A B C Mathematik verstehen Salzger | Bachmann | Germ | Riedler | Singer | Ulovec Auch mit E-Book+ erhältlich
Mathematik verstehen 2, Schülerbuch mit E-Book Schulbuchnummer 170198 Mathematik verstehen 2, Schülerbuch mit E-Book+ Schulbuchnummer 195128 Mit Bescheid des Bundesministeriums für Bildung und Frauen vom 3. Oktober 2014, GZ BMUKK-5.018/0112-B/8/2013, gemäß § 14 Absatz 2 und 5 des Schulunterrichtsgesetzes, BGBl. Nr. 472/86, und gemäß den derzeit geltenden Lehrplänen als für den Unterrichtsgebrauch an allgemein bildenden höheren Schulen und Neuen Mittelschulen für die 2. Klasse im Unterrichtsgegenstand Mathematik geeignet erklärt. Mit Bescheid vom 11. August 2021, GZ. 2021-0.425.345 teilt das Bundesministeriums für Bildung, Wissenschaft und Forschung mit, dass gegen die aktualisierte Fassung des Werkes „Mathematik verstehen 2, Schülerbuch“ (BNR 170.198) kein Einwand besteht. Mit Bescheid des Bundesministeriums für Bildung, Wissenschaft und Forschung vom 18. September 2019, GZ BMBWF5.018/0088-Präs/14/2018, gemäß § 14 Absatz 2 und 5 des Schulunterrichtsgesetzes, BGBl. Nr. 472/86, und gemäß den derzeit gelten-den Lehrplänen als für den Unterrichtsgebrauch an allgemein bildenden höheren Schulen und Neuen Mittelschulen für die 2. Klasse im Unterrichtsgegenstand Mathematik geeignet erklärt. Mit Bescheid vom 4. August 2021, GZ. 2021-0.428.234 teilt das Bundesministeriums für Bildung, Wissenschaft und Forschung mit, dass gegen die aktualisierte Fassung des Werkes „Mathematik verstehen 2, Schülerbuch mit E-BOOK+“ (BNR 195.128) kein Einwand besteht. Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Ó 89rw6e Informationen für Lehrerinnen und Lehrer auf www.oebv.at im Bereich Digitales Zusatzmaterial. Liebe Schülerin, lieber Schüler, du bekommst dieses Schulbuch von der Republik Österreich für deine Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Umschlagfoto: nazar_ab / Getty Images - iStockphoto 1. Auflage (Druck 0001) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2022 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Redaktion: Dr.in Helene Ranetbauer, Wien Herstellung: Pia Moest, Wien; Ing. Bianca Mannsberger, Wien Umschlaggestaltung: Jens-Peter Becker, normaldesign GbR, Schwäbisch Gmünd Layout: Jens-Peter Becker, normaldesign GbR, Schwäbisch Gmünd Illustrationen: Mag. Adam Silye, Wien Technische Zeichnungen: Ing. Mag. Dr. Herbert Löffler, Wien; Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig Karten: Freytag-Berndt u. Artaria KG, Wien Satz: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig Druck: Ferdinand Berger & Söhne Ges.m.b.H., Horn ISBN 978-3-209-11146-3 (Mathematik verstehen SB 2 + E-Book) ISBN 978-3-209-11158-6 (Mathematik verstehen SB 2 + E-Book+) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
www.oebv.at 2 Mathematik verstehen Prof. Mag. Dr. Bernhard Salzger Prof.in Mag.a Judith Bachmann, MPOS Prof.in Mag.a Andrea Germ Prof.in Mag.a Barbara Riedler HS-Prof.in Mag.a Dr.in Klaudia Singer MMag. Dr. Andreas Ulovec Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Erklärungen zum Buch Wichtige Inhalte sind durch einen orangefarbenen Hintergrund hervorgehoben. Wichtige Begriffe sind zusätzlich fett geschrieben. 1.01 Musteraufgaben sind durch eine grüne Hinterlegung hervorgehoben. Lösung: Hier ist die gesamte Bearbeitung der Aufgabe ersichtlich. Aufgaben Die Farbe neben der Aufgabennummer gibt die Art der Aufgabe an. 1.02 … grundlegende Aufgaben 1.03 … weiterführende Aufgaben 1.04 … anspruchsvolle Aufgaben Die Handlungsbereiche sind im Farbbalken ersichtlich. 1.05 … Darstellen, Modellbilden (H1) 1.06 … Operieren, Rechnen (H2) 1.07 … Interpretieren (H3) 1.08 … Argumentieren, Begründen (H4) Diese Aufgaben können in Gruppenarbeit gelöst werden. Diese Aufgaben können in Partnerarbeit gelöst werden. Dieses Symbol bedeutet, dass hier die Verwendung des Computers empfohlen wird. Wenn zusätzlich ein Code am Ende der Seite angeführt ist, gibt es dazu eine entsprechende Online-Ergänzung. Der Online-Code ist im Suchfeld auf www.oebv.at einzugeben. Die Abkürzung Info führt zu weiteren Hintergrundinformationen. Jene mit Demo bietet interaktive Applets zum besseren Theorieverständnis. Unter Übung gibt es weitere Übungsaufgaben, die direkt am Computer zu lösen sind. Die Abkürzung Werkzeug kennzeichnet Aufgaben, die mittels Technologie (GeoGebra, Tabellenkalkulation, …) gelöst werden können. Für diese Aufgaben ist der Einsatz des Taschenrechners sinnvoll. Über die Herkunft vieler mathematischer Begriffe informiert das Glossar auf Seite 285. D O I A C B Ó ó Hier siehst du, in welchem Inhaltsbereich du dich gerade befindest. 2 Inhaltsbereich Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Inhaltsverzeichnis Zurück aus den Ferien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 I1: Zahlen und Maße 1 Teiler und Teilbarkeit 12 1.1 Teiler und Vielfache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2 Teilbarkeit natürlicher Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3 Gemeinsame Teiler und Vielfache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.4 Was ist eine Primzahl? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.5 EXTRABLATT Die Welt der Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.6 Kompetenzcheck 32 2 Zahlen in Bruchdarstellung und Dezimaldarstellung 34 2.1 Teile des Ganzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2 Erweitern und kürzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3 Bruch- und Dezimaldarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.4 Zahlen vergleichen und ordnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.5 Verhältnisse angeben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.6 Zahlen in Bruchdarstellung addieren und subtrahieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.7 Zahlen in Bruchdarstellung multiplizieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.8 Zahlen in Bruchdarstellung dividieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.9 Alle vier Grundrechenarten verbinden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.10 EXTRABLATT Aufteilen – damals und heute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.11 Kompetenzcheck 82 3 Relative Anteile 84 3.1 Absolute und relative Anteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.2 Zahlen in Prozentdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.3 Mit relativen Anteilen rechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.4 Veranschaulichungen relativer Anteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.5 Vermehrung und Verminderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.6 Zahlen in Promilledarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.7 EXTRABLATT Hundertprozentig! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 3.8 Kompetenzcheck 108 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
I2: Variablen, funktionale Abhängigkeiten 4 Gleichungen 110 4.1 Mit Variablen Sachverhalte beschreiben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.2 Gleichungen aufstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.3 Gleichungen lösen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.4 Terme und Formeln interpretieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.5 Textaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.6 EXTRABLATT Achtung, Formeln! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4.7 Kompetenzcheck 126 5 Proportionalitäten 128 5.1 Direkte Proportionalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 5.2 Indirekte Proportionalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 5.3 Textaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 5.4 EXTRABLATT Einfache Verhältnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5.5 Kompetenzcheck 148 I3: Geometrische Figuren und Körper 6 Bekanntes und Neues aus der Geometrie 150 6.1 Das kartesische Koordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 6.2 Besondere Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 6.3 Kongruente Figuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 6.4 Streckensymmetrale und Winkelsymmetrale 162 6.5 EXTRABLATT Der Jakobsstab und die Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 6.6 Kompetenzcheck 168 7 Dreiecke 170 7.1 Grundlegende Begriffe und Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 7.2 Arten von Dreiecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 7.3 Dreiecke konstruieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 7.4 Besondere Punkte bei Dreiecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 7.5 Der Umfang eines Dreiecks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 7.6 Der Flächeninhalt eines rechtwinkeligen Dreiecks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 7.7 Sätze über Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 7.8 EXTRABLATT Die Euler‘sche Gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 7.9 Kompetenzcheck 204 4 Inhaltsverzeichnis Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
8 Vierecke 206 8.1 Vierecke im Alltag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 8.2 Rechteck und Quadrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 8.3 Parallelogramm und Rhombus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 8.4 Das Trapez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 8.5 Das Deltoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 8.6 Das allgemeine Viereck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 8.7 Vermischte Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 8.8 EXTRABLATT Das Haus der Vierecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 8.9 Kompetenzcheck 232 9 Vielecke 234 9.1 Eigenschaften von Vielecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 9.2 Das regelmäßige Sechseck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 9.3 Das regelmäßige Achteck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 9.4 Weitere regelmäßige Vielecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 9.5 eXTRABLATT Waben, Fußbälle etc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 9.6 Kompetenzcheck 244 10 Das Prisma 246 10.1 Eigenschaften von Prismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 10.2 Körperschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 10.3 Das Volumen eines Prismas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 10.4 Netz und Oberflächeninhalt eines Prismas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 10.5 eXTRABLATT Reflexionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 10.6 Kompetenzcheck 262 I4: Statistische Darstellungen und Kenngrößen 11 Häufigkeiten 264 11.1 Daten grafisch darstellen und interpretieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 11.2 Absolute und relative Häufigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 11.3 Kann man Statistiken verfälschen? 273 11.4 eXTRABLATT Vorhersagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 11.5 Kompetenzcheck 276 Lösungen zum Kompetenzcheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 Mathematische Zeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 Glossar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 Stichwortregister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Wiederholung 1 Ergänze die passende Maßeinheit! a) Nargis: „Meine Schultasche wiegt 4000 .“ b) Simon: „Mein Schulweg beträgt 2,5 .“ c) Mona: „Mein Taschengeld beträgt 10 .“ d) Liam: „Ein Fußballplatz ist 1 groß.“ e) Nikola: „Ich bin 32 schwer.“ f) Adrian: „Mein Zimmer ist 12 groß.“ g) Nadja: „Ich kann 850 hoch springen.“ 2 Ben hat in seinem Sparschwein 208 Ein-Cent-Stücke, 278 Zwei-Cent-Stücke und 143 Fünf-CentStücke gesammelt. Wie viel Euro sind das? 3 Marina kauft im Lebensmittelgeschäft Waren für 13,75€ ein. In der Trafik zahlt sie 5,20€ für Zeitungen und im Blumengeschäft 6,40€ für eine Pflanze. 1) Wie viel Geld hat Marina ausgegeben? 2) Wie viel Geld hat sie noch, wenn sie die Einkäufe mit einem 50-€-Schein bezahlt hat? 4 Welche Gegenstände wiegen mit Sicherheit mehr als 1 kg? Kreuze diese an! vollgepackte Schultasche Jausenbrot kleine Trinkflasche zwei Äpfel Atlas Sporttasche mit Turnsachen Zurück aus den Ferien 6 Was haben wir im letzten Schuljahr gelernt? ur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
5 Kreuze alle richtigen Umformungen an! a) 1,08 t 1 800 kg 1 t 80 kg 10800dag 1 080 kg b) 5,64 km 5640m 5 km 640m 5064m 564m c) 4,003 kg 4 kg 3dag 4003g 40030g 4 kg 3g d) 7,04m 7m 4 cm 7040mm 704 cm 74dm e) 246 kg 2,46 t 0,246 t 2460dag 24600dag f) 527m 5270dm 5270 cm 5,27km 5027cm g) 5,36 t 5 t 36 kg 5360 kg 5 t 360 kg 5036 kg h) 2,004 km 2004m 2 km 40m 20040dm 2 km 4m 6 Forme zuerst richtig um und setze dann „<“ „=“ oder „>“ ein! a) 8m 60 cm = cm 8400 cm e) 45dm = mm 450mm b) 5dm = mm 50mm f) 8,5m = cm 850 cm c) 55 km 2m = m 5502m g) 5 km 40m = m 5400m d) 6,4dm = cm 64 cm h) 850m = km 8,5 km 7 Welche Flächen haben mit Sicherheit ein kleineres Maß als 1m2? Kreuze diese an! Tafelfläche Zeichenblatt Kopftuch Klassentür Fliese Bettüberzug 8 Forme zuerst richtig um und setze dann „<“ „=“ oder „>“ ein! a) 980mm2 = cm2 98 cm2 e) 2340 cm2 = dm2 23,4dm2 b) 4,57m2 = dm2 4570dm2 f) 5600m2 = a 5,6 a c) 124 ha = km2 12,4 km2 g) 0,7cm2 = mm2 700mm2 d) 740 cm2 = dm2 7,4dm2 h) 7,3 a = m2 73m2 9 Gib an, ob der Flächeninhalt (A) oder das Volumen (V) zu berechnen ist! a) Schachtel mit Buntpapier bekleben e) Luftmenge in einem Aufzug b) Erde für einen Blumentrog f) Zimmer ausmalen c) Inhalt eines Aquariums g) Swimmingpool mit Fliesen auslegen d) Verputz für eine Mauer h) Schwimmbecken füllen 10 Welche Volumina (Rauminhalte) sind mit Sicherheit größer als 1m3? Kreuze diese an! Inhalt eines Koffers gefüllte Badewanne Luftmenge in einem Auto Wassermenge im Schwimmteich Luftmenge im Klassenzimmer Inhalt eines Kleiderschranks 11 Die Genauigkeit von Maßangaben ist oftmals nicht sinnvoll. Korrigiert die Aussage so, dass die Angabe sinnvoll ist! Recherchiert genauere Werte im Internet! a) Das Volumen eines Fußballs beträgt 5306,04 cm3. b) Die Entfernung Innsbruck – Kufstein beträgt 74,53 km. c) Für ein Vollbad in einer Badewanne verbraucht man 100 bis 400 Liter Wasser. d) Der Radius der Erde beträgt 6378,14 km. e) Das Land Salzburg hat einen Flächeninhalt von 7154,23 km2. B Ó 1 7 Zurück aus den Ferien Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
12 Forme zuerst richtig um und setze dann „<“ „=“ oder „>“ ein! a) 801mm3 = cm3 8,1 cm3 e) 4320 cm3 = dm3 43,2dm3 b) 4,57m3 = dm3 4570dm3 f) 56m3 = dm3 5600dm3 c) 132dm3 = m3 1,32m3 g) 5 cm3 = mm3 0,005mm3 d) 35 cm3 = dm3 0,03dm3 h) 7,6dm3 = cm3 800 cm3 13 Kreuze alle richtigen Umformungen an! a) 738m2 7,38a 7380dm2 7 a 38m2 73800dm2 b) 504m 50,4dm 0,504 km 50400 cm 0,54 km c) 702dm3 7020 cm3 0,702m3 70200 cm3 7,02m3 d) 0,63 km 63m 630dm 630m 63000 cm e) 5,3 cm3 0,0053dm3 5300mm3 530mm3 0,053dm3 f) 7cm2 700m2 0,07m2 700mm2 0,07dm2 g) 7,3m3 7m3 3dm3 7300dm3 7m3 300dm3 730dm3 h) 5,04m2 504dm2 5m2 4dm2 5040 cm2 50400 cm2 14 Ordne die Zahlen in einer Kleiner-Kette! a) 3,4 3,004 3,04 0,34 4,03 < < < < b) 8,7 8,699 8,701 8,799 8,67 < < < < 15 1) Welche Zahlen sind durch Markierungen und Variablen auf dem Zahlenstrahl dargestellt? 2) Gib drei Zahlen an, die aufgerundet die Zahl e ergeben! , , 3) Gib drei Zahlen an, die abgerundet die Zahl c ergeben! , , 16 Schreibe die Zahl in Dezimaldarstellung an! a) 1 9 _ 10= c) 3 _ 100= e) 3 1 _ 100= g) 239 _ 100= i) 93 _ 100= b) 2 24 _ 100= d) 27 _ 10 = f) 2 7 _ 100= h) 5 3 _ 10= j) 10 _ 100= 17 Schreibe die Zahl in Bruchdarstellung bzw. in gemischter Form an! a) 1,3 = c) 0,7 = e) 1,45 = g) 4,6 = i) 0,3 = b) 4,02 = d) 0,08 = f) 5,07 = h) 2,49 = j) 1,01 = 18 a) Welche Zahl ist um 1 kleiner als 18,35? b) Gib die Zahl an, die um 1 Zehntel größer ist als 3,5! c) Welche Zahl ist um 7 Hundertstel größer als 0,64? d) Berechne die Zahl, die um 3 Hundertstel kleiner ist als 6,4! e) Gib die Zahl an, die um 2 Zehntel kleiner ist als 35! f) Berechne die Zahl, die um 6 Tausendstel kleiner ist als 22,5! 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 a b c d e f g h 8 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
19 Ergänze die fehlende Zahl! a) 2,4 + = 5,5 d) 5,5 + = 7,32 g) 3,04 – = 2,3 b) 1 – = 0,9 e) 8,04 – = 8 h) 7,14 + = 10 c) 0,03 + = 0,3 f) 6,7 – = 0,05 i) 3,5 + = 5,04 20 Ergänze die fehlende Zahl! a) 9,056·10 = d) 453,354 = 4,53354 g) 5,16·100 = b) 173,21 000 = e) ·1 000 = 30,2 h) 4,032· = 403,2 c) 0,072· = 7,2 f) 10 = 0,045 i) ·100 = 17,5 21 Setze das Komma im Ergebnis an die richtige Stelle! Streiche überflüssige Nuller durch! a) 483,210 = 0 4 8 3 2 0 d) 8,756·100 = 0 8 7 5 6 g) 17,3100 = 0 1 7 3 0 b) 8,756·10 = 0 8 7 5 6 0 e) 483,21 000 = 0 4 8 3 2 0 h) 0,07·10 = 0 0 7 0 0 c) 483,2100 = 0 4 8 3 2 0 f) 8,75·1 000 = 0 8 7 5 0 i) 153,21 000 = 0 1 5 3 2 0 22 Kreuzzahlrätsel: Löst die untenstehenden Aufgaben! Tragt die Ergebnisse waagrecht bzw. senkrecht so in die gekennzeichneten Felder ein, dass in jedem Feld eine Ziffer bzw. die Ziffer an der Einerstelle samt Komma steht! Beachtet, dass bei der Kontrolle nicht nur die Ziffer, sondern auch das Komma übereinstimmen muss! (Es gilt zB: 5 = 5,0 = 5, .) waagrecht senkrecht A 0,25·3 D 2710 A 18100 B 176,5·4 F 100 – 1,3 I 100 + 4,2 C 55 – 0,63 D 0,4·5 J 650 + 1,62 L 17,26·5 E 7,642·1 000 F 90,8 + 0,2 M 2 – 0,57 N 0,3·10 G 25,83 H 24,1·30 O 1562 Q 0,65·4 K 51,3 + 1,7 M 0,5·2 S 8 – 7,8 U 0,7·8 P 92,4 – 7,4 Q 0,68·3 V 20,78·5 X 100 – 4,6 R 6,37·10 S 0,3·3 Y 21,7 + 1,3 Z 9,4·50 T 22,4 + 2,6 W 300·0,3 B A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 9 Zurück aus den Ferien Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Ferienerlebnisse 23 Lara umrundet den Neusiedler See. Lara unternahm gemeinsam mit ihrem Bruder und ihrem Vater eine dreitägige Radtour rund um den Neusiedler See. Von Neusiedl führte die 1. Etappe in das 14 km entfernte Podersdorf. Am Nachmittag hatten sie riesigen Spaß im Podersdorfer Strandbad. Nach der Übernachtung auf dem Campingplatz radelten sie am zweiten Tag 17km nach Illmitz. Von Illmitz fuhren sie mit der Fähre über den See nach Mörbisch und weiter mit dem Fahrrad in das 8 km entfernte Rust. Nach einer weiteren Nacht im Zelt radelten sie am dritten Tag 36 km zurück nach Neusiedl. Besonders gut gefielen Lara die Nächte im Zelt. 1) Wie viele Kilometer hat Lara insgesamt mit dem Fahrrad zurückgelegt? 2) Wie lang ist die zurückgelegte Strecke auf einem Plan mit dem Maßstab 1 : 200000? 3) Die Fahrtzeit mit dem Fahrrad betrug 7,5 Stunden. Mit welcher Durchschnittsgeschwindigkeit war Lara unterwegs? 4) Wie viele Kilometer ist sie durchschnittlich an einem Tag geradelt? 5) Am ersten Tag hatten sie zunächst einen Abstecher nach Gols geplant, wodurch die erste Etappe um 6 km länger gewesen wäre. Um wie viele Kilometer hätte sich dabei die durchschnittliche Tagesstrecke verlängert? 24 Linda hat eigenes Urlaubsgeld. Linda macht mit ihren Eltern Urlaub in Griechenland. Sie hatte 28€ von ihrem Taschengeld gespart und 15€ von ihrer Tante geschenkt bekommen. Mit diesem „Urlaubsgeld“ möchte sie Erinnerungsstücke an den Griechenlandurlaub kaufen. Nun überlegt Linda, wie sie dieses Geld ausgeben kann. 1) Ein Anhänger kostet 8,50€. Wie viele Anhänger könnte sie kaufen? 2) Ein Armband kostet 5,50€. Wie viele Armbänder könnte sie sich leisten? 3) Ein Paar Flip-Flops kosten 13,90€. Wie viele Paare Flip-Flops könnte sie kaufen? 4) Linda hat von ihrem Urlaubsgeld einen Anhänger, ein Paar Flip-Flops und zwei Armbänder gekauft. Wie viel Geld bleibt übrig? 25 Daniel besucht die Rheinfälle. Daniel unternahm mit seinen Großeltern einen Ausflug zu Europas größtem Wasserfall, den Rheinfällen. Mit dem Campingbus fuhren sie von Dornbirn den Bodensee entlang nach Schaffhausen und weiter zu den nahe gelegenen Rheinfällen. Auf einer Besucherplattform konnte Daniel die brodelnden Wassermassen hautnah erleben. Er war begeistert. 1) Der Eintritt ins Schloss Laufen, das unmittelbar am südlichen Rheinufer liegt, kostet samt Nutzung des Panoramalifts und des Erlebnispfads 5CHF für Erwachsene und 3,50CHF für Kinder. 1 CHF (Schweizer Franken) ist umgerechnet 0,82€. Berechne, wie viel Euro der Eintritt für zwei Erwachsene und ein Kind beträgt! 2) Gegeben ist ein Betrag f in CHF sowie der in Euro umgerechnete Betrag e. Welche Umrechnungsformeln zwischen Schweizer Franken und Euro sind richtig? Kreuze die zwei richtigen Formeln an! f·0,82 = e e·0,82 = f f·1,22 = e e·1,22 = f 10 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
26 Die Kinderzimmer von Max und Kathi werden neu eingerichtet. Die Eltern von Max und Kathi nutzten die Sommerferien, um die Kinderzimmer ihrer Zwillinge neu zu gestalten: Für den Start in die 2. Klasse sollen beide Zimmer einen neuen Anstrich erhalten. 1) Kathi berechnet den Inhalt der Fläche, die auszumalen ist: Ihr Zimmer ist 3,5m lang, 3m breit und 2,5m hoch. Das Zimmer von Max ist 3,2m lang, 3,5m breit und 2,5m hoch. Wie groß ist der Inhalt der Gesamtfläche, die zu streichen ist, wenn für Fenster und Türen in jedem Zimmer 4m2 abgezogen werden? 2) Kathi hat berechnet, dass eine Fläche mit dem Maß von rund 80m2 auszumalen ist. Ein Kübel Farbe reicht laut Aufschrift für 20m2 und kostet 15,95€. Wie viel ist insgesamt für die Farbe zu bezahlen? 27 Isabell erhebt die Urlaubsziele der 2C. In der Klasse 2C sind 24 Schülerinnen und Schüler. Isabell führte in der Klasse eine Befragung über die Urlaubsziele im vergangenen Sommer durch. Sie fasst die Ergebnisse ihrer Befragung folgendermaßen zusammen: Ein Drittel der Schülerinnen und Schüler hat den Urlaub am Meer verbracht. Ein Viertel hat sich in den Ferien an einem See in Österreich vergnügt. Ein Sechstel hat Urlaub auf einem heimischen Bauernhof gemacht. Drei Schülerinnen haben Verwandte im Ausland und drei Schüler Verwandte in Österreich besucht. 1) Wie viele Schülerinnen und Schüler haben den Urlaub am Meer oder an einem See verbracht? Welcher Bruchteil der Kinder hat den Urlaub „am Wasser“ verbracht? 2) Wie viele Schülerinnen und Schüler machten Urlaub in Österreich? Welcher Bruchteil der Kinder machte Urlaub in Österreich? 3) Wie viele Schülerinnen und Schüler verbrachten ihren Urlaub im Ausland? Welcher Bruchteil der Kinder verbrachte den Urlaub im Ausland? 4) Naomi verschafft sich einen Überblick über die Urlaubsziele der 2C. Ergänzt Fehlendes! am Wasser: Meer; 6 Österreich: See; Bauernhof; 3 Ausland: Meer; 3 Naomi addiert die Zahlen und erhält 38. In der Klasse sind jedoch nur 24 Schülerinnen und Schüler. Wo liegt der Fehler? 5) Ahmed hat die Urlaubsziele der 2C grafisch dargestellt, wobei die Beschriftung der Diagramme zu ergänzen ist! C C 0 2 4 6 8 10 3 4 6 0 2 4 6 8 10 11 Zurück aus den Ferien Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
I 1 Zahlen und Maße 1.1 Teiler und Vielfache Echte und unechte Teiler 1.01 Wählt acht Schülerinnen und Schüler eurer Klasse aus, die sich geordnet (zB in einer Zweier- oder Dreierreihe) aufstellen sollen! Welche Möglichkeiten ergeben sich? Probiert dies auch mit neun, zehn, elf und zwölf Schülerinnen und Schülern! 1.02 Legt 24 Cent-Münzen vor euch auf den Tisch! In der Abbildung seht ihr diese in drei Zeilen und acht Spalten angeordnet. Welche weiteren Möglichkeiten habt ihr, die 24 Münzen in Form eines Rechtecks aufzulegen? Lasst dabei auch die einfachsten Varianten nicht aus! O Arbeitsheft S 3 C C Deine Ziele in diesem Kapitel • Grundkenntnisse über Teiler und Vielfache natürlicher Zahlen erwerben. • Wichtige Teilbarkeitsregeln kennen, anwenden und begründen können. • Den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache ermitteln können. 1 Teiler und Teilbarkeit 12 Wie teilt man etwas ohne Rest auf? Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
1.03 Konrad möchte 20 Bonbons so in Papiersackerl einpacken, dass in jedem Sackerl gleich viele Bonbons sind. Welche Möglichkeiten hat er, dies zu tun? Lösung: Da 20 = 20·1, kann er 20 Bonbons in ein Sackerl geben. Da 20 = 10·2, kann er je zehn Bonbons in zwei Sackerl geben. Da 20 = 5·4, kann er je fünf Bonbons in vier Sackerl geben. Da 20 = 4·5, kann er je vier Bonbons in fünf Sackerl geben. Da 20 = 2·10, kann er je zwei Bonbons in zehn Sackerl geben. Da 20 = 1·20, kann er je ein Bonbon in 20 Sackerl geben. In Aufgabe 1.03 kann man erkennen, dass die Zahl 20 durch 20, 10, 5, 4, 2 und 1 teilbar ist. Diese Zahlen sind Teiler der Zahl 20. 4 ist ein Teiler von 20 bzw. 4 teilt 20, da bei der Division 204 kein Rest bleibt. Dies schreibt man so an: 4 ! 20 Es gilt ebenso: 1 ! 20, 2 ! 20, 5 ! 20, 10 ! 20 und 20 ! 20 Die Menge aller Teiler der Zahl 20 nennt man die Teilermenge von 20: T20 = {1, 2, 4, 5, 10, 20} 1.04 In einer Sportgruppe befinden sich 17 Mädchen. Ist es möglich, dass sich diese Kinder in einer 1) Zweierreihe, 2) Dreierreihe, 3) Fünferreihe aufstellen, ohne dass jemand übrig bleibt? Begründe die Antworten! Lösung: 1) Nein, da 17 nicht durch 2 teilbar ist. 2) Nein, da 17 nicht durch 3 teilbar ist. 3) Nein, da 17 nicht durch 5 teilbar ist. In Aufgabe 1.04 kann man erkennen, dass die Zahl 17 nicht durch 2, 3 und 5 teilbar ist. Diese Zahlen sind keine Teiler der Zahl 17. 2 ist kein Teiler von 17 bzw. 2 teilt 17 nicht, da bei der Division 172 ein Rest bleibt. Dies schreibt man so an: 2 ~ 1 7 Es gilt ebenso: 3 ~ 17 und 5 ~ 17 Die einzigen beiden Teiler von 17 sind die Zahlen 1 und 17. Die Teilermenge von 17 sieht daher so aus: T17 = {1, 17} Sind t und z natürliche Zahlen mit t ≠ 0 und z ≠ 0, dann gilt: Die Zahl t ist ein Teiler der Zahl z, wenn bei der Division zt kein Rest bleibt; daher t ! z. Die Zahl 1 teilt jede natürliche Zahl z. Es gilt: 1 ! z. Jede natürliche Zahl z (außer 0) hat sich selbst als Teiler. Es gilt: z ! z. Die Zahlen 1 und z sind unechte Teiler der Zahl z. Alle weiteren Teiler sind echte Teiler der Zahl z. Bemerkungen: Jede natürliche Zahl z > 1 hat mindestens zwei (unechte) Teiler. – Ist die Zahl z = 1, gilt nur 1 ! 1. Die Teilermenge der Zahl 1 ist daher T1 = {1}. – Die natürliche Zahl 0 ist durch jede andere Zahl (außer 0) teilbar. Daher kann die Teilermenge der Zahl 0 mit T0 = N* angegeben werden. O A O A 1 13 Teiler und Teilbarkeit Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Aufgaben 1.05 Es sollen 15 Spielkarten in gleich langen Reihen aufgelegt werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es? Zeichne diese auf! 1.06 Es sollen 34 Blumen in einem Beet in gleich langen Reihen so eingepflanzt werden, dass sich jeweils vier Blumen in einer Reihe befinden. Ist das möglich? Begründe die Antwort! 1.07 Kann sich eine Gruppe von 84 Personen in einem Kinosaal so hinsetzen, dass in jeder der zwölf Sitzreihen gleich viele Personen sitzen? Begründe die Antwort! 1.08 Schreibe die Teilermenge der Zahl a) 5, b) 14, c) 18, d) 29, e) 36 an! 1.09 Schreibe fünf Zahlen an, die keine Teiler von a) 18, b) 26, c) 37, d) 40, e) 52 sind! 1.10 Schreibe fünf Zahlen an, die durch a) 3, b) 5, c) 8, d) 12, e) 100 teilbar sind! 1.11 Schreibe fünf Zahlen an, die nicht durch a) 2, b) 5, c) 10, d) 15, e) 50 teilbar sind! 1.12 Setze das Zeichen „ ! “ oder „ ~ “ richtig ein! a) 8 24 d) 6 26 g) 5 50 j) 4 52 m) 15 150 b) 9 19 e) 7 42 h) 11 111 k) 12 60 n) 20 220 c) 3 27 f) 2 42 i) 19 38 l) 16 116 o) 75 175 1.13 Sind die Aussagen richtig oder falsch? Kreuze an! richtig falsch richtig falsch 7 ! 47 23 ! 92 30 ! 130 51 ~ 251 41 ~ 123 101 ~ 707 1 ! 19 4 ! 34 8 ~ 58 79 ! 79 1.14 Es sind x und y natürliche Zahlen mit x ≠ 0 und y ≠ 0. Gib an, ob y ein Teiler von x ist, wenn bei der Division x : y 1) Rest bleibt, 2) kein Rest bleibt. 1.15 Zeige anhand von fünf natürlichen Zahlen z > 1, dass jede dieser Zahlen die unechten Teiler 1 und z besitzt! Hinweis: Dividiere die Zahl z einerseits durch 1, andererseits durch z und stelle fest, ob bei den Divisionen Rest bleibt oder nicht! 1.16 Zeige anhand von fünf natürlichen Teilern t > 0, dass jeder dieser Teiler t die Zahl 0 teilt! Hinweis: Dividiere die Zahl 0 durch t und stelle fest, ob bei der Division Rest bleibt oder nicht! 1.17 Die Gleichung z = 0·t kann niemals erfüllt werden, wenn z ≠ 0. Was folgt daraus? D O A O A D O D O D O D O O I O I Ó I A O A O A Ó Übung – w4q2ej I A 14 I 1 Zahlen und Maße Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Vielfache einer Zahl Alle geraden Zahlen mit Ausnahme der Zahl 0 sind Vielfache von 2. Vielfache von 2 sind somit: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, … Die Menge aller Vielfachen der Zahl 2 nennt man Vielfachenmenge von 2: V2 = {2, 4, 6, 8, …} Jede weitere natürliche Zahl (außer 0) hat Vielfache, beispielsweise: Vielfache von 5 sind: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, … V5 = {5, 10, 15, 20, …} Vielfache von 9 sind: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, … V9 = {9, 18, 27, 36, …} 1.18 Eine Schokoladetafel besteht aus Rippen zu je drei Stückchen. Wie viele Stückchen kann die ganze Tafel Schokolade haben? Lösung: Da die Zahl 3 ein Teiler der Gesamtzahl der Stückchen sein muss, kann die ganze Tafel Schokolade nur 6, 9, 12, 15, 18, … Stückchen haben, dh. ein Vielfaches von 3. Ist t ein Teiler von z, dann ist z ein Vielfaches von t. Aufgaben 1.19 Schreibe die Vielfachenmenge der Zahl a) 4, b) 11, c) 15, d) 23, e) 40 an! Gib dabei zumindest die ersten zehn Elemente an! 1.20 Ergänze die folgende Aussage so, wie es in a) und b) vorgezeigt ist! a) Die Zahl 5 ist ein Teiler von 45, da 45 ein Vielfaches von 5 ist. b) Die Zahl 8 ist kein Teiler von 62, da 62 kein Vielfaches von 8 ist. c) Die Zahl 9 ist Teiler von 109, da . d) Die Zahl 12 ist Teiler von 156, da . e) Die Zahl 35 ist Teiler von 215, da . f) Die Zahl 56 ist Teiler von 168, da . 1.21 Unterstreiche alle Vielfachen von 8 und ringle alle Vielfachen von 12 ein! Welche Eigenschaft haben jene Zahlen, die sowohl unterstrichen als auch eingeringelt sind? 38 48 84 16 24 62 72 156 128 192 216 1.22 Unterstreiche alle Vielfachen von 10 und ringle alle Vielfachen von 15 ein! Welche Eigenschaft haben jene Zahlen, die sowohl unterstrichen als auch eingeringelt sind? 20 45 30 40 25 35 70 100 120 130 225 1.23 Gibt es eine natürliche Zahl n, sodass n·t = z, dann ist z ein Vielfaches von t. In diesem Fall ist z durch t teilbar. Zeige für t = 3 anhand von fünf natürlichen Zahlen n > 1, dass jede Zahl z ein Vielfaches von 3 ist! Hinweis: Wähle zB n = 5! Dann ergibt sich 5·3 = 15. Da bei der Division 153 = 5 kein Rest bleibt, ist 15 ein Vielfaches von 3. Wähle weitere Zahlen für n und verfahre ebenso! 1.24 Wie viele Vielfache hat eine natürliche Zahl n? Begründe die Antwort! O I D O O A O I O I O A A 1 15 Teiler und Teilbarkeit Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
1.2 Teilbarkeit natürlicher Zahlen Grundlegende Regeln zur Teilbarkeit 1.25 Stapelt einen Turm mit acht Büchern und einen mit zwölf Büchern! Lassen sich mit allen Büchern Stapel zu je vier Büchern bilden? 1.26 Magdalena stapelt einen Turm mit zehn Münzen und einen mit 15 Münzen. Kann sie alle 25 Münzen zusammen in Türmen zu je fünf Münzen stapeln? Begründe die Antwort! Lösung: Ja. Da 5 ! 10 und 5 ! 15, kann man erkennen, dass 5 ! (10 + 15), also 5 ! 25. Dies lässt sich in der Summenregel zur Teilbarkeit verallgemeinern: Ist t ein Teiler von z 1 und auch von z 2 , so ist t auch Teiler der Summe (z 1 + z 2). Die Summenregel zur Teilbarkeit gilt auch für Summen aus mehr als zwei Zahlen. Bemerkungen: –– Teilt t die Summe (z1 + z2), so muss t nicht unbedingt Teiler von z1 und z2 sein. ZB: 6 ! 42, aber 6 ~ 32 und 6 ~ 10. –– Teilt t die Zahl z1, aber nicht die Zahl z2, so ist t kein Teiler der Summe (z1 + z2). ZB: 3 ! 18, aber 3 ~ 25, dann gilt: 3 ~ (18 + 25), also 3 ~ 43. 1.27 Eli möchte 70€ gleichmäßig auf sieben Sparschweine aufteilen. Sie kauft sich von dem Geld aber zuvor noch um 14€ ein T-Shirt. Kann sie den Rest immer noch gleichmäßig auf die Sparschweine aufteilen? Begründe die Antwort! Lösung: Ja. Da 7 ! 70 und 7 ! 14, kann man erkennen, dass 7 ! (70 – 14), also 7 ! 56. Dies lässt sich in der Differenzregel zur Teilbarkeit verallgemeinern: Ist t ein Teiler von z 1 und auch von z 2 (mit z1 > z2), so ist t auch Teiler der Differenz (z 1 – z 2). 1.28 Sörens Vater möchte seine 60 DVDs in Regalfächer zu je fünf DVDs einordnen. Ist das möglich? Begründe die Antwort! Lösung: Ja. Da 60 = 10·6 und 5 ! 10, also auch 5 ! (10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10), gilt 5 ! 60. Dies lässt sich in der Vielfachenregel zur Teilbarkeit verallgemeinern: Ist t ein Teiler von z, so ist t auch Teiler eines jeden Vielfachen von z. C D A D A D A 16 I 1 Zahlen und Maße Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Aufgaben 1.29 Wende die Teilbarkeitsregel richtig an! a) 5 ist ein Teiler von 35 und auch von 60. Was gilt für diese Zahlen nach der Summenregel? b) 8 ist ein Teiler von 64 und auch von 96. Was gilt für diese Zahlen nach der Summenregel? c) 12 ist ein Teiler von 156 und auch von 84. Was gilt für diese Zahlen nach der Differenzregel? d) 6 ist ein Teiler von 108 und auch von 78. Was gilt für diese Zahlen nach der Differenzregel? 1.30 Kim hat in einem Sackerl 42 Zuckerl und in einem anderen 18. Kann sie alle Zuckerl so an ihre sechs Freundinnen verteilen, dass jede gleich viele bekommt? Begründe die Antwort! 1.31 Eugen hat in einer Jausenbox sieben Müsliriegel, in einer anderen neun. Kann er alle Müsliriegel so an seine vier Freunde verteilen, dass jeder gleich viele bekommt? Begründe die Antwort! 1.32 Eine Firma hat in einer Halle zehn Baumaschinen gelagert, in einer anderen zwölf. Kann sie an fünf Unternehmen jeweils gleich viele Baumaschinen verleihen? Begründe die Antwort! 1.33 Im Sportverein Bewegung sind 21 Kinder, im Sportverein Pfiff sind 23 Kinder. 1) Können im Sportverein Bewegung Dreiergruppen gebildet werden, ohne dass ein Kind übrig bleibt? Begründe die Antwort! 2) Können im Sportverein Pfiff Dreiergruppen gebildet werden, ohne dass ein Kind übrig bleibt? Begründe die Antwort! 3) Können Dreiergruppen gebildet werden, ohne dass ein Kind übrig bleibt, wenn beide Vereine gemeinsam in einer Halle sind? Begründe die Antwort! 1.34 Zum Aufhängen eines Plakats benötigt Andrea genau vier Reißnägel. In der ersten Schachtel befinden sich 27 Reißnägel, in der zweiten 13 Reißnägel. 1) Kann Andrea einige Plakate vollständig nur mit den Reißnägeln der ersten Schachtel aufhängen? Begründe die Antwort! 2) Kann Andrea einige Plakate vollständig nur mit den Reißnägeln der zweiten Schachtel aufhängen? Begründe die Antwort! 3) Kann Andrea einige Plakate vollständig mit den Reißnägeln aus beiden Schachteln zusammen aufhängen? Begründe die Antwort! 1.35 Setze das Zeichen „ ! “ oder „ ~ “ jeweils richtig ein! a) 4 12, 4 20, also 4 32 e) 9 27, 9 49, also 9 76 b) 3 8, 3 7, aber 3 15 f) 2 62, 2 18, also 2 80 c) 7 56, 7 14, also 7 42 g) 12 24, also 12 2400 d) 10 73, 10 27, aber 10 100 h) 25 100, also 25 1 000000 1.36 Sind die Aussagen richtig oder falsch? Kreuze an! richtig falsch 6 teilt 60, daher teilt 6 auch jedes Vielfache von 60. 15 teilt 35 nicht, 15 teilt 100 auch nicht, daher teilt 15 die Summe (35 + 100) auch nicht. 4 teilt 14 nicht, aber 4 teilt 80, daher teilt 4 die Summe (14 + 80). 8 teilt 88, 8 teilt 32, daher teilt 8 die Differenz (88 – 32). 9 teilt 63, 9 teilt 99, daher teilt 9 die Summe (63 + 99). D O D A D A D A D A D A O I O I 1 17 Teiler und Teilbarkeit Nur zu Prüfzwecken – Eigentum es Verlags öbv
Teilbarkeit durch 2 1.37 Axel möchte seine 14 T-Shirts zu gleichen Teilen in zwei Schubladen legen. 1) Ist das möglich? Begründe die Antwort! 2) Wie viele T-Shirts kann er in jede der beiden Laden legen? Lösung: 1) Ja, denn die gerade Zahl 14 ist ein Vielfaches von 2. Es gilt die Vielfachenregel. 2) Er kann in jede Lade sieben T-Shirts legen, denn 142 = 7. Nur jede gerade Zahl ist durch 2 teilbar. Teilbarkeit durch 5 1.38 Selma sammelt Sticker. Sie bekommt jede Woche eine Packung mit fünf Stickern und schreibt auf, wie viele Sticker sie hat: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, … Was fällt ihr auf? Lösung: Alle Vielfachen von 5 haben entweder die Einerziffer 5 oder die Einerziffer 0. Nur jede Zahl mit der Einerziffer 5 oder der Einerziffer 0 ist durch 5 teilbar. Teilbarkeit durch 10 1.39 Herr Antos wechselt auf der Bank einen 50€-Schein und einen 100€-Schein. Er hätte dafür gern lauter 10€-Scheine. Ist dies möglich? Begründe die Antwort! Lösung: Ja, da 10 ! 50 und 10 ! 100. Jedes Vielfache von 10 hat die Einerziffer 0. Nur jede Zahl mit der Einerziffer 0 ist durch 10 teilbar. Aufgaben 1.40 Kreuze nur richtige Aussagen an und begründe die Entscheidung! a) 2 ! 68 5 ! 68 10 ! 68 e) 2 ! 394 5 ! 394 10 ! 394 b) 2 ! 77 5 ! 77 10 ! 77 f) 2 ! 412 5 ! 412 10 ! 412 c) 2 ! 105 5 ! 105 10 ! 105 g) 2 ! 1 615 5 ! 1 615 10 ! 1 615 d) 2 ! 320 5 ! 320 10 ! 320 h) 2 ! 1 900 5 ! 1 900 10 ! 1 900 1.41 Kann ein 40 cm langes Baguettebrot in lauter 1) 2 cm, 2) 5 cm, 3) 10 cm lange Brotschnitten geteilt werden, ohne dass etwas übrig bleibt? Begründe die Antwort! 1.42 Gib alle Zahlen von 80 bis 100 an, die a) durch 2, b) durch 5, c) durch 10 teilbar sind! 1.43 Setze für * passende Ziffern ein, damit die Aussage stimmt! a) 2 ! 5 * b) 2 ! 69 * c) 2 ! 912 * d) 5 ! 8 * e) 5 ! 23 * f) 5 ! 1 03 * g) 10 ! 74 * h) 10 ! 289 * O A O I O A Ó Übung – jd3yj8 I A O A D O Ó O I 18 I 1 Zahlen und Maße Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Teilbarkeit durch 3 und durch 9 1.44 Boris und Gracia wollen eine Teilbarkeitsregel für 3 und für 9 herausfinden. Dazu legen sie 45 Münzen auf. Was können die beiden erkennen? Lösung: Die Münzen werden so aufgelegt, dass in vier Reihen jeweils zehn Münzen liegen, die restlichen fünf Münzen liegen darunter. In jeder Reihe liegen 9 blau markierte Münzen. Jedes Vielfache von 9 ist durch 9 teilbar. Jedes Vielfache von 9 ist auch durch 3 teilbar. Also kommt es nur auf die Anzahl der grün und orange markierten Münzen an. Die Zehnerziffer 4 ist an den jeweils letzten Münzen jeder Reihe erkennbar, die Einerziffer 5 an der letzten Reihe. Ist die Summe der beiden Ziffern auch durch 3 bzw. 9 teilbar, so ist auch die Zahl durch 3 bzw. 9 teilbar: Die Ziffernsumme ist 4 + 5 = 9. Da die Ziffernsumme durch 3 und durch 9 teilbar ist, ist die Zahl 45 durch 3 und durch 9 teilbar. 1.45 Fortsetzung von Aufgabe 1.41: Boris und Gracia wissen, dass die Zahl 153 durch 3 und durch 9 teilbar ist. Sie wollen nun herausfinden, ob auch bei dreistelligen Zahlen die Ziffernsumme eine Information zur Teilbarkeit durch 3 und 9 gibt. Was können die beiden erkennen? Lösung: Es werden 153 Münzen folgendermaßen aufgelegt: Die Zahl 99 ist durch 9 und somit auch durch 3 teilbar. Also ist in der 100er-Anordnung nur eine Münze markiert. Da jedes Vielfache von 9 (blaue Münzen) durch 9 und somit auch durch 3 teilbar ist, kommt es wieder nur auf die Anzahl der nicht blau markierten Münzen an. Die Hunderterziffer 1 ist an der einen Münze in der 100er-Anordnung erkennbar, die Zehnerziffer 5 an den jeweils letzten Münzen der 50er-Anordnung, die Einerziffer 3 an den verbleibenden drei Münzen. Ist die Summe dieser drei Ziffern auch durch 3 bzw. 9 teilbar, so ist auch die Zahl durch 3 bzw. 9 teilbar: Die Ziffernsumme ist 1 + 5 + 3 = 9. Da die Ziffernsumme durch 3 und durch 9 teilbar ist, ist die Zahl 153 durch 3 und durch 9 teilbar. Nur jede Zahl, deren Ziffernsumme durch 3 teilbar ist, ist durch 3 teilbar. Nur jede Zahl, deren Ziffernsumme durch 9 teilbar ist, ist durch 9 teilbar. Bemerkung: Diese Regel gilt für natürliche Zahlen mit beliebig vielen Ziffern, dh. für einstellige, zweistellige, dreistellige, vierstellige, … Zahlen. O A Ó O A 100 50 3 Ó Demo – i94rx2 1 19 Teiler und Teilbarkeit Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Aufgaben 1.46 Ist die dargestellte Zahl 1) durch 3, 2) durch 9 teilbar? Begründe die Antwort! a) b) c) 1.47 Bilde die Ziffernsumme der folgenden Zahl! Ist die Zahl durch 3 teilbar? a) 78 c) 104 e) 278 g) 301 i) 632 k) 1 083 m) 8520 o) 50010 b) 92 d) 162 f) 288 h) 441 j) 738 l) 2211 n) 12883 p) 1 464717 1.48 Bilde die Ziffernsumme der folgenden Zahl! Ist die Zahl durch 9 teilbar? a) 93 c) 189 e) 317 g) 522 i) 865 k) 2007 m) 15327 o) 60300 b) 150 d) 219 f) 493 h) 657 j) 1 206 l) 5994 n) 21119 p) 4845159 1.49 Kreuze nur richtige Aussagen an und begründe die Entscheidung! a) 3 ! 51 9 ! 51 e) 3 ! 1122 9 ! 1122 b) 3 ! 192 9 ! 192 f) 3 ! 5868 9 ! 5868 c) 3 ! 288 9 ! 288 g) 3 ! 29001 9 ! 29001 d) 3 ! 471 9 ! 471 h) 3 ! 38178 9 ! 38178 1.50 Von einer 144 cm langen Holzleiste wird ein Stück von 27cm Länge abgesägt. Kann der Rest der Leiste in neun gleich lange Teile zersägt werden? Begründe die Antwort! 1.51 Setze für * alle passenden Ziffern so ein, dass die Aussage stimmt! a) 3 ! 181 * 3 c) 3 ! 168 * 92 e) 9 ! * 635 g) 9 ! 23 * 8621 b) 3 ! 6 * 705 d) 3 ! 73 * 503 f) 9 ! 3629 * h) 9 ! 1 * 427591 1.52 Warum ist die Zahl 429 durch 3, aber nicht durch 9 teilbar? 1.53 Begründet, dass die vierstellige Zahl 1 674 durch 9 und somit durch 3 teilbar ist! Hinweis: Leitet die Ziffernsumme von 1 674 durch Münzanordnungen her! 1.54 Die Zahlen 11, 20, 29, 38, … haben alle bei Division durch 9 den Rest 2. Sie fallen alle in dieselbe Restklasse. Das gilt übrigens auch für ihre Ziffernsumme, zB für 38 ist 3 + 8 = 11. Dafür schreibt man: 38 e 2 mod 9 und man liest: „38 ist kongruent 2 modulo 9.“ Bei der Division durch 9 gibt es Restklassen von 0 bis 8, da der kleinste Rest 0 und der größte mögliche Rest 8 ist, wie zB bei der Zahl 89: Hier gilt 89 e 8 mod 9. Nun ist der „Neunerrest“ einer Summe von Zahlen gleich der Summe der „Neunerreste“ der einzelnen Summanden. ZB: Summe: 38 + 89 = 127 und 127 e 1 mod 9 Summe „Neunerreste“: 2 + 8 = 10 und 10 e 1 mod 9 Auch der „Neunerrest“ eines Produkts von Zahlen ist gleich dem Produkt der „Neunerreste“ der einzelnen Faktoren. ZB: Produkt: 38·89 = 3382 und 3382 e 7 mod 9 Produkt „Neunerreste“: 2· 8 = 16 und 16 e 7 mod 9 Sind die Restklassen bei der sogenannten Neunerprobe nicht gleich, liegt mit Sicherheit ein Rechenfehler vor. Überprüft mit dieser Methode die folgende Rechnung: a) 52 + 116 b) 74 + 29 + 85 c) 21·36 d) 47·17·20 D I A O O I A O A O I Ó A B A Ó Übung – di2iw6 O A C 20 I 1 Zahlen und Maße Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Teilbarkeit durch 4 1.55 Es sollen 52 Personen auf vier gleich große Gruppen aufgeteilt werden. 1) Ist das möglich? Begründe die Antwort! 2) Aus wie vielen Personen besteht eine solche Gruppe? Lösung: 1) Ja. Wird eine Zahl durch 2 dividiert und das Ergebnis wieder durch 2 dividiert, wird gesamt durch 4 dividiert. 52 : 2 = 26; die gerade Zahl 26 kann man durch 2 teilen. 2) Eine Gruppe besteht aus 13 Personen, da 52 : 2 : 2 = 52 : 4 = 13. Nur jede gerade Zahl, deren Hälfte auch eine gerade Zahl ist, ist durch 4 teilbar. Bemerkung: Bei Zahlen über 100 muss nur die aus den letzten beiden Ziffern gebildete Zahl durch 4 teilbar sein, da jedes Vielfache von 100 sowieso durch 4 teilbar ist. Beispiel: 2692 = 2600 + 92. 2600 ist ein Vielfaches von 100; 4 ! 100, also auch 4 ! 2600. 922 = 46; da 46 eine gerade Zahl ist, gilt 4 ! 92. Nach der Summenregel zur Teilbarkeit gilt 4 ! (2600 + 92), also 4 ! 2692. Teilbarkeit durch 6 1.56 Schreibe alle Zahlen von 1 bis 25 auf! Unterstreiche alle geraden Zahlen und schreibe alle Zahlen orange, die durch 3 teilbar sind! Welche Zahlen sind unterstrichen und zugleich orange? Welche Eigenschaft haben diese? Lösung: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Die Zahlen 6, 12, 18 und 24 sind unterstrichen und zugleich orange. Diese Zahlen sind Vielfache von 6 und somit durch 6 teilbar. Nur jede gerade Zahl, die durch 3 teilbar ist, ist auch durch 6 teilbar. Aufgaben 1.57 Kreuze nur richtige Aussagen an und begründe die Entscheidung! a) 4 ! 24 6 ! 24 e) 4 ! 456 6 ! 456 b) 4 ! 116 6 ! 116 f) 4 ! 702 6 ! 702 c) 4 ! 162 6 ! 162 g) 4 ! 1 892 6 ! 1 892 d) 4 ! 284 6 ! 284 h) 4 ! 5256 6 ! 5256 1.58 Nicolai möchte aus 34 Münzen Türme bauen, die alle aus jeweils vier Münzen bestehen. Erkläre ihm, warum dies nicht möglich ist! 1.59 Tamira hat bereits 100 Papierblumen gebastelt. Wie viele muss sie mindestens noch anfertigen, damit sie gleich viele Blumen an ihre sechs besten Freundinnen verteilen kann? 1.60 Warum ist 1128 sowohl durch 4 als auch durch 6 teilbar? O I D I I A A O A 1 21 Teiler und Teilbarkeit Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des V rlags öbv
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