Der Inkreismittelpunkt 7.95 Eine große Wohnblockanlage ist so gebaut, dass der Innenhof eine dreieckige Grundfläche hat. In diesem Innenhof wurde ein Baum gepflanzt, der von jeder der drei Hausmauern genau gleich weit entfernt ist. Überlegt, wie man zu genau diesem Standort gekommen ist! Es gibt beliebig viele Standorte, die von zwei Hausmauern a und b gleich weit entfernt sind. Diese liegen auf der Winkelsymmetralen der Mauern, welche die Winkelschenkel darstellen. Ist nun eine dritte Mauer c im Spiel, sind Winkelsymmetralen auch von den Winkeln nötig, die durch die Mauern a und c sowie b und c entstehen. Alle drei Winkelsymmetralen schneiden einander in einem Punkt, der von a, b und c gleich weit entfernt ist. 7.96 Gegeben sind die Punkte A = (0 1 1), B = (7 1 1) und C = (2,5 1 7). Konstruiere jenen Punkt I, der von AB, BC und AC gleich weit entfernt ist! Gib die Koordinaten von I und den Abstand zu den Dreiecksseiten an! Lösung: Die Punkte A, B und C werden in das Koordinatensystem eingezeichnet und jeweils mit Strecken verbunden. Die Winkelsymmetralen w α , w β und w γ schneiden einander im Punkt I = (3 1 3). Der Abstand zu den Dreiecksseiten ist stets 2. Da der Punkt I von allen drei Dreiecksseiten gleich weit entfernt ist, kann man diesen als Mittelpunkt des Inkreises mit dem Radius ρ = _ Ia= _ Ib= _ Icansehen. [ρ, lies: „rho“] Es seien α = ¼cb, β = ¼ac und γ = ¼ba die Winkel eines Dreiecks. Die Winkelsymmetralen w α , w β und w γ der drei Winkel α, β und γ schneiden einander in einem Punkt I, dem Inkreismittelpunkt. Der Punkt I ist von allen drei Dreiecksseiten gleich weit entfernt. 7.97 Konstruiere den Inkreismittelpunkt I und den Inkreis für das Dreieck ABC! Zeichne ρ ein! a) A = (2 1 1), B = (10 1 2), C = (0 1 7) b) A = (0 1 5), B = (6 1 1), C = (6 1 5) Lösung: a) b) Baum a b c C 1 2 3 4 5 6 7 1 O 2 3 4 5 6 7 1. Achse 2. Achse I A B C w α β β wγ wα γ O O 1 2 3 4 5 6 7 1 O 2 3 4 5 7 8 9 10 6 1. Achse 2. Achse α I A B C w β ρ ρ ρ β wγ wα γ 1 2 3 4 5 6 7 1 O 2 3 4 5 7 8 6 1. Achse 2. Achse γ α I A B C w β ρ ρ ρ β wγ wα 7 189 Dreiecke Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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