10 Das dritte Schuljahr ist im Arithmetikunterricht geprägt von der Erweiterung des Zahlenraums bis 1 000. Ganz wesentlich wird es dabei darum gehen, das Verständnis des Stellenwertsystems zu vertiefen, das im Hunderterraum schon sehr wichtig und für eine Erarbeitung des Tausenderraums unumgänglich ist. Natürlich müssen auch die Rechenkompetenzen weiter entwickelt werden. Da das Rechnen mit dreistelligen Zahlen aber genauso funktioniert wie das Rechnen mit zweistelligen Zahlen, können die Kinder hervorragend an ihre im zweiten Schuljahr ausgebildeten Fähigkeiten und Fertigkeiten anknüpfen. Aber auch diejenigen Kinder, die in der zweiten Klasse noch Schwierigkeiten mit dem Rechnen hatten, müssen keine Angst vor den großen Zahlen haben: Da in der dritten Klasse die grundlegenden Ideen und Prinzipien aus den ersten beiden Klassen für den größeren Zahlenraum erneut durchlaufen werden, erhalten sie die Chance, die zugrundeliegenden mathematischen Strukturen vertiefter zu verstehen. Im ersten Abschnitt sollen diese grundlegenden Prinzipien und Ideen im Hunderterraum wiederholt werden, um sie zugleich etwas aus der Distanz einer Rückschau zu reflektieren und zu fundieren. Im Zentrum stehen dabei grundlegende Ableitungsstrategien für die Multiplikation und Division, sowie die halbschriftlichen Strategien der Addition und Subtraktion. Multiplikation und Division Diese Rechenarten wurden in der zweiten Klasse eingeführt. Dabei wurden zwar noch keine halbschriftlichen Rechenstrategien explizit thematisiert, es stand aber wie bei den einfacheren Rechenarten auch von Beginn an die Durchdringung der Rechengesetze (für eine Darstellung der Rechengesetze s. Didaktischer Kommentar 2, S. 88) und damit die Idee der Ableitung von schwierigen Aufgaben aus den einfachen Kernaufgaben im Vordergrund. Als einfache Multiplikationsaufgaben wurden diejenigen identifiziert, bei denen ein Faktor eine 2, 5 oder 10 ist oder bei denen beide Faktoren gleich sind (Quadrataufgaben). Später wurden für die Einmaleins-Tafel auch Aufgaben mit dem Faktor 1 ergänzt, die ebenfalls zur Vertiefung des bewussten Ableitens wichtig sind. Zentral für das Ableiten sind dabei das Kommutativgesetz (Faktoren können vertauscht werden: 7×2 = 2×7) und das Distributivgesetz (Faktoren können zerlegt werden: 6×7 = 5×7 + 1×7). Die Division ist die schwierigste Rechenoperation der Volksschule. Da sie aber die Umkehroperation der Multiplikation ist, wurden zu ihrer operativen Durchdringung stets ihre Beziehung zur Multiplikation (etwa am Malplan) intensiv hergestellt. Halbschriftliches Addieren und Subtrahieren Da das Stellenwertsystem für die Erarbeitung des Tausenderraums eine notwendige Grundlage darstellt, werden besonders diejenigen Rechenstrategien herausgestellt, die sich an den Strukturen des dezimalen Aufbaus der Zahlen orientieren. Für die Addition geht es um die folgenden drei Hauptstrategien: Zehner und Einer extra (kurz: ZE) Jeder Summand wird in seine Stellenwerte zerlegt. Die Zehner und Einer werden unter Anwendung des Einspluseins getrennt addiert – eine Strategie, die bei der Addition problemlos anwendbar ist, bei der Subtraktion aber zu Schwierigkeiten führen kann. Sie ist am einfachsten darstellbar mithilfe der Zahlbilder. Beispiel: 48 + 26 = 40 + 20 = 60 8 + 6 = 14 60 + 14 = 74 also 48 + 26 = 74 Schrittweise (kurz: S) Nur der zweite Summand wird in Zehner und Einer zerlegt. Dann werden zuerst die Zehner, anschließend die Einer addiert – oder andersherum. Diese Strategie ist ebenfalls mit den Zahlbildern darstellbar. Noch deutlicher wird sie aber mit dem Rechenstrich, den die Kinder in der zweiten Klasse als ordnungstreue, aber nicht maßstabsgetreue Abstraktion vom Zahlenstrahl kennen- gelernt haben. Beispiel: 48 + 26 = 48 + 20 = 68 68 + 6 = 74 also 48 + 26 = 74 48 74 68 6 20 Hilfsaufgabe (kurz: H) Abgesehen von obigen beiden Zerlegungsstrategien kann es auch hilfreich sein, die Rechnung so zu verändern, dass eine einfache Rechnung oder eine einfache Zwischenrechnung entsteht – hier gehen also die Erfahrungen ein, die in den vorangegangenen Schuljahren mit dem Ableiten von Aufgaben gemacht wurden. Beispiel 1: Hier wird eine Nachbaraufgabe mit einem glatten Zehner berechnet. Das Zwischenergebnis muss dann noch korrigiert werden. Beispiel 2: Ein Summand wird um 2 erhöht, dafür wird der andere um 2 verringert. Es entsteht eine einfache Aufgabe mit gleichem Ergebnis. Diese Strategie wurde am Ende der zweiten Klasse als „Vereinfachen“ bezeichnet. In der dritten Klasse kann diese Sonderbezeichnung in die Kategorie der Hilfsaufgaben eingruppiert werden – es entsteht eben eine Hilfsaufgabe, die das Ergebnis direkt ausgibt. Das Rechnen mit Hilfsaufgaben kann man ebenfalls gut mit dem Rechenstrich und mit Zahlbildern darstellen. So sehr sich diese Rechenwege zu unterscheiden scheinen: Sie beruhen alle auf dem Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz), einige von ihnen zudem auf dem Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz). Diese Gesetze wurden bereits von der ersten Klasse an entwickelt und immer wieder aufgegriffen und vertieft (zu einer Darstellung der Gesetze s. Didaktischer Kommentar 1, S. 66). Für die Subtraktion gibt es jeweils analoge Strategien: Schrittweise (kurz: S) Der Subtrahend wird in Zehner und Einer zerlegt. Dann werden zuerst die Zehner, anschließend die Einer subtrahiert (oder andersherum). Themenblock Wiederholung und Vertiefung 48 + 26 = 50 + 26 = 76 76 − 2 = 74 48 + 26 = 50 + 24 = 74 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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