72 3 Untersuchen von Polynomfunkt ionen 3 . 8 eXtremwertaufgaben extremwerte aufgrund von Nebenbedingungen ermitteln 3 . 95 Welches Rechteck vom Umfang 100 hat den größten Flächeninhalt? lösung: Um eine solche Aufgabe richtig zu verstehen, muss man sich zuerst darüber im Klaren sein, was variiert werden kann und was maximal werden soll. Im vorliegenden Fall können die Seitenlängen des Rechtecks variiert werden, wobei der Umfang allerdings immer 100 betragen muss. Das bedeutet: Wenn die eine Seite länger wird, wird die andere kürzer. In der folgenden Abbildung sind einige Rechtecke mit dem Umfang 100 dargestellt, wobei auch die beiden Extremfälle einbezogen werden, in denen eine Seite die Länge 0 hat. Unter allen Rechtecken mit dem Umfang 100 ist nun jenes gesucht, dessen Flächeninhalt maximal ist. Aufgrund der obigen Abbildung vermuten wir, dass die gesuchten Seitenlängen irgendwo zwischen 20 und 30 liegen. Um die gesuchten Seitenlängen zu berechnen, gehen wir von der Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen x und y aus: A(x, y) = x · y Die Funktion A ist eine Funktion in zwei Variablen. Leider kennen wir keine Methode, mit der wir feststellen können, für welches Paar (x 1 y) diese Funktion ein Maximum annimmt. Wir überlegen daher anders. Weil der Umfang 100 betragen muss, gilt die „Nebenbedingung“: 2x + 2y = 100 Wir drücken aus dieser y durch x aus: y = 50 – x Setzen wir dies in die Formel für den Flächeninhalt ein, erhalten wir eine Funktion in einer Variablen: A(x) = x · (50 – x) = 50x – x2 (0 ª x ª 50) Diese Funktion A ist in nebenstehender Abbildung dargestellt. Unsere Aufgabe besteht darin, die globalen Maximumstellen dieser Funktion A im Intervall [0; 50] zu ermitteln: A’(x) = 50 – 2x = 0 É x = 25 Als globale Maximumstellen der Funktion A im Intervall [0; 50] kommen grundsätzlich nur die Randstellen dieses Intervalls sowie die Nullstellen von A’ in Frage. Wir berechnen daher die Werte an diesen Stellen: A(0) = 0, A(25) = 625, A(50) = 0 Daraus erkennen wir: 25 ist Maximumstelle von A in [0; 50]. Ist x = 25 die Länge einer Seite, so erhält man für die Länge der anderen Seite y = 50 – x = 25. Somit gilt: Unter allen Rechtecken vom Umfang 100 hat das Quadrat mit der Seitenlänge 25 den größten Flächeninhalt. L 20 0 10 20 30 40 50 A = 0 A = 0 A = 400 A = 600 A = 600 A = 400 50 40 30 10 0 0 10 20 30 40 50 100 200 300 400 500 600 x A (x) A Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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