Mathematik verstehen 8, Schulbuch

214 12 Rei feprüfung: Analysis 12 . 45 Funktion mit gegebener Ableitung Die Ableitung der Funktion f: [– 3; 3] ¥ ℝ ist durch f’(x) = (x + 1)(​x – 2)​ 2 ​gegeben. Der Graph von f enthält den Punkt (– 2 1 6). Aufgabenstellung: a) 1) Ermitteln Sie eine Termdarstellung von f und zeichnen Sie den Graphen von f! 2) Geben Sie den Typ der Funktion f an! b) 1) Geben Sie den größten und kleinsten Funktionswert von f in [– 3; 3] an! 2) Geben Sie an, für welche x * [– 3; 3] die Beziehung f(x) º f(2) gilt! 12 . 46 Bewegung eines Körpers 1 Für die Bewegung eines Körpers lässt sich die Abhängigkeit der Geschwindigkeit v von der Zeit t annähernd durch die Funktion v mit v(t) = ​ t​ ​ 2 ​ _ 10 ​+ ​ t _ 5 ​modellieren (t in s, v(t) in m/s). Aufgabenstellung: a) 1) Geben Sie eine Termdarstellung der Zeit-Ort-Funktion s: t ¦ s(t) mit s(0) = 0 an! 2) Geben Sie eine Termdarstellung der Beschleunigungsfunktion a: t ¦ a(t) an! b) 1) Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit des Körpers in den ersten fünf Sekunden! 2) Ermitteln Sie den Zeitpunkt, zu dem seine Momentangeschwindigkeit gleich dieser mittleren Geschwindigkeit ist! c) 1) Berechnen Sie die mittlere Beschleunigung des Körpers in den ersten fünf Sekunden! 2) Geben Sie an, um wie viel seine Geschwindigkeit im Mittel pro Sekunde zunimmt! d) Für eine langsamere Bewegung ist die Beschleunigungsfunktion a durch den nebenstehenden Graphen gegeben. 1) Entnehmen Sie der Abbildung die Geschwindigkeitszunahme im Zeitintervall [0; 5], ohne eine Termdarstellung für a aufzustellen! 2) Begründen Sie Ihr Vorgehen! 12 . 47 Bewegung eines Körpers 2 In der nebenstehenden Abbildung ist die Geschwindigkeit v ­ eines Körpers in Abhängigkeit von der Zeit t im Verlauf von fünf Sekunden dargestellt. Aufgabenstellung: a) 1) Beschreiben Sie, was der Inhalt der grün unterlegten Fläche angibt! 2) Prüfen Sie, ob die folgende Aussage wahr oder falsch ist! Begründen Sie die Entscheidung! ​ : 0 ​ 1 ​ v(t)​dt = ​ : 4 ​ 5 ​ v(t)​dt b) 1) Begründen Sie, dass die Beschleunigung des Körpers während der fünf Sekunden konstant ist! 2) Ermitteln Sie anhand der Abbildung die mittlere Geschwindigkeit des Körpers in diesen fünf Sekunden, ohne eine Termdarstellung von v aufzustellen! c) 1) Beschreiben Sie, wie sich der Graph von v ändert, wenn sich der Körper mit gleicher Anfangsgeschwindigkeit, aber mit höherer konstanter Beschleunigung bewegt! 2) Beschreiben Sie, wie sich der Graph von v ändert, wenn sich der Körper mit größerer Anfangsgeschwindigkeit, aber mit der gleichen konstanten Beschleunigung bewegt! FA-R 1 . 2 FA-R 4 . 3 AN-R 4 . 2 AG-R 2 . 2 FA-R 1 . 4 AN-R 1 . 3 AN-R 2 .1 AN-R 4 . 2 AN-R 4 . 3 t (in s) 0,15 1,05 5 0 a (in m/s 2 ) FA-R 2 . 2 FA-R 2 . 3 FA-R 2 . 4 AN-R 1 . 3 AN-R 4 . 3 1 2 3 1 2 3 4 5 0 v (in m/s) t (in s) Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv