73 3 . 8 eXtremwertaufgaben Beachte : Man könnte die Maximumstelle von A in [0; 50] auch so ermitteln: A’(x) = 50 – 2x = 0 É x = 25 A’’(x) = – 2 w A’’(25) = – 2 < 0 w 25 ist lokale (!) Maximumstelle der Funktion A. Da A eine Polynomfunktion vom Grad 2 ist, ist die lokale Maximumstelle 25 automatisch auch eine globale Maximumstelle von A im Intervall [0; 50]. Dieser „Kurzschluss“ funktioniert aber nur, weil die Funktion A eine Polynomfunktion vom Grad 2 ist. Bei Polynomfunktionen höheren Grades kann das globale Maximum nämlich auch an den Randstellen des Intervalls angenommen werden. Deshalb ist es im Allgemeinen besser, wie in der vorangegangenen Aufgabe vorzugehen. Dabei wird die zweite Ableitung nicht gebraucht. Eine Aufgabe der obigen Art nennt man eine extremwertaufgabe. Dabei geht es darum, eine bestimmte Größe unter vorgegebenen Bedingungen möglichst groß oder möglichst klein zu machen. Zweckmäßigerweise geht man dazu in folgenden Schritten vor: vorgehen bei der lösung einer extremwertaufgabe mit hilfe der ersten ableitung allgemein Beispiel (vgl. Aufgabe 3.95) 1. Schritt: „Zielgröße” festlegen: Welche Größe soll maximal bzw. minimal werden? Flächeninhalt A 2. Schritt: Zielgröße als Funktion mehrerer Variablen anschreiben („Zielfunktion”)! A(x, y) = x · y Schreibe nicht nur A = x · y! 3. Schritt: Nebenbedingung(en) anhand des Textes suchen und alle Variablen durch eine ausdrücken! 2x + 2y = 100 w y = 50 – x 4. Schritt: Ergebnis in den Term der Zielfunktion einsetzen und die erhaltene Funktion als Funktion in einer Variablen anschreiben! Definitionsbereich angeben! A(x) = x · (50 – x) = 50x – x2 (0 ª x ª 50) 5. Schritt: Nullstellen der 1. Ableitung dieser Funktion berechnen! Vergleich der Werte an diesen Stellen mit den Werten an den Randstellen des Definitionsintervalls liefert die gesuchte Extremstelle im Definitionsbereich. A’(x) = 50 – 2x = 0 É x = 25 A(0) = 0, A(25) = 625, A(50) = 0 25 ist Maximumstelle von A im Intervall [0; 50]. aufgaben 3 . 96 Ermittle zwei Zahlen x und y mit der Summe 93 so, dass xy2 möglichst groß wird! 3 . 97 Eine Strecke der Länge s ist so in zwei Teile zu teilen, dass das Produkt der Längen der beiden Teilstrecken möglichst groß wird. Gib das Teilungsverhältnis an! 3 . 98 Eine Strecke der Länge s ist so in zwei Teile zu teilen, dass die Summe der Quadrate der Längen der beiden Teilstrecken möglichst klein wird. Gib das Teilungsverhältnis an! 3 . 99 Welches Rechteck mit dem Umfang u hat den größten Flächeninhalt? L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=