171 8 . 6 historisches zUr Di fferent ialrechnUng einige vorteile einer exakteren Fundierung Bessere absicherung der resultate: Intuitive Überlegungen führen gelegentlich doch zu Fehlern oder zu Unklarheiten, die nur durch exaktere Definitionen der Begriffe geklärt werden können (siehe zum Beispiel Aufgabe 8.04 auf Seite 164). Bessere Mitteilung: Präziser definierte Begriffe können unmissverständlicher mitgeteilt werden. Bei anschaulich-intuitiven Begriffsbildungen besteht immer die Gefahr, dass verschiedene Personen sich verschiedenes darunter vorstellen. vertiefung des verständnisses: Durch genauere Definitionen erkennt man manche Zusammenhänge besser und weiß, was man voraussetzen muss, damit die Resultate gelten. Beispielsweise kann man erkennen, dass aus der Differenzierbarkeit die Stetigkeit folgt, aber nicht umgekehrt (siehe Seite 161). Kritischere Überprüfung von anwendungen: In der Praxis der Mathematik wird einer exakteren Fundierung oft wenig Bedeutung beigemessen. Man begnügt sich mit einem oberflächlichen verständnis und hält ein mathematisches verfahren dann für gesichert, wenn es in vielen Fällen funktioniert. Dieses mag in vielen praktischen Bereichen gerechtfertigt sein. Es besteht aber auch die Gefahr, dass aus mangelnder Kenntnis der genaueren Zusammenhänge mathematische Methoden unkritisch angewandt werden. Ästhetik eines logischen aufbaus: Die Klarheit und Schönheit eines exakteren logischen Aufbaus hat für viele Menschen einen besonderen Reiz. einige Nachteile einer exakteren Fundierung verlust von anschaulich-intuitiven vorstellungen: Der Preis, den man für eine exaktere Fundierung zu bezahlen hat, besteht fast immer darin, dass man einige gewohnte vorstellungen aufgeben oder modifizieren muss. Oft bemerkt man erst hinterher, dass man durch eine exaktere Definition eines Begriffs auch Fälle erfasst hat, an die man zunächst nicht gedacht hat, zB an Oszillationsstellen beim Stetigkeitsbegriff (siehe Seite 160). Kompliziertheit der Darstellung: Begriffsdefinitionen und Argumentationen werden durch Exaktifizierungen meist länger und komplexer. Wenn die Darstellungen zu kompliziert werden, kann das ursprünglich angestrebte Ziel der verständniserleichterung unter Umständen ins Gegenteil verkehrt werden. Durch zu lange, zu komplizierte und zu undurchschaubare Darstellungen kann die verständlichkeit wieder abnehmen. Bis ins 18. Jahrhundert haben Mathematiker die Differentialrechnung auch ohne exaktere Begriffsdefinitionen (zB des Grenzwerts) erfolgreich angewendet. viele Naturwissenschaftler, Techniker und andere Anwender arbeiten auch heute noch auf diesem intuitiven Niveau. Es ist also nicht so, dass die intuitiv-anschaulichen Überlegungen allesamt zu falschen Resultaten geführt haben. Im Gegenteil: Die meisten Resultate waren richtig. Große Mathematiker zeichnen sich oft dadurch aus, dass sie trotz des Fehlens präziser Begriffsbildungen zu richtigen Resultaten kommen. Was bringt also eine exaktere Fundierung? Bei genauerem Hinsehen erkennt man an dieser vorteile, aber auch Nachteile. vor- und Nachteile einer exakteren Fundierung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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