Der Höhenschnittpunkt 7.126 Schneidet aus einem Karton ein beliebiges Dreieck aus, nur kein gleichseitiges! Stellt es vor euch aufrecht auf den Tisch ‒ immer auf einer anderen Dreiecksseite! Ist die jeweilige Spitze des Dreiecks immer gleich hoch über dem Tisch? Im Allgemeinen weist ein und dasselbe Dreieck, je nachdem, welche Seite als Grundseite angenommen wird, drei unterschiedliche Höhen auf. Diese sind bei spitzwinkeligen Dreiecken jeweils die kürzesten Strecken (der Normalabstand) zwischen einem Eckpunkt und der gegenüberliegenden Dreiecksseite (Abb. 7.1). Bei stumpfwinkeligen Dreiecken ist es notwendig, zwei Dreiecksseiten zu verlängern, damit die jeweilige Höhe erkennbar wird, die in diesen beiden Fällen außerhalb des Dreiecks verläuft (Abb. 7.2). 7.127 1) Verlängert die drei eingezeichneten Höhen ha, hb und hc im abgebildeten stumpfwinkeligen Dreieck (Abb 7.2)! Was fällt auf? 2) Konstruiert in einem der drei abgebildeten spitzwinkeligen Dreiecke (Abb. 7.1) die beiden anderen Höhen! Was fällt auf? 3) Überlegt, wie die drei Höhen in einem rechtwinkeligen Dreieck verlaufen! Fertigt hierzu eine Konstruktion an! Es seien a, b und c die Seiten eines Dreiecks ABC. Eine Strecke, die von einem Eckpunkt normal zu der gegenüberliegenden Dreiecksseite bzw. zu deren Verlängerung verläuft, nennt man Höhe. Die drei Höhen ha , hb und hc bzw. deren Verlängerungen schneiden einander in einem Punkt H, dem Höhenschnittpunkt. 7.128 Konstruiere die Höhen ha, hb und hc sowie den Höhenschnittpunkt H im spitzwinkeligen Dreieck ABC, wenn A = (0 1 0), B = (7,5 1 1,5) und C = (1,5 1 5,5)! Gib die Koordinaten von H an! Lösung: Die Punkte A, B und C werden in das Koordinatensystem eingezeichnet und jeweils mit Strecken verbunden. Die drei Höhen ha , hb und hc werden jeweils von einem Eckpunkt normal zur gegenüberliegenden Dreiecksseite gezogen. Der Schnittpunkt der Höhen ist der Höhenschnittpunkt H = (2 1 3). A B C c c c a a a b b b A B C A B C C ha A B C c a b hb A B C c a b h c A B C c a b Abb 7.1 hc ha hb A B C c a b Abb 7.2 C 1 2 3 4 5 6 1 O 2 3 4 5 7 8 6 1. Achse 2. Achse H ha hc hb A B C c a b O 7 195 Dreiecke Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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