Teilbarkeit durch 3 und durch 9 1.44 Boris und Gracia wollen eine Teilbarkeitsregel für 3 und für 9 herausfinden. Dazu legen sie 45 Münzen auf. Was können die beiden erkennen? Lösung: Die Münzen werden so aufgelegt, dass in vier Reihen jeweils zehn Münzen liegen, die restlichen fünf Münzen liegen darunter. In jeder Reihe liegen 9 blau markierte Münzen. Jedes Vielfache von 9 ist durch 9 teilbar. Jedes Vielfache von 9 ist auch durch 3 teilbar. Also kommt es nur auf die Anzahl der grün und orange markierten Münzen an. Die Zehnerziffer 4 ist an den jeweils letzten Münzen jeder Reihe erkennbar, die Einerziffer 5 an der letzten Reihe. Ist die Summe der beiden Ziffern auch durch 3 bzw. 9 teilbar, so ist auch die Zahl durch 3 bzw. 9 teilbar: Die Ziffernsumme ist 4 + 5 = 9. Da die Ziffernsumme durch 3 und durch 9 teilbar ist, ist die Zahl 45 durch 3 und durch 9 teilbar. 1.45 Fortsetzung von Aufgabe 1.41: Boris und Gracia wissen, dass die Zahl 153 durch 3 und durch 9 teilbar ist. Sie wollen nun herausfinden, ob auch bei dreistelligen Zahlen die Ziffernsumme eine Information zur Teilbarkeit durch 3 und 9 gibt. Was können die beiden erkennen? Lösung: Es werden 153 Münzen folgendermaßen aufgelegt: Die Zahl 99 ist durch 9 und somit auch durch 3 teilbar. Also ist in der 100er-Anordnung nur eine Münze markiert. Da jedes Vielfache von 9 (blaue Münzen) durch 9 und somit auch durch 3 teilbar ist, kommt es wieder nur auf die Anzahl der nicht blau markierten Münzen an. Die Hunderterziffer 1 ist an der einen Münze in der 100er-Anordnung erkennbar, die Zehnerziffer 5 an den jeweils letzten Münzen der 50er-Anordnung, die Einerziffer 3 an den verbleibenden drei Münzen. Ist die Summe dieser drei Ziffern auch durch 3 bzw. 9 teilbar, so ist auch die Zahl durch 3 bzw. 9 teilbar: Die Ziffernsumme ist 1 + 5 + 3 = 9. Da die Ziffernsumme durch 3 und durch 9 teilbar ist, ist die Zahl 153 durch 3 und durch 9 teilbar. Nur jede Zahl, deren Ziffernsumme durch 3 teilbar ist, ist durch 3 teilbar. Nur jede Zahl, deren Ziffernsumme durch 9 teilbar ist, ist durch 9 teilbar. Bemerkung: Diese Regel gilt für natürliche Zahlen mit beliebig vielen Ziffern, dh. für einstellige, zweistellige, dreistellige, vierstellige, … Zahlen. O A Ó O A 100 50 3 Ó Demo – i94rx2 1 19 Teiler und Teilbarkeit Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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