1.03 Konrad möchte 20 Bonbons so in Papiersackerl einpacken, dass in jedem Sackerl gleich viele Bonbons sind. Welche Möglichkeiten hat er, dies zu tun? Lösung: Da 20 = 20·1, kann er 20 Bonbons in ein Sackerl geben. Da 20 = 10·2, kann er je zehn Bonbons in zwei Sackerl geben. Da 20 = 5·4, kann er je fünf Bonbons in vier Sackerl geben. Da 20 = 4·5, kann er je vier Bonbons in fünf Sackerl geben. Da 20 = 2·10, kann er je zwei Bonbons in zehn Sackerl geben. Da 20 = 1·20, kann er je ein Bonbon in 20 Sackerl geben. In Aufgabe 1.03 kann man erkennen, dass die Zahl 20 durch 20, 10, 5, 4, 2 und 1 teilbar ist. Diese Zahlen sind Teiler der Zahl 20. 4 ist ein Teiler von 20 bzw. 4 teilt 20, da bei der Division 204 kein Rest bleibt. Dies schreibt man so an: 4 ! 20 Es gilt ebenso: 1 ! 20, 2 ! 20, 5 ! 20, 10 ! 20 und 20 ! 20 Die Menge aller Teiler der Zahl 20 nennt man die Teilermenge von 20: T20 = {1, 2, 4, 5, 10, 20} 1.04 In einer Sportgruppe befinden sich 17 Mädchen. Ist es möglich, dass sich diese Kinder in einer 1) Zweierreihe, 2) Dreierreihe, 3) Fünferreihe aufstellen, ohne dass jemand übrig bleibt? Begründe die Antworten! Lösung: 1) Nein, da 17 nicht durch 2 teilbar ist. 2) Nein, da 17 nicht durch 3 teilbar ist. 3) Nein, da 17 nicht durch 5 teilbar ist. In Aufgabe 1.04 kann man erkennen, dass die Zahl 17 nicht durch 2, 3 und 5 teilbar ist. Diese Zahlen sind keine Teiler der Zahl 17. 2 ist kein Teiler von 17 bzw. 2 teilt 17 nicht, da bei der Division 172 ein Rest bleibt. Dies schreibt man so an: 2 ~ 1 7 Es gilt ebenso: 3 ~ 17 und 5 ~ 17 Die einzigen beiden Teiler von 17 sind die Zahlen 1 und 17. Die Teilermenge von 17 sieht daher so aus: T17 = {1, 17} Sind t und z natürliche Zahlen mit t ≠ 0 und z ≠ 0, dann gilt: Die Zahl t ist ein Teiler der Zahl z, wenn bei der Division zt kein Rest bleibt; daher t ! z. Die Zahl 1 teilt jede natürliche Zahl z. Es gilt: 1 ! z. Jede natürliche Zahl z (außer 0) hat sich selbst als Teiler. Es gilt: z ! z. Die Zahlen 1 und z sind unechte Teiler der Zahl z. Alle weiteren Teiler sind echte Teiler der Zahl z. Bemerkungen: Jede natürliche Zahl z > 1 hat mindestens zwei (unechte) Teiler. – Ist die Zahl z = 1, gilt nur 1 ! 1. Die Teilermenge der Zahl 1 ist daher T1 = {1}. – Die natürliche Zahl 0 ist durch jede andere Zahl (außer 0) teilbar. Daher kann die Teilermenge der Zahl 0 mit T0 = N* angegeben werden. O A O A 1 13 Teiler und Teilbarkeit Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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