Mathematik verstehen 8, Schulbuch

213 AUFGABEN VOM TYP 2 12 . 41 Freier Fall Für einen frei fallenden Körper ist eine Zeit-Ort-Funktion s durch s(t) = g _ 2 · t 2 gegeben (t in Sekun- den, s(t) in Meter). Dabei ist g ≈ 10m/s 2 die Erdbeschleunigung. Aufgabenstellung: a) 1) Ermitteln Sie die Länge des Wegs, den der Körper in den ersten fünf Sekunden zurücklegt! 2) Ermitteln Sie, wie lang der Körper für die ersten 30 Meter braucht! b) 1) Geben Sie an, was man unter der mittleren Geschwindigkeit im Zeitintervall [t 1 , t 2 ] versteht! 2) Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit des Körpers im Zeitintervall [3; 5]! c) 1) Geben Sie an, was man unter der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t versteht! 2) Berechnen Sie die Geschwindigkeit des Körpers zum Zeitpunkt t = 3! 12 . 42 Flächeninhalte 1 Gegeben ist die reelle Funktion f mit f(x) = 2x 3 – 4x 2 . Aufgabenstellung: a) 1) Ermitteln Sie die Nullstellen von f! 2) Zeichnen Sie den Graphen von f für –1 ª x ª 2,5! b) 1) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse zwischen den beiden Nullstellen einschließt! 2) Prüfen Sie, ob dieser Flächeninhalt mit dem Integral von f zwischen den beiden Nullstellen gleichzusetzen ist! Begründen Sie die Entscheidung! 12 . 43 Flächeninhalte 2 Das Rechteck und der gebogene Streifen mit der an jeder Stelle gleichen Breite z in den Abbildungen haben denselben Flächeninhalt A 1 = A 2 . Aufgabenstellung: a) 1) Geben Sie eine Formel für A 1 mit Hilfe von a, b und z an! 2) Begründen Sie zeichnerisch, dass sich die Fläche des gebogenen Streifens in ein Rechteck überführen lässt! b) 1) Zeigen Sie durch Approximation mittels Rechtecksflächen (wie Leibniz), dass A 1 = A 2 ! 2) Beschreiben Sie A 2 als Integral mit Hilfe der Funktionen f und g! 12 . 44 Heben eines Seils Ein a Meter langes Seil liegt aufgerollt auf dem Boden. Seine Masse pro Längeneinheit sei λ (kg/m). Ein Seilstück der Länge x wird angehoben. Dabei muss die Kraft F(x) aufgewendet werden. a) 1) Geben Sie eine Formel für das Gewicht des angehobenen Seilstücks an! (Hinweis: Gewicht = Masse mal Erdbeschleu nigung = m· g, wobei g die Erbeschleunigung in m/s 2 ist.) 2) Geben Sie eine Formel für das Gewicht des gesamten Seils an! b) 1) Begründen Sie: Um das Seil am einen Ende so hoch zu heben, dass das andere Ende gerade den Boden berührt, muss die Arbeit W = λ · g · a 2 __ 2 verrichtet werden. 2) Begründen Sie, dass die Masse des gesamten Seils λ · a ist! AG-R 2 .1 AG-R 2 . 3 FA-R 1 . 4 AN-R 1 . 3 AN-R 2 .1 AG-R 2 . 3 FA-R 1 . 4 AN-R 4 . 2 AN-R 4 . 3 1. A. 1. A. 2. A. 2. A. 0 z a b 0 z f g a b A 1 A 2 AG-R 2 .1 AN-R 4 .1 AN-R 4 . 3 F (x) x AG-R 2 .1 AN-R 4 . 2 AN-R 4 . 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv