Wie viele Primzahlen gibt es? Jede zusammengesetzte Zahl lässt sich eindeutig als Produkt von Primfaktoren darstellen. Bildet man nun das Produkt aus allen schon gefundenen Primzahlen und addiert 1 dazu, kann keiner der verwendeten Primfaktoren Teiler der so entstandenen Zahl sein. Es bleibt beim Dividieren nämlich stets der Rest 1. Beispiel: 2·3·5·7·11·13·17 + 1 = 510510 + 1 = 510511 Diese Zahl 510511 kann nicht die Teiler 2, 3, 5, 7, 11, 13 oder 17 haben. Sie muss eine weitere Primzahl als Teiler haben. Auf diese Weise können beliebig viele weitere Primzahlen gefunden werden, ganz gleich, wie viele Primzahlen bereits bekannt sind. Es gibt unendlich viele Primzahlen. Bemerkung: Die Zahl 1 wird deshalb nicht zu den Primzahlen gezählt, da die Primfaktorenzerlegung einer Zahl sonst nicht eindeutig wäre. ZB: 15 = 3·5 = 1·3·5 = 1·1·3·5 = … Aufgaben 1.102 Untersuche mit Hilfe von Teilbarkeitsregeln, ob es sich um eine Primzahl handelt! a) 363 b) 401 c) 481 d) 567 e) 599 f) 771 g) 1 001 h) 5403 1.103 Findet mit Hilfe des Produkts der ersten paar Primzahlen mindestens fünf weitere Primzahlen! 1.104 Primzahlzwillinge sind zwei Primzahlen, deren Differenz genau 2 ist, zB 11 und 13. Findet mindestens fünf weitere Primzahlzwillinge! 1.105 Der deutsche Mathematiker Christian GOLDBACH (1690‒1764) hat 1742 behauptet, dass jede ungerade Zahl, die größer als 5 ist, als Summe dreier Primzahlen geschrieben werden könne. Dies wird als schwache Goldbach’sche Vermutung bezeichnet. Später wurde diese zugespitzt: Jede gerade Zahl, die größer als 2 ist, könne als Summe zweier Primzahlen geschrieben werden. Dies wird als starke Goldbach’sche Vermutung bezeichnet. Bis heute ist keine der beiden Vermutungen bewiesen worden. Der australische Mathematiker Terence TAO (*1975) hat möglicherweise 2012 einen wichtigen Schritt in Richtung zum Beweis der Goldbach’schen Vermutungen getan. Tao meint, dass jede ungerade Zahl, die größer als 1 ist, als Summe von höchstens fünf Primzahlen geschrieben werden könne. Sollte sich dies als korrekt herausstellen, wäre das zwar noch keine Lösung der Goldbach’schen Vermutung, aber ein wichtiger Schritt in Richtung Beweis der Goldbach’schen Vermutung. a) Überprüft die schwache Goldbach’sche Vermutung an mindestens drei Zahlen! b) Überprüft die starke Goldbach’sche Vermutung an mindestens drei Zahlen! c) Überprüft Taos Vermutung an mindestens drei Zahlen! Ó Ó Info – 7m6432 O I D B D O B Terence Tao O I B 28 I 1 Zahlen und Maße Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy ODE3MDE=