode_net.jpg Mode_nsolve.jpg Mode_numeric.jpg Mode_onevarstats.jpg Mode_orthogonal.jpg Mode_orthogonalplane.jpg Mode_orthogonalthreed.jpg Mode_parabola.jpg und klicke danach auf die drei Dreiecksseiten! Es werden die Seitenmittelpunkte eingezeichnet. 1 2 3 4 5 6 Werkzeugmenü/Grafik: Wähle das Werkzeug „Schnittpunkt“ GeoGebra 5.0 – Icons Mode – Seite 4 von 6 Stand Juni 2017 Mode_expand.jpg Mode_extremum.jpg Mode_extrusion.jpg Mode_factor.jpg Mode_fitline.jpg Mode_freehandshape.jpg Mode_functioninspector.jpg Mode_hyperbola3.jpg Mode_image.jpg Mode_integral.jpg Mode_intersect.jpg Mode_intersectioncurve.jpg Mode_join.jpg Mode_keepinput.jpg Mode_linebisector.jpg Mode_locus.jpg Mode_maxcells.jpg Mode_meancells.jpg Mode_midpoint.jpg Mode_mincells.jpg Mode_mirroratcircle.jpg Mode_mirroratline.jpg Mode_mirroratplane.jpg Mode_mirroratpoint.jpg Mode_move.jpg Mode_moverotate.jpg Mode_multivarstats.jpg Mode_net.jpg Mode_nsolve.jpg Mode_numeric.jpg Mode_onevarstats.jpg Mode_orthogonal.jpg Mode_orthogonalplane.jpg Mode_orthogonalthreed.jpg Mode_parabola.jpg und klicke danach zwei der Schwerlinien an! Es erscheint der Schwerpunkt G. 1 2 3 4 5 6 Werkzeugmenü/Grafik: Wähle das Werkzeug „Gerade“ GeoGebra 5.0 – Icons Mode – Seite 4 von 6 Stand Juni 2017 Mode_expand.jpg Mode_extremum.jpg Mode_extrusion.jpg Mode_factor.jpg Mode_fitline.jpg Mode_freehandshape.jpg Mode_functioninspector.jpg Mode_hyperbola3.jpg Mode_image.jpg Mode_integral.jpg Mode_intersect.jpg Mode_intersectioncurve.jpg Mode_join.jpg Mode_keepinput.jpg Mode_linebisector.jpg Mode_locus.jpg Mode_maxcells.jpg Mode_meancells.jpg Mode_midpoint.jpg Mode_mincells.jpg Mode_mirroratcircle.jpg Mode_mirroratline.jpg Mode_mirroratplane.jpg Mode_mirroratpoint.jpg Mode_move.jpg Mode_moverotate.jpg Mode_multivarstats.jpg Mode_net.jpg Mode_nsolve.jpg Mode_numeric.jpg Mode_onevarstats.jpg Mode_orthogonal.jpg Mode_orthogonalplane.jpg Mode_orthogonalthreed.jpg Mode_parabola.jpg und klicke danach jeweils zwei Punkte an, durch die die Schwerlinien jeweils verlaufen sollen! 1 2 3 4 5 6 Speichere die Datei als Aufgabe G E.07 ab! Klicke dazu auf den Menübutton , wähle „Herunterladen als“ aus und klicke auf „GeoGebra Datei“! Achte beim Dateinamen darauf, dass er mit .ggb endet! Der Punkt „Speichern“ im Menü führt zum Abspeichern der Datei auf eine Online-Plattform von GeoGebra, sofern ein entsprechender Account angelegt ist. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
11 EINFÜHRUNG IN DIE SOFTWARE GEOGEBRA Statt der Werkzeuge „Vieleck“, „Mittelpunkt“, „Gerade“ und „Schnittpunkt“ hätte man auch entsprechende Befehle in das Algebrafenster schreiben können: Vieleck(A,B,C) Mittelpunkt(A,B) Gerade(C,D) Schnittpunkt(d,e) Das hätte übrigens den Vorteil, dass man den entstehenden Objekten den gewünschten Namen zuweisen könnte. Beispielsweise wird dem Schwerpunkt des Dreiecks in Aufgabe G E.07 durch die Eingabe S = Schnittpunkt(d,e) sofort der Name S zugewiesen. G E.08 Löse Aufgabe G E.07 ausschließlich durch die Eingabe von Befehlen in das Algebrafenster! Wähle geeignete Bezeichnungen für die vorkommenden Objekte! Konstruktionsprotokoll An der Zeichnung aus G E.07 sieht man nicht mehr, welche Schritte bei der Konstruktion des Schwerpunktes nacheinander gemacht wurden. Zu diesem Zweck speichert GeoGebra ein Konstruktionsprotokoll, das man folgendermaßen aufrufen kann: Klicke mit der rechten Maustaste ins Grafikfenster und öffne die Einstellungen! Wähle bei „Navigationsleiste für Konstruktionsschritte“ die Schaltfläche „Anzeigen“ aus! Schließe danach die Einstellungen! Klicke auf das kleine Symbol GeoGebra 5.0 – Icons Menu – Seite 2 von 6 Stand Juni 2017 Menu-trace-on.jpg Menu-view-close.jpg Menu-view-refresh-views.jpg Menu-view.jpg Menu_view_algebra.jpg Menu_view_cas.jpg Menu_view_construction_protocol.jpg Menu_view_graphics.jpg Menu_view_graphics1.jpg Menu_view_graphics2.jpg Menu_view_graphics3.jpg Menu_view_input_bar.jpg Menu_view_probability.jpg Menu_view_spreadsheet.jpg Perspectives.jpg Perspectives_algebra_3Dgraphics.jpg Perspectives_geometry.jpg ganz rechts unten im Grafikfenster! Es öffnet sich ein weiteres Fenster in GeoGebra, in dem alle vorkommenden Objekte in der Reihenfolge ihrer Entstehung aufgelistet sind. Daran erkennt man zB auch, dass die drei Dreiecksseiten zeitgleich entstanden sind (jeweils Nummer 4 im Protokoll). Insbesondere bei komplexeren Konstruktionen kann ein solches Protokoll hilfreich sein, um alle Schritte nachvollziehen zu können. Das Konstruktionsprotokoll lässt sich über dasselbe Symbol GeoGebra 5.0 – Icons Menu – Seite 2 von 6 Stand Juni 2017 Menu-trace-on.jpg Menu-view-close.jpg Menu-view-refresh-views.jpg Menu-view.jpg Menu_view_algebra.jpg Menu_view_cas.jpg Menu_view_construction_protocol.jpg Menu_view_graphics.jpg Menu_view_graphics1.jpg Menu_view_graphics2.jpg Menu_view_graphics3.jpg Menu_view_input_bar.jpg Menu_view_probability.jpg Menu_view_spreadsheet.jpg Perspectives.jpg Perspectives_algebra_3Dgraphics.jpg Perspectives_geometry.jpg wieder schließen. Alternativ dazu kann man auch auf das Symbol klicken und „Schließen“ auswählen. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
12 EINFÜHRUNG IN DIE SOFTWARE GEOGEBRA Formatierung einer Zeichnung G E.09 Formatierung einer Zeichnung Beschrifte in der Zeichnung aus G E.07 die Achsen! Blende die Beschriftungen der Schwerlinien und der Punkte D, E und F aus! Verkleinere die Punkte D, E und F auf Punktgröße 2! Benenne den Schwerpunkt in S um! LÖSUNG Das Umbenennen und Beschriften von Objekten kennen wir schon aus G E.02 und G E.05. Benenne auf diese Art den Schwerpunkt um! Grafik: Sollen die Beschriftungen der Seiten etwas verschoben werden, ziehe sie mit gedrückter linker Maustaste an die gewünschte Position! 1 2 3 4 5 6 Algebra: Klicke bei gedrückter Strg-Taste nacheinander knapp neben die Kreise neben den Punkten D, E und F und den Geraden f, g und h. Es sind nun alle sechs Objekte gleichzeitig markiert. 1 2 3 4 5 6 Algebra: Klicke mit der rechten Maustaste auf die graue Markierung und öffne die gemeinsamen Einstellungen der sechs Objekte! Blende nun die Beschriftungen aus und schließe die Einstellungen wieder! 1 2 3 4 5 6 Algebra: Markiere nun nur die drei Punkte D, E und F, öffne die Einstellungen und verändere unter „Darstellung“ die Punktgröße auf 2! 1 2 3 4 5 6 Grafik: Für die Achsenbeschriftung klicke zunächst mit der rechten Maustaste ins Grafikfenster (oder klicke auf das Symbol rechts oben ) und öffne die Einstellungen! 1 2 3 4 5 6 Einstellungen: Trage in der Registerkarte „xAchse“ bei „Beschriftung“ die gewünschte Beschriftung ein, also zB x. Verfahre ebenso für die y-Achse! 1 2 3 4 5 6 G E.10 a) Wähle als Linienart für die Schwerlinien in G E.09 kurz-strichliert aus! b) Formatiere die Punkte A, B und C aus G E.09 schwarz mit Punktgröße 2! Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
13 EINFÜHRUNG IN DIE SOFTWARE GEOGEBRA Text einfügen G E.11 Füge in die Zeichnung von G E.10 den Text „Der Schwerpunkt des Dreiecks ist S = (1.5,2)“ ein, wobei die Koordinaten von S als dynamischer Text eingegeben werden sollen. Formatiere den Text passend! LÖSUNG Folge den Anweisungen! Grafik: Klicke mit der rechten Maustaste auf das Textfeld und öffne die Einstellungen! Wähle die Registerkarte „Text“ und formatiere ihn passend (Schriftgröße, Farbe, etc.)! 1 2 3 4 5 Grafik: Klicke an jene Stelle im Grafikfenster, an der der Text eingefügt werden soll! Es öffnet sich ein Fenster, in das der Text eingetragen werden kann. Das Textfeld kann am Ende noch mit gedrückter linker Maustaste an eine andere Stelle verschoben werden. 1 2 3 4 5 Werkzeugmenü: Wähle das Werkzeug „Text“ GeoGebra 5.0 – Icons Mode – Seite 6 von 6 Stand Juni 2017 Mode_tangent.jpg Mode_tetrahedron.jpg Mode_text.jpg Mode_textfieldaction.jpg Mode_tool.jpg Mode_translatebyvector.jpg Mode_translateview.jpg Mode_twovarstats.jpg Mode_vector.jpg Mode_vectorfrompoint.jpg Mode_vectorpolygon.jpg Mode_viewinfrontof.jpg Mode_volume.jpg Mode_zoom.jpg Mode_zoomin.jpg Mode_zoomout.jpg ! 1 2 3 4 5 Text: Wähle den Punkt S aus! Er wird dem Text hinzugefügt. 1 2 3 4 5 Text: Gib den Text Der Schwerpunkt des Dreiecks ist S = ein! Klicke danach auf „Erweitert“ sowie auf das kleine GeoGebra-Symbol , um zu einer Liste der bereits vorhandenen Objekte zu kommen! 1 2 3 4 5 Speichere die Datei auf der Festplatte als G E.11 ab! Klicke dazu auf den Menübutton und wähle „Herunterladen als“! Wir arbeiten in Aufgabe G E.12 an dieser Datei weiter. Statischer und dynamischer Text Wird Text in ein Textfeld geschrieben, so wird er von GeoGebra einfach übernommen (statischer Text). Wird zusätzlich durch Klicken auf „Erweitert“ und das kleine GeoGebra-Symbol ein Objekt in den Text eingefügt, so wird nicht der Name, sondern der Wert des Objekts angezeigt (dynamischer Text, in G E.11 also die Koordinatendarstellung von S). Der Vorteil der Eingabe eines dynamischen Texts ist, dass sich dieser mitverändert, wenn man die Eckpunkte des Dreiecks im Zugmodus verändert (siehe Aufgabe G E.12). Man kann in einem Textfeld statischen und dynamischen Text auch mehrmals abwechselnd einfügen. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
14 EINFÜHRUNG IN DIE SOFTWARE GEOGEBRA Abhängige und freie Objekte G E.12 Zeichne das Dreieck ABC mit A = (‒ 2 1 0), B = (5 1 2) und C = (‒1 1 4) und konstruiere seinen Schwerpunkt! Nutze dazu das Ergebnis aus Aufgabe G E.11 und verwende den Zugmodus! LÖSUNG Um das Dreieck und seinen Schwerpunkt nicht neu zeichnen zu müssen, können wir die Konstruktion aus G E.11 nutzen. 1 Grafik: Verschiebe die Punkte A, B und C mit gedrückter linker Maustaste an die neuen Positionen! BEACHTE Durch das Verschieben der Punkte A, B und C ändern sich auch die Einträge im Algebrafenster. Außerdem ändert sich die Konstruktion des Schwerpunktes automatisch mit und sogar der dynamische Text im Textfeld wird angepasst! Das alles passiert dynamisch, also schon während des Ziehens! Freie und abhängige Objekte Freie Objekte sind solche, deren Wert bzw. Position nicht von anderen Objekten abhängt (Punkte A, B und C in G E.12). Man kann sie im Zugmodus mit gedrückter linker Maustaste verschieben. Abhängige Objekte sind solche, deren Wert bzw. Position von anderen Objekten abhängt (Dreiecksseiten, Seitenmittelpunkte, Schwerlinien, Schwerpunkt S in G E.12). Man kann sie nicht direkt verschieben. Sie verändern sich nur dann, wenn jene Objekte verändert werden, von denen sie selbst abhängen. Löscht man ein Objekt, von dem ein anderes Objekt abhängt, so wird automatisch auch dieses abhängige Objekt gelöscht. G E.13 Gegeben ist das Dreieck ABC mit A = (‒ 2 1 ‒1), B = (3 1 1) und C = (1,5 1 4). a) Zeichne das Dreieck und konstruiere seinen Umkreis! HINWEIS Zur Konstruktion der Seitensymmetralen verwende das Werkzeug „Streckensymmetrale“ GeoGebra 5.0 – Icons Mode – Seite 4 von 6 Stand Juni 2017 Mode_expand.jpg Mode_extremum.jpg Mode_extrusion.jpg Mode_factor.jpg Mode_fitline.jpg Mode_freehandshape.jpg Mode_functioninspector.jpg Mode_hyperbola3.jpg Mode_image.jpg Mode_integral.jpg Mode_intersect.jpg Mode_intersectioncurve.jpg Mode_join.jpg Mode_keepinput.jpg Mode_linebisector.jpg Mode_locus.jpg Mode_maxcells.jpg Mode_meancells.jpg Mode_midpoint.jpg Mode_mincells.jpg Mode_mirroratcircle.jpg Mode_mirroratline.jpg Mode_mirroratplane.jpg Mode_mirroratpoint.jpg Mode_move.jpg Mode_moverotate.jpg Mode_multivarstats.jpg Mode_net.jpg Mode_nsolve.jpg Mode_numeric.jpg Mode_onevarstats.jpg Mode_orthogonal.jpg Mode_orthogonalplane.jpg Mode_orthogonalthreed.jpg Mode_parabola.jpg ! F ür den Kreis wähle das Werkzeug „Kreis mit Mittelpunkt durch Punkt“ GeoGebra 5.0 – Icons Mode – Seite 3 von 6 Stand Juni 2017 Mode_angle.jpg Mode_anglefixed.jpg Mode_angularbisector.jpg Mode_area.jpg Mode_attachdetachpoint.jpg Mode_buttonaction.jpg Mode_circle2.jpg Mode_circle3.jpg Mode_circlearc3.jpg Mode_circleaxispoint.jpg Mode_circlepointradius.jpg Mode_circlepointradiusdirection. Mode_circlesector3.jpg Mode_circumcirclearc3.jpg Mode_circumcirclesector3. Mode_compasses.jpg Mode_complexnumber.jpg Mode_cone.jpg Mode_conic5.jpg Mode_conify.jpg Mode_copyvisualstyle.jpg Mode_countcells.jpg Mode_createlist.jpg Mode_createlistofpoints.jpg Mode_creatematrix.jpg Mode_createpolyline.jpg Mode_createtable.jpg Mode_cube.jpg Mode_cylinder.jpg Mode_delete.jpg Mode_derivative.jpg Mode_dilatefrompoint.jpg Mode_distance.jpg Mode_ellipse3.jpg Mode_evaluate.jpg ! Suche diese Werkzeuge im Werkzeugmenü! b) Schließe das Werkzeugmenü, verschiebe die Punkte A, B und C im Grafikfenster und beobachte, wie sich die Konstruktion mitverändert! G E.14 Gegeben ist das Dreieck ABC mit A = (1 1 ‒1), B = (3 1 2) und C = (‒2 1 3,5). a) Zeichne das Dreieck und konstruiere seinen Inkreis! HINWEIS Zur Konstruktion der Winkelsymmetralen verwende das Werkzeug „Winkelsymmetrale“ GeoGebra 5.0 – Icons Mode – Seite 3 von 6 Stand Juni 2017 Mode_angle.jpg Mode_anglefixed.jpg Mode_angularbisector.jpg Mode_area.jpg Mode_attachdetachpoint.jpg Mode_buttonaction.jpg Mode_circle2.jpg Mode_circle3.jpg Mode_circlearc3.jpg Mode_circleaxispoint.jpg Mode_circlepointradius.jpg Mode_circlepointradiusdirection. Mode_circlesector3.jpg Mode_circumcirclearc3.jpg Mode_circumcirclesector3. Mode_compasses.jpg Mode_complexnumber.jpg Mode_cone.jpg Mode_conic5.jpg Mode_conify.jpg Mode_copyvisualstyle.jpg Mode_countcells.jpg Mode_createlist.jpg Mode_createlistofpoints.jpg Mode_creatematrix.jpg Mode_createpolyline.jpg Mode_createtable.jpg Mode_cube.jpg Mode_cylinder.jpg Mode_delete.jpg Mode_derivative.jpg Mode_dilatefrompoint.jpg Mode_distance.jpg Mode_ellipse3.jpg Mode_evaluate.jpg ! G eoGebra zeichnet jeweils zwei Winkelsymmetralen ein. Arbeite mit jener weiter, die durch das Dreieck verläuft. b) Schließe das Werkzeugmenü, verschiebe die Punkte A, B und C im Grafikfenster und beobachte, wie sich die Konstruktion mitverändert! Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
15 EINFÜHRUNG IN DIE SOFTWARE GEOGEBRA G E.15 Gegeben ist das Dreieck ABC mit A = (0 1 0), B = (5 1 2) und C = (3 1 5). a) Zeichne das Dreieck und konstruiere seinen Höhenschnittpunkt! HINWEIS Zur Konstruktion der Trägergeraden der Höhen verwende das Werkzeug „Senkrechte Gerade“ GeoGebra 5.0 – Icons Mode – Seite 4 von 6 Stand Juni 2017 Mode_expand.jpg Mode_extremum.jpg Mode_extrusion.jpg Mode_factor.jpg Mode_fitline.jpg Mode_freehandshape.jpg Mode_functioninspector.jpg Mode_hyperbola3.jpg Mode_image.jpg Mode_integral.jpg Mode_intersect.jpg Mode_intersectioncurve.jpg Mode_join.jpg Mode_keepinput.jpg Mode_linebisector.jpg Mode_locus.jpg Mode_maxcells.jpg Mode_meancells.jpg Mode_midpoint.jpg Mode_mincells.jpg Mode_mirroratcircle.jpg Mode_mirroratline.jpg Mode_mirroratplane.jpg Mode_mirroratpoint.jpg Mode_move.jpg Mode_moverotate.jpg Mode_multivarstats.jpg Mode_net.jpg Mode_nsolve.jpg Mode_numeric.jpg Mode_onevarstats.jpg Mode_orthogonal.jpg Mode_orthogonalplane.jpg Mode_orthogonalthreed.jpg Mode_parabola.jpg ! b) Schließe das Werkzeugmenü, verschiebe die Punkte A, B und C im Grafikfenster und beobachte, wie sich die Konstruktion mitverändert! G E.16 a) Konstruiere die Eulersche Gerade zum Dreieck ABC mit A = (‒ 2 1 ‒1), B = (4 1 1) und C = (1 1 4)! Konstruiere dazu zuerst den Schwerpunkt, den Höhenschnittpunkt und den Umkreismittelpunkt! b) Blende die Seitenmittelpunkte aus! c) Formatiere die Schwerlinien, die Trägergeraden der Höhen und die Seitensymmetralen kurz-strichliert! d) Formatiere die Eulersche Gerade rot mit Linienstärke 4! Beschrifte Sie mit „Eulersche Gerade“! e) Beschrifte den Schwerpunkt mit S, den Höhenschnittpunkt mit H und den Umkreismittelpunkt mit U! f) F üge den Text „Konstruktion der Eulerschen Geraden“ an einen geeigneten Platz im Grafikfenster ein und wähle als Schriftgröße „Groß“ aus! Speichern (Herunterladen als) Klickt man den Menübutton und wählt den Menüpunkt „Speichern“ aus, wird man zur Anmeldeseite des GeoGebra-Accounts weitergeleitet, über den man die Datei online speichern kann. Hat man allerdings keinen GeoGebra-Account angelegt und will die GeoGebra-Datei lokal auf der eigenen Festplatte abspeichern, kann man das über den Menüpunkt „Herunterladen als“ machen. Dieser Menüpunkt erlaubt auch ein Abspeichern der Grafik-Ansicht als PNG-Bild bzw. als PDF-Dokument. Bild exportieren Man kann aber auch das Grafikfenster einer geöffneten GeoGebra-Datei exportieren, zB um es als Bild in einem Textverarbeitungsprogramm (zB Word) einzufügen. 1 2 Menü: Klicke auf den Menübutton und wähle „Bild exportieren“! Es öffnet sich ein neues Fenster. 1 2 Bild exportieren: Wähle „Kopiere in die Zwischenablage“, wenn das Bild in ein anderes Programm eingefügt werden soll (zB Word)! Wähle DOWNLOAD, um das Bild als png-Datei lokal auf der Festplatte abzuspeichern! Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
16 EINFÜHRUNG IN DIE SOFTWARE GEOGEBRA Diese Funktion gibt es übrigens in allen fünf Bereichen von GeoGebra (Grafikrechner, 3D-Rechner, Geometrie, CAS, Wahrscheinlichkeit). Beim Abspeichern des Grafikfensters als Bild wird es in vielen Fällen ratsam sein, zunächst die Schriftgröße in GeoGebra so einzustellen, dass sie dann auch im Textverarbeitungsprogramm noch gut lesbar ist (wähle dazu im Menü „Einstellungen“ und den Unterpunkt „Schriftgröße“). Drucken Will man den GeoGebra-Bildschirm drucken, so kann man das über den Menübutton und den Unterpunkt „Druckvorschau“ machen. GeoGebra erlaubt die Auswahl des gewünschten Fensters (Algebra oder Grafik) und die Wahl eines geeigneten Maßstabs. Diese Möglichkeit gibt es für die drei Bereiche Grafikrechner, Geometrie und CAS. Im 3D-Rechner kann nur die Algebra-Ansicht gedruckt werden, beim Wahrscheinlichkeits-Rechner steht die Funktion nicht zur Verfügung. Hier kann man aber über den Umweg „Bild exportieren“ einen Ausdruck anfertigen. Generell kann man immer einen Screenshot des Bildschirms machen, den gewünschten Bereich am Bildschirm ausschneiden und bei Bedarf drucken. Grafikrechner 3D-Rechner Geometrie CAS Wahrscheinlichkeit Herunterladen als (.ggb, .png, .pdf) Bild exportieren Drucken nur Algebra Bildausschnitt drucken Will man nur einen bestimmten Bildausschnitt des Grafikfensters drucken oder als Bild exportieren, so kann man das Programmfenster von GeoGebra (wie bei Programmfenstern üblich) passend vergrößern bzw. verkleinern. (Befindet sich GeoGebra im Vollbildmodus, so klicke zunächst auf .) Es wird dann nur jener Teil der Grafik gedruckt bzw. exportiert, der auch im Grafikfenster sichtbar ist. G E.17 Speichern und drucken der GeoGebra-Datei zu Aufgabe G E.12 a) Speichere die Datei als G E.12 lokal auf der Festplatte ab! b) Exportiere das Grafikfenster in ein Textverarbeitungsprogramm! c) Drucke das Grafikfenster! Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
17 EINFÜHRUNG IN DIE SOFTWARE GEOGEBRA Zeichenblatt verschieben, vergrößern und verkleinern G E.18 Zeichne den Punkt P = (30 1 ‒ 20) und betrachte ihn im Grafikfenster! LÖSUNG Diese Aufgabe klingt einfach, doch ergibt sich hier eine unerwartete Schwierigkeit. 1 2 3 Algebra Gib P = (30,‒ 20) ein! Der Punkt P erscheint zwar im Algebrafenster, man sieht ihn aber nicht im Grafikfenster – der Bildausschnitt ist zu klein. 1 2 3 Grafik: Verschiebe das Koordinatensystem mit gedrückter linker Maustaste so lange, bis der Punkt P zum Vorschein kommt! 1 2 3 Grafik: Soll auch der Koordinatenursprung weiterhin sichtbar bleiben, scrolle mit dem Mausrad, um in das Bild hinein zu zoomen bzw. aus dem Bild heraus zu zoomen. Alternativ kann man dafür auch die Symbole mit den Lupen verwenden. G E.19 Zeichne das Dreieck ABC und positioniere es so, dass es im Grafikfenster gut sichtbar ist! a) A = (‒10 1 10), B = (12 1 ‒3) und C = (5 1 14) b) A = (‒20 1 ‒ 30), B = (50 1 10) und C = (60 1 40) c) A = (‒200 1 ‒130), B = (75 1 10) und C = (0 1 260) G E.20 Zeichne die Gerade g, die durch die Punkte A = (0 1 0) und B = (1 1 1) verläuft, und die Gerade h, die durch die Punkte C = (4 1 0) und D = (5 1 1,01) verläuft! Schließe dann das Algebrafenster durch einen Klick auf das Algebrasymbol links. Konstruiere den Schnittpunkt der beiden Geraden und bestimme näherungsweise seine Koordinaten durch Ablesen im Grafikfenster! Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
18 EINFÜHRUNG IN DIE SOFTWARE GEOGEBRA Bild einfügen G E.21 Bestimme näherungsweise den Flächeninhalt von Österreich! LÖSUNG Wir werden eine Österreichkarte mit Maßstab in das Grafikfenster importieren und danach die Außengrenze Österreichs durch ein Vieleck annähern. Eine Österreichkarte mit Maßstab findet man entweder im Internet, in einem Atlas (scannen!) oder über Google Maps (Screenshot anfertigen!). Speichere die Österreichkarte als Bilddatei auf der Festplatte! Werkzeugmenü: Wähle das Werkzeug „Bild“ ! Klicke auf „Durchsuchen“, suche auf der Festplatte nach der abgespeicherten Österreichkarte und wähle sie aus! 1 2 3 4 Werkzeugmenü/Grafik: Klicke nach Auswahl des Werkzeugs „Vieleck“ GeoGebra 5.0 – Icons Mode – Seite 5 von 6 Stand Juni 2017 Mode_parallel.jpg Mode_parallelplane.jpg Mode_pen.jpg Mode_plane.jpg Mode_planethreepoint.jpg Mode_point.jpg Mode_pointonobject.jpg Mode_polardiameter.jpg Mode_polygon.jpg Mode_polyline.jpg Mode_prism.jpg Mode_probabilitycalculator.jpg Mode_pyramid.jpg Mode_ray.jpg Mode_recordtospreadsheet. Mode_regularpolygon.jpg Mode_relation.jpg Mode_rigidpolygon.jpg Mode_roots.jpg Mode_rotatearoundline.jpg Mode_rotatebyangle.jpg Mode_rotateview.jpg Mode_segment.jpg Mode_segmentfixed.jpg Mode_semicircle.jpg Mode_showcheckbox.jpg Mode_showhidelabel.jpg Mode_showhideobject.jpg Mode_slider.jpg Mode_slope.jpg Mode_solve.jpg Mode_sphere2.jpg Mode_spherepointradius.jpg Mode_substitute.jpg Mode_sumcells.jpg im Gegenuhrzeigersinn auf Punkte entlang der Außengrenze Österreichs! Klicke am Ende wieder den ersten Punkt an, um das Vieleck zu schließen! 1 2 3 4 Algebra: Lies den Flächeninhalt des Vielecks ab (hier 17,4)! Um den Maßstab berücksichtigen zu können, zeichne eine Strecke vom Anfang zum Ende der 100 km-Markierung auf der Karte und lies ihre Länge im Algebrafenster ab (evtl. hinunterscrollen, hier: 1,49)! 1 2 3 4 Grafik: Durch Verschieben der Punkte A und B an den Ecken des Bildes lässt sich das Bild an eine beliebige Stelle des Grafikfensters verschieben. 1 2 3 4 Um nun den Flächeninhalt von Österreich näherungsweise zu ermitteln, vergleichen wir die Längen (Flächen) im Grafikfenster mit den Längen (Flächen) in der Wirklichkeit: 1,49 š 100 km w 0,0149 š 1 km w 0,01492 š 1 km2 w 17,4 š (17,4 : 0,01492) km2 ≈ 78 000 km2 Eine Fläche von 17,4 im Grafikfenster entspricht also einer Fläche von etwa 78 000 km2 in Wirklichkeit (Vergleiche mit dem Wert, den man im Internet oder in Büchern findet!). G E.22 Füge ein (annähernd) quadratisches Bild ins Grafikfenster ein! Öffne danach die Registerkarte „Position“ in den Einstellungen des Bildes! Lege als Eckpunkte des Bildes folgende Punkte fest und schließe die Einstellungen! Beschreibe und erkläre, was mit dem Bild jeweils passiert! 1. Eckpunkt 2. Eckpunkt 4. Eckpunkt a) (1 1 1) (10 1 1) (1 1 10) b) (1 1 1) (10 1 10) (1 1 10) c) (10 1 1) (1 1 1) (10 1 10) d) (1 1 10) (10 1 1) (10 1 1) e) (1 1 10) (2 1 10) (1 1 1) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
19 GRUNDKOMPETENZEN FÜR DIE REIFEPRÜFUNG Wissen über algebraische Begriffe angemessen einsetzen können: Variable, Terme, Formeln (Un-)Gleichungen, […]; Äquivalenz, Umformungen, Lösbarkeit Mit Aussagen und Mengen umgehen können. Einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten können. Lineare Gleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen und die Lösung im Kontext deuten können. AG-R 1.2 AG-L 1.3 AG-R 2.1 AG-R 2.2 Im Folgenden nutzen wir GeoGebra dazu, bestimmte Mengen zu veranschaulichen. Schlage dazu im Schulbuch Mathematik verstehen 5 die Seite 23 auf! Wir werden die dort abgebildeten Mengendiagramme in GeoGebra „nachzeichnen“. Veranschaulichen von Mengen G 1.01 A und B sind Teilmengen einer Grundmenge G. Veranschauliche die drei Mengen in einem gemeinsamen Diagramm! LÖSUNG Öffne den Grafikrechner und folge den Anweisungen! Werkzeugmenü: Wähle das Werkzeug „Kreis mit MP und Radius“ GeoGebra 5.0 – Icons Mode – Seite 3 von 6 Stand Juni 2017 Mode_angle.jpg Mode_anglefixed.jpg Mode_angularbisector.jpg Mode_area.jpg Mode_attachdetachpoint.jpg Mode_buttonaction.jpg Mode_circle2.jpg Mode_circle3.jpg Mode_circlearc3.jpg Mode_circleaxispoint.jpg Mode_circlepointradius.jpg Mode_circlepointradiusdirection. Mode_circlesector3.jpg Mode_circumcirclearc3.jpg Mode_circumcirclesector3. Mode_compasses.jpg Mode_complexnumber.jpg Mode_cone.jpg Mode_conic5.jpg Mode_conify.jpg Mode_copyvisualstyle.jpg Mode_countcells.jpg Mode_createlist.jpg Mode_createlistofpoints.jpg Mode_creatematrix.jpg Mode_createpolyline.jpg Mode_createtable.jpg Mode_cube.jpg Mode_cylinder.jpg Mode_delete.jpg Mode_derivative.jpg Mode_dilatefrompoint.jpg Mode_distance.jpg Mode_ellipse3.jpg Mode_evaluate.jpg aus! 1 2 3 4 Grafik: Klicke zuerst auf den Punkt (0 | 0)! Es öffnet sich ein Fenster, in dem der Radius 2 festgelegt werden kann. Klicke danach auf den Punkt (3 | 0) und wähle auch hier den Radius 2 ! 1 2 3 4 Werkzeugmenü/Grafik: Um die Grundmenge G einzeichnen zu können, verschiebe zunächst das Zeichenblatt so, dass die beiden Kreise zentral im Grafikfenster liegen! Wähle nun das Werkzeug „Vieleck“ GeoGebra 5.0 – Icons Mode – Seite 5 von 6 Stand Juni 2017 Mode_parallel.jpg Mode_parallelplane.jpg Mode_pen.jpg Mode_plane.jpg Mode_planethreepoint.jpg Mode_point.jpg Mode_pointonobject.jpg Mode_polardiameter.jpg Mode_polygon.jpg Mode_polyline.jpg Mode_prism.jpg Mode_probabilitycalculator.jpg Mode_pyramid.jpg Mode_ray.jpg Mode_recordtospreadsheet. Mode_regularpolygon.jpg Mode_relation.jpg Mode_rigidpolygon.jpg Mode_roots.jpg Mode_rotatearoundline.jpg Mode_rotatebyangle.jpg Mode_rotateview.jpg Mode_segment.jpg Mode_segmentfixed.jpg Mode_semicircle.jpg Mode_showcheckbox.jpg Mode_showhidelabel.jpg Mode_showhideobject.jpg Mode_slider.jpg Mode_slope.jpg Mode_solve.jpg Mode_sphere2.jpg Mode_spherepointradius.jpg Mode_substitute.jpg Mode_sumcells.jpg und klicke nacheinander auf die Punkte (– 3 | 3), (– 3 | – 3), (6 | – 3), (6 | 3) und (– 3 | 3)! Öffne die Einstellungen des Rechtecks und stelle in der Registerkarte „Farbe“ die Deckkraft auf 0 und die Farbe auf Schwarz! Blende die Beschriftungen der Rechtecksseiten sowie der beiden Kreise aus! 1 2 3 4 Algebra/Grafik: Klicke auf die kleinen Kreise links neben den Punkten A, B, C, D, E und F! Dadurch werden diese Punkte ausgeblendet. Blende in den Einstellungen des Grafikfensters die Achsen und das Koordinatengitter aus! Speichere die Datei mit „Herunterladen als“ ab! 1 2 3 4 GRUNDLEGENDE BEGRIFFE UND FERTIGKEITEN 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
20 1 GRUNDLEGENDE BEGRIFFE UND FERTIGKEITEN Ein- und Ausblenden von Objekten I) Man kann Objekte nicht nur durch Anklicken des kleinen Kreises links neben dem Objekt im Algebrafenster ausblenden, sondern auch über ihre Einstellungen. II) A usgeblendete Objekte sieht man zwar nicht mehr, sie sind aber immer noch im Hintergrund vorhanden (im Gegensatz zu gelöschten Objekten). Man kann sie durch Anklicken des kleinen Kreises im Algebrafenster wieder anzeigen lassen. Füllen von Objekten G 1.02 A und B sind Teilmengen einer Grundmenge G. Veranschauliche die Menge A ± B! LÖSUNG Wir starten mit dem Ergebnis von G 1.01. Algebra/Grafik/Einstellungen: Um die beiden Kreise schwarz zu umranden, zeichnen wir sie nochmals. Gib dazu in jeweils eine neue Zeile des Algebrafensters nacheinander g = c und h = d ein und drücke jeweils Enter! Blende danach in den Einstellungen die Beschriftungen von g und h aus und wähle die Farbe Schwarz! 1 2 3 Algebra/Einstellungen: Markiere die Kreise c und d im Algebrafenster und öffne ihre gemeinsamen Einstellungen! Wähle in der Registerkarte „Farbe“ die gewünschte Farbe und setze die Deckkraft auf den Wert 100! 1 2 3 Einstellungen: In der Registerkarte „Darstellung“ könnte man als Füllung auch „Schraffur“ auswählen. 1 2 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
21 1 GRUNDLEGENDE BEGRIFFE UND FERTIGKEITEN Kreisbögen zeichnen G 1.03 A und B sind Teilmengen einer Grundmenge G. Veranschauliche die Menge A ° B! LÖSUNG Wir starten mit dem Ergebnis von G 1.01. Werkzeugmenü/Grafik: Wähle das Werkzeug „Kreisbogen“ GeoGebra 5.0 – Icons Mode – Seite 3 von 6 Stand Juni 2017 Mode_angle.jpg Mode_anglefixed.jpg Mode_angularbisector.jpg Mode_area.jpg Mode_attachdetachpoint.jpg Mode_buttonaction.jpg Mode_circle2.jpg Mode_circle3.jpg Mode_circlearc3.jpg Mode_circleaxispoint.jpg Mode_circlepointradius.jpg Mode_circlepointradiusdirection. Mode_circlesector3.jpg Mode_circumcirclearc3.jpg Mode_circumcirclesector3. Mode_compasses.jpg Mode_complexnumber.jpg Mode_cone.jpg Mode_conic5.jpg Mode_conify.jpg Mode_copyvisualstyle.jpg Mode_countcells.jpg Mode_createlist.jpg Mode_createlistofpoints.jpg Mode_creatematrix.jpg Mode_createpolyline.jpg Mode_createtable.jpg Mode_cube.jpg Mode_cylinder.jpg Mode_delete.jpg Mode_derivative.jpg Mode_dilatefrompoint.jpg Mode_distance.jpg Mode_ellipse3.jpg Mode_evaluate.jpg und klicke danach zunächst den Mittelpunkt A und danach H und G an (also im Gegenuhrzeigersinn, sonst erhält man den anderen möglichen Kreisbogen)! 1 2 3 4 Algebra/Werkzeugmenü: Blende zunächst die beiden Kreismittelpunkte ein und schneide die beiden Kreise mit dem Werkzeug „Schnittpunkt“ GeoGebra 5.0 – Icons Mode – Seite 4 von 6 Stand Juni 2017 Mode_expand.jpg Mode_extremum.jpg Mode_extrusion.jpg Mode_factor.jpg Mode_fitline.jpg Mode_freehandshape.jpg Mode_functioninspector.jpg Mode_hyperbola3.jpg Mode_image.jpg Mode_integral.jpg Mode_intersect.jpg Mode_intersectioncurve.jpg Mode_join.jpg Mode_keepinput.jpg Mode_linebisector.jpg Mode_locus.jpg Mode_maxcells.jpg Mode_meancells.jpg Mode_midpoint.jpg Mode_mincells.jpg Mode_mirroratcircle.jpg Mode_mirroratline.jpg Mode_mirroratplane.jpg Mode_mirroratpoint.jpg Mode_move.jpg Mode_moverotate.jpg Mode_multivarstats.jpg Mode_net.jpg Mode_nsolve.jpg Mode_numeric.jpg Mode_onevarstats.jpg Mode_orthogonal.jpg Mode_orthogonalplane.jpg Mode_orthogonalthreed.jpg Mode_parabola.jpg ! 1 2 3 4 Grafik/Einstellungen: Zeichne nun nochmals die beiden Kreise und setze ihre Farbe auf Schwarz, um wieder Umrandungen zu erhalten! Blende danach die Mittelpunkte und Schnittpunkte der Kreise aus! Blende nun auch die Beschriftungen der beiden Kreise und der beiden Kreisbögen aus! 1 2 3 4 Einstellungen: Öffne die Registerkarte „Farbe“ in den Einstellungen des Kreisbogens g, wähle eine Farbe und setze die Deckkraft auf den Wert 100! Das füllt die Fläche des zugehörigen Kreissegments. Zeichne und formatiere nun auch den Kreisbogen mit Mittelpunkt B durch die Punkte G und H! 1 2 3 4 G 1.04 A und B sind Teilmengen einer Grundmenge G. Veranschauliche die Menge A\B! Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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