3 Das Zahlenbuch Begleitband für Lehrerinnen und Lehrer
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3 Das Zahlenbuch Begleitband für Lehrerinnen und Lehrer von Erich Ch. Wittmann, Gerhard N. Müller, Marcus Nührenbörger und Ralph Schwarzkopf Bearbeitung und Beratung: Doris Bayer Albert Ellensohn Franz Korn www.oebv.at Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
2 Erste Orientierung 3 Differenzierung 3 Eigenaktives und interaktives Lernen 3 Übung der Basiskompetenzen 3 Förderung von Kindern mit Schwierigkeiten beim Mathematiklernen 4 Förderung mathematisch interessierter Kinder 4 Allgemeine Praxishinweise 5 Lernumgebungen und didaktische Situationen 5 Unterricht in inklusiven Klassen 6 Unterricht in altersgemischten Klassen 6 Stoffverteilung 6 Einrichtung von Kleingruppen 7 Potenzial zum selbstgesteuerten Üben 7 Potenzial zur Sprachförderung 7 Themenblöcke 7 Arbeits- und Demonstrationsmittel in Band 3 8 Arbeitsmittel 8 Demonstrationsmittel 8 Hinweise zu den Doppelseiten im Schulbuch 9 Themenblock Wiederholung und Vertiefung 10 Themenblock Größen und Sachrechnen 30 Themenblock Geometrie 36 Themenblock Orientierung im Tausenderraum 40 Themenblock Addition und Subtraktion 62 Themenblock Einführung der schriftlichen Addition 88 Themenblock Einführung der schriftlichen Subtraktion 108 Themenblock Multiplikation und Division 122 Themenblock Aufgaben vergleichen 144 Grundkonzeption des ZAHLENBUCHs 160 1. Konzentration des Stoffes auf die tragenden Grundideen 166 2. Aktiv-entdeckendes und soziales Lernen 169 3. Grundlegendes, automatisierendes und produktives Lernen 171 4. Die Förderung von Kindern mit unterschiedlichen Voraussetzungen nach dem Prinzip von der natürlichen Differenzierung 173 5. Lern- und Leistungskontrollen 174 Inhalt Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
3 Erste Orientierung Das NEUE ZAHLENBUCH basiert auf dem langjährig bewährten und im Dialog mit der Praxis entwickelten didaktischen Konzept des ZAHLENBUCHs. Zugleich führt es dieses insofern weiter, als dass es eine umfassende Unterstützung für einen diagnosegeleiteten, differenziert strukturierten Mathematikunterricht bietet, der den gegenwärtigen Anforderungen im Kontext von Heterogenität und Inklusion sowie einer Orientierung an prozess- und inhaltsbezogenen Kompetenzen gerecht wird. Wichtig für die Arbeit in der täglichen Praxis ist es, die Eckpfeiler des ZAHLENBUCHs zu kennen, die grundlegend sind für einen kind- und fachgerechten guten Mathematikunterricht und Lösungen für aktuelle Schlüsselprobleme des Unterrichts anbieten. Diese seien hier kurz erläutert. Differenzierung Die häufig aus der Praxis zurück gemeldeten Methoden zu Differenzierung bestehen darin, dass die Lehrkraft Gruppen von Kindern oder einzelnen Kindern Aufgaben für ein bestimmtes Lernziel zuweist, die nach Einschätzung der Lehrkraft dem jeweiligen Lernstand entsprechen. Es gibt Werke, bei denen die Kinder weitgehend unabhängig voneinander Heftchen für Heftchen abarbeiten. Dadurch werden aber nicht nur die Kompetenzziele verfehlt, auch soziales Lernen wird verhindert. Individuelle Förderung wird verwechselt mit individueller Beschäftigung. Im ZAHLENBUCH wird ein grundsätzlich anderer Weg der Differenzierung beschritten: Das Buch ist so konzipiert, dass Kinder mit unterschiedlichen Voraussetzungen, Interessen und Möglichkeiten gemeinsam damit arbeiten können und gleichwohl individuell gefördert werden. Die Differenzierung ergibt sich aufgrund des besonderen Aufbaus und der Auszeichnung der Aufgaben von selbst: Das ZAHLENBUCH bietet eine Grundlage für den Erwerb der Kenntnisse und Fertigkeiten, die für das weitere Lernen notwendig und daher für alle Kinder in gleicher Weise verbindlich sind. Alle Themenblöcke enden mit einem Rückblick, in dem diese Basiskompetenzen noch einmal aufgegriffen und gesichert werden. Auf dieser Basis bauen Lernangebote auf, die sich ebenfalls an alle richten, aber von jedem Kind nach seinen Möglichkeiten individuell wahrgenommen werden können und dürfen (natürliche Differenzierung). Die Differenzierung zeigt sich nicht allein in einer unterschiedlichen Anzahl an bearbeiteten Aufgaben, sondern gerade auch darin, dass die Lernenden auf unterschiedliche Weise mathematische Zusammenhänge erkennen und darstellen sowie erörtern und reflektieren können. Ferner bietet das ZAHLENBUCH sowohl zahlreiche offene Aufgaben an, die von den Kindern mit selbstgewählten Zahlen und Umfang bearbeitet werden, als auch die wiederkehrenden Seiten zum Forschen und Finden, die nach einem niederschwelligen Einstieg Vertiefungen der inhaltlichen und prozessbezogenen Kompetenzen zum Ziel haben. Damit das Potenzial aller Aufgaben für den Lernprozess der Kinder schneller und transparenter erkennbar ist, wurden sie in vier verschiedene Kategorien von Übungen eingeteilt: – Grundlagen aufbauen und sichern, – Zusammenhänge entdecken und anwenden, – Beziehungen reflektieren und nutzen, – selbstgesteuert üben und Aufgaben produzieren. Die Kinder werden natürlich bei der Bearbeitung der Übungen unterschiedlich weit kommen. Das ist aber kein Problem, sondern eine Lernchance: Gerade wegen der unterschiedlichen Bearbeitungen ist ein sozialer Austausch möglich, den wir als hohes Gut ansehen. Wenn beispielsweise die Ergebnisse von Rechnungen an der Tafel zusammengetragen werden, damit auf dieser Grundlage Muster erkannt und beschrieben werden, können auch Kinder einbezogen werden und den Anschluss finden, die selbst nur wenige Rechnungen durchgeführt haben. Eigenaktives und interaktives Lernen Die Lernenden erhalten umfangreiche Unterstützungen beim Entdecken und Verstehen der mathematischen Inhalte. Dazu werden die Kinder zu Beginn eines Themenblocks stets angeregt, eigenständig inhaltliche Vorstellungen zu entwickeln und Lösungen zu erproben, die an ihre Vorerfahrungen anknüpfen. Die Eigenaktivität der Lernenden in der Auseinandersetzung mit Materialien ist grundsätzlich von besonderer Bedeutung. Aber sie darf sich nicht auf konkrete Handlungen mit Materialien beschränken. Diese sind zugleich verbal zu beschreiben, bildlich darzustellen oder symbolisch zu notieren, um langfristig verinnerlichte Vorstellungen aufzubauen, die eigenständig verändert werden können. Diese Vernetzung der Darstellungsebenen ist eine wesentliche Voraussetzung für die Entwicklung mathematischer Kompetenzen. Zugleich müssen die Kinder aber ihre Ideen mit anderen Kindern austauschen, um neue Erkenntnisse aufzubauen oder zu sichern. Daher bieten wir im ZAHLENBUCH von Anfang an zahlreiche Aktivitäten an, gemeinsam mit anderen Kindern und auch spielerisch mathematische Handlungen durchzuführen, Fragestellungen und Lösungswege zu erkunden und über Mathematik zu sprechen. Übung der Basiskompetenzen Zum Grundangebot gehört der „Blitzrechenkurs“ mit zehn Übungen pro Schuljahr, der ständig auf der Tagesordnung stehen muss. Allen Beteiligten muss bewusst gemacht werden, dass es sich lohnt, an dieser Stelle intensiv und fortgesetzt zu üben. Hilfreich ist hier der Vergleich mit dem Sport, wo Fitness- und Konditionsprogramme eine Selbstverständlichkeit sind. Wer sich körperlich fit hält, kann körperlich etwas leisten. Wer in der Mathematik die Basiskompetenzen übt, kann damit seine mathematische Leistung steigern. Zum Wesen der Basiskompetenzen gehört es ja, dass sie ständig benutzt werden. Jede Blitzrechenübung wird an der entsprechenden Stelle im Schulbuch eingeführt. Die Kinder lernen dabei, sich gegenseitig Aufgaben zu stellen. Die Praxis des Blitzrechnens wird durch die Rechenkartei „Blitzrechnen. Basiskurs Zahlen“ und die Blitzrechnen-App unterstützt. Die Rechenkartei für jedes Schuljahr enthält ca. 400 Aufgabenkarten. Auf der Vorderseite jeder Karte ist eine Aufgabe symbolisch und bildlich dargestellt. Die Lösung steht auf der Rückseite. Mit der Kartei können alle Kinder trainieren. Sie kann auch eine Hilfe sein für externe Rechentrainer. Die App enthält zu allen Blitzrechenübungen interaktive Übungen. Die Kinder können somit jederzeit per Tablet oder Smartphone üben. Auch im Sachrechnen und in der Geometrie gibt es Basiskompetenzen, die besondere Übungsanstrengungen erfordern. Hierfür stehen die Karteien „Sachrechnen im Kopf. Basiskurs Größen 1/2 und 3/4“ sowie „Geometrie im Kopf. Basiskurs Formen“ (ab Klasse 3) zur Verfügung. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
4 Förderung von Kindern mit Schwierigkeiten beim Mathematiklernen Der Erfolg in der Mathematik steht und fällt mit dem Aufbau von Verständnis. Was man verstanden hat, kann man besser anwenden und behalten. Damit hat man auch für das Weiterlernen eine bessere Grundlage. Wegen seines auf Verständnis ausgerichteten Ansatzes bewährt sich das ZAHLENBUCH gerade bei Kindern, die Schwierigkeiten beim Aufbau mathematischer Verständnisgrundlagen zeigen. Mehrere Elemente des Werkes wirken sich hier positiv aus: – der schlüssige Aufbau des Werkes, – die wiederkehrenden Lehr-/Lernstrukturen und übersichtliche Doppel-Seitenstrukturierung, die den Aufbau eines ganzheitlichen mathematischen Verständnisses unterstützen, – die kleine Anzahl gut ausgewählter Anschauungsmittel, die langfristig als Hilfs- und Erkenntnismittel tragbar sind, – die prägnanten zeichnerischen Darstellungen und Sprechweisen als zugängliche Anregung für mathematische Aktivitäten, – die durchgehenden Übungsformate, die eine Konzentration auf den Inhalt ermöglichen, – die vielen offenen Aufgaben und reflektiven Übungen, die eine Bearbeitung auf unterschiedlichen Niveaus erlauben. All dies hilft auch den Erklärungsbedarf zu reduzieren und trägt zur Entlastung der Lehrkräfte bei. Darüber hinaus ist der Blitzrechenkurs ein eingebautes Förderprogramm für Kinder. Denn er umfasst neben dem üblichen Kopfrechnen auch grundlegende Zahlvorstellungen und Zahlbeziehungen, die für das Verständnis entscheidend sind. Diese Basiskompetenzen stehen auch im Mittelpunkt des neu entwickelten Kartenmaterials zu Zahlen und Rechenoperationen, mit denen die Kinder durch unterschiedliche Aktivitäten ihre Zahl- und Rechenvorstellungen und -Strategien sichern, vertiefen und vernetzen können. Zusätzlich wurden für die Überarbeitung des ZAHLENBUCHS die Igel-Hefte „Sicher im Zahlenraum“ und „Sicher rechnen“ entwickelt, um alle Kinder beim Sichern und Vertiefen ihrer Basiskompetenzen zu unterstützen. Die Aufgaben sind so konzipiert, dass sie durchaus auch zu Hause bearbeitet werden können. Dabei wurde besonders Wert auf eine anschauliche Grundlegung der Übungen gelegt. Zur Förderung von Kindern mit größerem Unterstützungsbedarf wurden zudem noch weitere ergänzende Materialien entwickelt: (1) Der Förderkommentar Lernen bietet Anregungen für die Unterstützung schwächerer Kinder zur Bewältigung der mathematischen Grundlagen bei der Arbeit am ZAHLENBUCH. Dazu werden ausgewählte grundlegende Inhalte aus dem ZAHLENBUCH um weitere Förderseiten ergänzt. Besondere Förderansätze werden mithilfe eines eigens dazu entwickelten zusätzlichen Förderhefts aufgezeigt. (2) Der Förderkommentar Sprache widmet sich einer weiteren Schwierigkeit bei der Organisation des heutigen Mathematikunterrichts: Für viele Kinder ist die Sprache ein Problem für die erfolgreiche Teilhabe am Mathematikunterricht. Im Förderkommentar finden sich zu ausgesuchten Inhalten des ZAHLENBUCHs Hinweise für die Identifizierung und Überwindung sprachlicher Hürden im Mathematikunterricht. (3) Die Lernzielkontrollen werden um eine Variante ergänzt, die für Lernende mit Schwierigkeiten eine zugängliche Form der Leistungskontrolle darstellen kann, da hierbei der Zahlenraum und die Anzahl der Aufgaben reduziert sind. Das Ziel aller Zusatzmaterialien liegt darin, die Kinder weitest- gehend im Unterricht zu fördern und den verstehensorientierten Ansatz des ZAHLENBUCHs für die Überwindung der inhaltlichen und sprachlichen Schwierigkeiten fortzuführen. Mit Blick auf den inklusiven Unterricht empfehlen wir dringend, bei Kindern mit zusätzlichem Förderbedarf primär auf die Möglichkeiten des ZAHLENBUCHs und seiner Begleitmaterialien zurück zu greifen, da nur dadurch das gerade für diese Kinder wichtige, inhaltlich stimmige Lernen gesichert werden kann. Von besonderer Bedeutung für gemeinsames Lernen im inklusiven Unterricht sind folgende Kernmerkmale des neuen ZAHLENBUCHs: – die Akzentuierung der Basiskompetenzen und die Fokussierung auf materialgestützte Zugänge, – die klare visuelle Strukturierung und Konzentration auf wenige, nachhaltig tragfähige Anschauungsmittel, – die sprachsensible Aufbereitung von Aufgabenstellungen und die Unterstützung kommunikativer Lernsituationen und – die klar strukturierten Anregungen und Anleitungen zum eigenständigen und kooperativen Lernen. Förderung mathematisch interessierter Kinder Mathematisch interessierte und begabte Kinder werden im ZAHLENBUCH durch die zahlreichen Aufgaben zum Erkunden und Beschreiben von mathematischen Problemstellungen gefördert. Dadurch finden sie im Klassenverband herausfordernde Anregungen, ohne vom gemeinsamen Thema aller Lernenden getrennt zu werden. Auch werden auf den Seiten zum Forschen und Finden Aufgabenformate vorgestellt, die immer ein Angebot zur vertieften und zusätzlichen mathematischen Auseinandersetzung darstellen. Zur weiteren Förderung steht ferner die Reihe „Forschen und Finden“ zum ZAHLENBUCH zur Verfügung, die aber keinesfalls als exklusives Angebot für diese Gruppe zu verstehen ist: Durch das Forschen und Finden kann bei allen Kindern eine durchweg produktive Einstellung zum Mathematiklernen entfaltet werden. Da das ZAHLENBUCH mathematisch gehaltvoll ist, können mathematisch interessierte oder begabte Kinder viele Themen des Buches selbstständig weiterführen. Entsprechend werden diese Kinder insbesondere dadurch gefördert, dass sie das Potenzial der zahlreichen offenen Aufgaben zum selbstgesteuerten Üben voll ausreizen. Zudem werden sie auf den Seiten zum Forschen und Finden angemessene Anreize finden. Erste Orientierung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
5 Allgemeine Praxishinweise In diesem Abschnitt sollen Hinweise vorweg genommen werden, die für den Unterricht generell wichtig sind. Dies erspart bei den Hinweisen zu den einzelnen Seiten Wiederholungen. Im ZAHLENBUCH werden mathematische Grundideen von der Frühförderung beginnend über die Schulstufen hinweg konsequent entwickelt. Dies wird in der Grundkonzeption erläutert. Umfassende mathematikdidaktische Hinweise finden sich auf eingeschobenen Seiten vor jedem Themenblock. Lernumgebungen und didaktische Situationen In den letzten Jahren hat es sich eingebürgert, den Unterricht in „Lernumgebungen“ zu gliedern. Durch diese Bezeichnung kommt zum Ausdruck, dass den Lernenden Spielräume für eigene Aktivitäten geboten werden müssen. Eine Lernumgebung kann kleinere Lernumgebungen enthalten und selbst Teil einer umfassenderen Lernumgebung sein. Das ZAHLENBUCH wurde so konzipiert, dass in der Regel jede Doppelseite als Lernumgebung erscheint. Das betreffende Thema wird in der Überschrift benannt. Man kann die Beschreibung einer Lernumgebung mit einem Theaterstück vergleichen, das aufgeführt werden soll. Die Lehrkraft führt dabei Regie. Als Regisseurin hat sie selbst Freiheiten, die sie nutzen darf und soll. Die in diesem Begleitband unter der Rubrik „Wie kann man vorgehen?“ gemachten Regiehinweise sind daher grundsätzlich nur als Empfehlungen zu verstehen. Für die Unterrichtsorganisation hat sich eine Unterscheidung „didaktischer Situationen“ bewährt, die der französische Didaktiker Guy Brousseau vorgeschlagen hat: 1. Einführung in eine Lernumgebung 2. Aktive Bearbeitung der Aufgaben durch die Kinder 3. Bericht und Diskussion 4. Reflexion (Erklärung eines Lösungswegs, Begründung eines Musters) 5. Zusammenfassung („Institutionalisierung“) Der Lehrkraft und den Kindern fallen bei den einzelnen Situationen unterschiedliche Aufgaben zu: Zu 1: Bei der Einführung in eine Lernumgebung geht es darum, die Aufgabenstellung möglichst klar zu beschreiben. Dies geschieht am besten mithilfe prägnanter Beispiele. Vor der Arbeit mit dem Buch müssen immer Aktivitäten stehen, die auf die Aufgabenstellungen im Buch vorbereiten. Dafür werden in der Regel einzelne Aufgaben aus dem Buch herausgegriffen. Im ersten Schuljahr müssen Texte, für welche die Lesefähigkeiten der Kinder noch nicht ausreichen, vorgelesen werden. Zu 2: Wenn die Aufgabenstellung verstanden ist, sollen die Kinder möglichst selbstständig arbeiten, alleine, in Zweiergruppen oder in Kleingruppen. Die Lehrkraft muss sich nur vergewissern, ob alle verstanden haben, worum es geht und ggf. steuernd eingreifen. In manchen Fällen arbeitet die gesamte Klasse gemeinsam an einer Aufgabe. Zu 3: Nach Bearbeitung der Aufgabenstellung werden die Ergebnisse z. B. an der Tafel gesammelt, von den jeweiligen Kindern präsentiert, überprüft und gemeinsam geordnet. Beim Austauschen über die verschiedenen Lösungswege und Ergebnisse achtet die Lehrkraft auf die Nutzung einer Fachsprache, indem sie konsequent als sprachliches Vorbild agiert, Fachbegriffe visualisiert und sammelt sowie auf diese regelmäßig verweist. Zu 4: In der Reflexionsphase ist es das Ziel, die Kinder zu Erklärungen von Lösungswegen und zu Begründungen von Mustern anzuleiten. Dazu müssen Impulse gegeben werden, die auf die zentralen mathematischen Inhalte fokussieren, ein Gespräch zwischen den Kindern initiieren und eine breite Beteiligung ermöglichen. Zu 5: Zum Abschluss der Arbeit werden die wichtigen Ergebnisse von der Lehrkraft herausgestellt und zusammengefasst. Wie ersichtlich beschreiben diese Situationen die idealtypische Abfolge der Phasen, die bei der Untersuchung einer mathematischen Aufgabenstellung durchlaufen werden. Sie müssen natürlich von der Lehrkraft den faktischen Bedürfnissen des eigenen Unterrichts angepasst werden und hängen auch von den aktuell behandelten Schulbuchseiten ab. Wenn z. B. auf einer Seite nur Übungsaufgaben zu einer vorher eingeführten Fertigkeit gerechnet werden, bedarf es keiner neuen Einführung und die Besprechung kann kurz gehalten werden. Wenn die Kinder in Kleingruppen Blitzrechnen üben, ist nur die Situation 2 relevant. Bei der Überarbeitung des ZAHLENBUCHs wurde verstärkt darauf geachtet, dass die Kinder eine Vielzahl der Übungen in Eigenregie durchführen können – die Betonung des selbstständigen Arbeitens darf aber natürlich nicht bedeuten, dass die Kinder allein gelassen werden. Die unterschiedlichen Rollen der Lehrkraft und der Kinder bei den einzelnen Situationen gehen aus folgender Tabelle hervor: Situation Lehrkraft Kinder Einführung Aufgabe vorstellen und erklären, Probehandeln durchführen, an erste Erkundungen heranführen, Vermutungen sammeln Vorerfahrungen aktivieren, zuschauen, zuhören, mitmachen, Ideen einbringen Aktive Bearbeitung beobachten, Hinweise geben, unterstützen individuelles Arbeiten, Zusammenhänge erkunden, mit anderen austauschen und ordnen Sammlung der Ergebnisse, Bericht zuhören, nachfragen berichten und vorstellen, zuhören und ordnen, Erkenntnisse systematisieren Reflexion Blick öffnen, anleiten und vernetzen erklären, begründen und auf andere Beiträge eingehen Zusammen- fassung prägnant darstellen zuhören, nachfragen Übung beobachten, Hinweise geben, unterstützen wiederholen und trainieren, automatisieren Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
6 Unterricht in inklusiven Klassen In inklusiven Klassen kann erfolgreich mit den entsprechenden Jahrgangsbänden und den zusätzlichen Unterstützungsmaterialien des ZAHLENBUCHs gearbeitet werden. Für einen inklusiven Unterricht gelten grundsätzlich die gleichen didaktischen Prinzipien wie für einen guten „nicht-inklusiven“ Mathematikunterricht. Zugleich sind aber einzelne Prinzipien unter der Bedingung des gemeinsamen Lernens womöglich noch stärker hervorzuheben – dies betrifft insbesondere die Differenzierung, die konsequent berücksichtigt werden muss, ebenso die durchgängige Beachtung der unterschiedlichen Darstellungsebenen mit Akzentuierungen auf material- und sprachgestützte Aufgabenstellungen. In diesem Sinne sollte ein inklusiver Mathematikunterricht in erster Linie auf dem grundlegenden mathematikdidaktischen Konzept des ZAHLENBUCHs aufbauen. Um aber allen Kindern gerecht zu werden, bedarf es gezielter Aufmerksamkeit auf die Lernenden, die beim Lernen zusätzliche Unterstützung benötigen. Im Konzept des ZAHLENBUCHs sollen diese Kinder nicht durchgehend an isolierten Aufgabenstellungen getrennt von den anderen Kindern lernen. Vielmehr ist es das Anliegen des ZAHLENBUCHs, die größtmögliche fachliche Teilhabe aller Kinder am Mathematikunterricht zu gewährleisten, ohne individuelle Unterstützungen und auch zeitweilig fokussiertes Arbeiten an spezifischen Grundlagen auszuschließen. Dies gelingt in besonderer Weise, wenn der Mathematikunterricht an den fachlichen Kernideen orientiert ist und somit für alle Kinder wiederkehrend Zugänge zu den Basiskompetenzen ermöglicht. Durch den analogen Aufbau der ZAHLENBÜCHER können auch Kinder, die z. B. in den Klassen 3 oder 4 zieldifferent unterrichtet werden, an den ZAHLENBÜCHERN 1 oder 2 arbeiten, da sich immer wieder inhaltliche Schnittmengen ergeben, die ein gemein- sames Lernen an einer mathematischen Grundidee trotz unterschiedlicher ZAHLENBÜCHER ermöglichen (z. B. Aufbau von Zahl- und Operationsvorstellungen in verschiedenen Zahlenräumen). In erster Linie schafft hierbei das Prinzip der natürlichen Differenzierung Möglichkeiten für alle Kinder, auf unterschiedlichen Niveaus an einem gemeinsamen Thema zu arbeiten, ohne einzelne Kinder vollständig im Fach zu separieren. Darüber hinaus sichern materialgestützte Angebote ebenso wie visuelle und sprachliche Unterstützungen bei der Auseinandersetzung mit Aufgabenstellungen zum einen Zugänglichkeit für alle Lernende, zum anderen auch Anregungen für verstehensorientiertes Arbeiten. Zu guter Letzt liefern auch die kooperativen Angebote des ZAHLENBUCHs einen bedeutsamen Eckpfeiler für einen erfolgreichen inklusiven Mathematikunterricht. Denn in der Kultur einer kleinen Lerngruppe können auch Kinder mit besonderen Bedürfnissen unterstützend und kooperativ gefördert werden. Zusätzlich zum ZAHLENBUCH wurden zur Förderung von Kindern mit größerem Unterstützungsbedarf die Förderkommentare Lernen und Sprache entwickelt. Diese bieten zusätzliche Hinweise, Anregungen und Aufgabenstellungen, wie einzelne Kinder mit Blick auf die grundlegend für gemeinsames Lernen geeigneten Inhalte des ZAHLENBUCHs unterstützt werden können. Unterricht in altersgemischten Klassen In altersgemischten Klassen kann ebenso erfolgreich mit den entsprechenden Jahrgangsbänden des ZAHLENBUCHs gearbeitet werden. Die einzelnen mathematischen Themen eines Jahrgangs sind parallelisiert aufgebaut, so dass alle Kinder einer altersgemischten Klasse in einen thematischen Block eingeführt werden können. Anschließend arbeiten die Kinder in Einzelarbeit oder in Kleingruppen an spezifischen Fragestellungen, die zum Buch der jeweiligen Jahrgangsklasse passen und zugleich die Aufgabenstellungen in den unterschiedlichen Zahlenräumen verknüpfen. Ebenso wie im inklusiven Mathematikunterricht können auch im altersgemischten Unterricht nicht alle Themen zeitgleich von allen Kindern erlernt werden. Für das altersgemischte Lernen sind aber die Themen von besonderer Bedeutung, zwischen denen es vom Fach her auch Beziehungen gibt. Die Erkundung von Rechenwegen und die damit verbundene geschickte Nutzung von einfachen Aufgaben zur Bearbeitung schwieriger Aufgaben ist sowohl im Zahlenraum bis 20 als auch über 20 für die Kinder bedeutsam. Es kann hierbei sogar als jahrgangsälterer Lernender hilfreich sein, zu sehen, wie man früher gelernt hat und wie die Rechenstrategien im kleineren Zahlenraum für den größeren Zahlenraum nutzbar gemacht werden können. Die jahrgangsjüngeren profitieren zugleich nicht allein von der Unterstützung der erfahreneren Kinder, sondern erahnen bereits, wie sinnstiftend die Rechenkünste im kleineren Zahlenraum für das weitere mathematische Treiben sind. Der Unterricht muss unter den Bedingungen des jahrgangsgemischten Mathematiklernens in Abhängigkeit zum jeweiligen mathematischen Thema auf verschiedene Weise organisiert werden: Soll eine Lerngruppe gezielt in eine Lernumgebung eingeführt werden oder sollen nur mit einer bestimmten Lerngruppe Ergebnisse besprochen, reflektiert bzw. zusammengefasst werden, so müssen die anderen Kinder/Kleingruppen in dieser Zeit selbstständig am ZAHLENBUCH arbeiten. Sollen die Lernenden an parallelen Aufgabenstellungen arbeiten, wird das übergreifende mathematische Thema an Beispielen aus den jeweiligen Zahlenräumen eingeführt. Anschließend arbeiten die Kinder eigenständig an den inhaltlich ähnlichen Aufgabenstellungen der jeweiligen ZAHLENBÜCHER, so dass sogar eine gemeinsame Abschlussreflexion mit allen Kindern der Klasse denkbar ist. Die Aufgaben zum selbstständigen Mathematiklernen eignen sich schließlich in herausragender Weise zum gemeinsamen altersgemischten Mathematiklernen. Denn die Kinder erfinden Aufgaben und arbeiten miteinander ganz unabhängig vom Einschulungsalter. Inklusiver oder altersgemischter Mathematikunterricht ist ohne Zweifel anspruchsvoll. Wenn an den Zielsetzungen des Mathematikunterrichts keine Abstriche gemacht werden sollen, wird hierzu ein Buch benötigt, das bewusst das eigenständige und gemeinsame Arbeiten in wohldosierter Balance fördert. Das ZAHLENBUCH genügt diesen Ansprüchen. Stoffverteilung Nicht alle Doppelseiten erfordern den gleichen Aufwand. Langsamer vorgehen muss man bei der Grundlegung von Themen, um ein solides Verständnis aufzubauen. Ansonsten empfiehlt sich ein zügigeres Tempo. Im ZAHLENBUCH werden alle grundlegenden Themen des Bereichs „Zahlen und Operationen“ in mehreren Durchgängen behandelt und die Basiskompetenzen im „Blitzrechnen“ das gesamte Schuljahr hindurch geübt. Daher wird kein Kind „abgehängt“. Zudem werden Hinweise im Förderkommentar Lernen gegeben, wie mit Kindern mit besonderem Unterstützungsbedarf hierzu fachlich konzentriert weitergearbeitet werden kann. Allgemeine Praxishinweise Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
7 Bereits beim ersten Themenblock wird dieses Konstruktionsprinzip deutlich: Immer geht es um Anzahlen, die Zahlenreihe oder Ordnungszahlen. Immer steht die strukturierte Anzahlerfassung im Mittelpunkt. Bei dem Einspluseins folgt nach den Plusaufgaben in der Umwelt deren Übertragung auf das Zwanzigerfeld. Im nächsten Durchgang schließen sich Übungen an strukturierten Aufgabenformaten und die Vertiefung an der Einspluseins-Tafel an. Begleitet wird dies durch die entsprechenden Blitzrechenübungen, die den Unterricht ständig begleiten. Es sind immer die gleichen Grundideen, die nach dem Spiralprinzip entwickelt werden. Das ZAHLENBUCH ist nicht als Angebot aufzufassen, Seite für Seite und Aufgabe für Aufgabe abzuarbeiten. Denn es enhält eine Vielzahl an wiederkehrenden Aufgabenstellungen, die für die Kinder anschaulich und zugänglich aufbereitet werden. Die Lernziele lassen sich auch mit dem sprichwörtlichen „Mut zur Lücke“ erreichen, zumal diese Lücken in den weiteren Durchgängen auch sukzessiv gefüllt werden. Wenn alle diese Punkte beachtet werden, sollte kein Stoffdruck entstehen. Als grobe Anhaltspunkte für die Stoffverteilung haben sich folgende Angaben bewährt: 1. Halbjahr: Orientierung und Einführung 2. Halbjahr: Festigung und Vertiefung Schuljahresbeginn bis Herbstferien: Wiederholung und Vertiefung, Sachaufgaben, Geometrie, Orientierung im Tausenderraum (bis ca. S. 37) Ende des 1. Halbjahres bis Ostern: Überschlagsrechnen, Einführung der schriftlichen Addition, Größen, Geometrie (bis ca. S. 91) Herbstferien bis Weihnachten: Orientierung im Tausenderraum (ab ca. S. 38), Geldwerte, Messen und Ordnen, Addition und Subtraktion im Tausenderraum (bis ca. S. 55) Ostern bis Pfingsten: Einführung der schriftlichen Subtraktion, Multiplikation, Einführung der schriftlichen Multiplikation (bis ca. S. 113) Weihnachten bis Ende des 1. Halbjahres: Addition und Subtraktion im Tausenderraum (ab ca. S. 56), Geometrie Pfingsten bis Schuljahresende: Division, Einführung der schriftlichen Division (ab ca. S. 114), Umfang, Aufgaben vergleichen Die Miniprojekte „Bald ist Weihnachten“ und „Bald ist Ostern“ sind zeitlich einzupassen. Einrichtung von Kleingruppen Um das selbstständige Arbeiten der Kinder zu unterstützen, empfehlen wir generell eine Organisationsform, die auf den ersten Blick überraschend anmuten mag: die Einrichtung relativ fester Kleingruppen. Wenn vom 1. Schuljahr an viel Wert auf die Koordination kooperativer Lernphasen gelegt wird, bauen die Lernenden eine solidarisch arbeitende Lerngruppe auf, die auf der Selbstorganisation des Einzelnen fußt und zugleich die Organisation der Gemeinschaft sichert. Die Kinder unterstützen sich gegenseitig im Lernprozess, sind sich gegenseitig Vorbild bei der Bearbeitung von Aufgabenstellungen und bieten zudem vielfältige Anregungen, die ausgetauscht und diskutiert werden können. Jede Lerngruppe soll dazu Aufgaben, die sie selbst bewältigen kann, in eigener Regie bearbeiten, und nur dann Hilfe von der Lehrkraft anfordern, wenn die eigenen Kräfte nicht ausreichen. Somit werden zwischen das einzelne Kind und die Lehrkraft Kleingruppen mit in der Regel zwei Kindern als Zwischenebene eingeschoben. Die Kinder jeder Gruppe sollen sich gegenseitig helfen, natürlich ohne einander die Arbeit abzunehmen. Es empfiehlt sich, die Gruppen im Laufe eines Jahres mehrfach neu zu mischen. Obgleich die Organisation der Gruppen zu Beginn aufwändig ist, lohnt sich diese Investition. Für einige Aufgabenstellungen des ZAHLENBUCHs sind Kleingruppen eine große Hilfe, z. B. deuten dies die Illustrationen oder auch das Symbol für Partnerarbeit an. Ferner erleichtern Teams aus zwei Kindern das Blitzrechnen, da sich die Kinder gegenseitig Aufgaben stellen und kontrollieren können. In Mathekonferenzen erklären sich die Kinder gegenseitig ihre Rechen- und Lösungswege. Der möglichst selbstständige Umgang der einzelnen Kinder und der Kleingruppen mit dem Buch wird durch Lösungsbände zum Schulbuch und zum Arbeitsheft unterstützt. Potenzial zum selbstgesteuerten Üben Viele Aufgaben im ZAHLENBUCH öffnen trotz kurzer Formulierung ein weites Übungsfeld, das von den Kindern allein oder in Partner- oder Gruppenarbeit bearbeitet werden kann. Das funktioniert in der Regel so, dass einige wenige Aufgaben zum Start vorgegeben sind und die Kinder weitere, dazu passende Aufgaben mit selbstgewählten Zahlen und in selbstgewählter Anzahl finden, notieren und lösen sollen. Weil man einigen Aufgaben dieses Potenzial auf den ersten Blick nur schwer ansieht, wurden sie zur besseren Übersicht entsprechend ausgewiesen: Man erkennt sie durch den entsprechenden Hinweis im Schnellzugriff, aber auch bereits durch das Symbol « direkt an der Aufgabe. Potenzial zur Sprachförderung Im Gegensatz zum traditionellen Rechenunterricht, der eher auf die Vermittlung von prozeduralem Wissen ausgerichtet war, legt der moderne Mathematikunterricht viel Wert auf die Durchdringung mathematischer Muster und Strukturen. Hierzu ist die Sprache ein notwendiges Hilfsmittel, denn die Darstellung von mathematischen Zusammenhängen ist prinzipiell sprachlicher Natur. Aus diesem Grunde ist die Erarbeitung von Mustern und Strukturen immer auch eine Situation, in der die Nutzung der Sprache inhaltsgebunden thematisiert werden kann und muss. Damit dieses Potenzial zur Sprachförderung transparent wird und bei der Unterrichtsvorbereitung sofort auffällt, wurden die zu- gehörigen Aufgaben ebenfalls im Schnellzugriff ausgezeichnet. Zudem werden die Kinder explizit aufgefordert und herangeführt, Zusammenhänge zu versprachlichen. Themenblöcke Die arithmetischen Inhalte sind so aufbereitet, dass sie in einem in sich geschlossenen Themenblock bearbeitet werden können. Dies bietet den Kindern die Möglichkeit, selbstständig innerhalb des Themenblocks voran zu schreiten und grundlegende Übungen zu bearbeiten. Jeder Themenblock schließt einerseits mit einem Rückblick auf die essentiellen Grundlagen. Dieser Rückblick soll Lehrkräften und Kindern transparent aufzeigen, welche Ziele sie in den thematischen Lernprozessen erreicht haben. Andererseits bietet immer eine Seite zum Forschen und Finden herausfordernde neue Problemfelder, um mit den Kindern auf mathematische Entdeckungsreise zu gehen. 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8 Arbeits- und Demonstrationsmittel im Band 3 Im Folgenden werden die für das ZAHLENBUCH 3 in Frage kommenden Arbeits- und Demonstrationsmittel beschrieben. Welche davon jeweils benötigt werden und welche Materialien sonst noch bereitgestellt werden müssen, ist bei den Hinweisen zu den Doppelseiten unter der Rubrik „WAS WIRD BENÖTIGT?“ angegeben. Arbeitsmittel Für die Arbeit mit dem Band 3 werden benötigt: – Tausenderfeld (Kopiervorlage) – Stellenwerttafel (Kopiervorlage sowie auf der aufklappbaren Umschlagseite) – Ziffernkarten (beiliegend) – Wendeplättchen – Formenplättchen (beiliegend) – Handspiegel Diese Arbeitsmaterialien wurden so ausgewählt, dass sie die arithmetische Grundidee Zehnersystem für den dritten Band voll abdecken. Im „Programm mathe 2000“ sind folgende Arbeitsmaterialien erhältlich: – Tausenderbuch (Rückseite Tausenderfeld, als Leporello zusammenfaltbar auf ein Quadrat, kleine strapazierfähige Ausführung für Schüler, dauerhaft beschreibbar, im Zehner-Pack) – Arbeitsmittel (Ziffernkarten, Formenplättchen im Fünfer-Pack zur Nachbestellung) – Handspiegel (rahmenlose, unzerbrechliche Kunststoffspiegel, 10 cm x 15 cm, im Zehner-Pack in einer stabilen Aufbewahrungsschachtel) Die Materialien sollten für die Schüler stets greifbar sein. Zur Aufbewahrung der Ziffernkarten empfehlen sich verschließbare Dosen oder kleine Schachteln (wie sie für Kosmetikartikel benutzt werden). Demonstrationsmittel Die Unterrichtsarbeit wird erleichtert, wenn einige oder im Idealfall alle Arbeitsmittel auch als Demonstrationsmittel im Großformat zur Verfügung stehen. Kinder können dann Arbeitsaufträge, Aufgabenstellungen und Erklärungen, die von der Lehrkraft am Demonstrationsmaterial verdeutlicht werden, sofort am eigenen Material nachvollziehen und auch ihre am eigenen Material erarbeiteten Lösungswege und Überlegungen mithilfe des Demon- strationsmaterials der ganzen Klasse vorstellen. Dies ist effektiver als eine rein verbale Präsentation. Folgende Demonstrationsmittel sind für den Band 3 sinnvoll: – Großes Tausenderfeld bzw. Tausenderbuch – Ziffernkarten von 0 bis 9 – Rechengeld Im „Programm mathe 2000+“ des Ernst Klett Verlags sind folgende Demonstrationsmaterialien erhältlich: – Wendekarten (magnetisch, als Ziffernkarten verwendbar zur Demonstration) – Wendeplättchen (doppelseitig magnetisch zur Demonstration an einer großen, auf die Tafel gezeichneten Stellenwerttafel, blau/rot, Ø 40 mm, 100 Stück) Anmerkung: Der ordinale Zahlaspekt lässt sich hervorragend durch den Rechenstrich erfassen, der bereits im Band 2 eingeführt wurde und nicht nur zur Ordnung von Zahlen, sondern auch zur Darstellung von Rechenwegen genutzt werden kann. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
9 Dieser Abschnitt ist folgendermaßen aufgebaut: Jedem Themenblock ist eine Doppelseite vorangestellt, auf der die mathematischen und didaktischen Grundlagen erklärt werden. Anschließend werden Praxishinweise zu den einzelnen Seiten des Themenblocks gegeben. In der Fußzeile wird auf anschließende Seiten im Arbeitsheft, im Förderheft, die Rechenkartei bzw. die App „Blitzrechnen“ sowie auf passende Kopiervorlagen verwiesen. Es sei an dieser Stelle noch einmal angemerkt, dass die Aufgabenstellungen im Arbeitsheft und auch die Aufgaben im Heft „Verstehen und Trainieren“ im Schulbuch erarbeitet werden. Daher eignen sich diese Hefte gut für Hausaufgaben. Übersicht über die Werkteile Das ZAHLENBUCH für das 3. Schuljahr Schulbuch Kopiervorlagen Arbeitsheft Förderkommentar Lernen Förderheft Förderkommentar Sprache Begleitband Arbeitsmittel (Beilagen) im 5er-Pack Weitere Materialien für das 3. Schuljahr Übungsmaterialien Arbeitshefte zum Fördern und Fordern Software Verstehen und Trainieren 3 Blitzrechnen 3-App für iOS Probieren und Kombinieren 3 Vernetzen und Automatisieren 3 Lernspiele Igel-Übungsheft 3 – Sicher rechnen Die Denkschule 3/4 Igel-Übungsheft 3 – Forschen und Finden Karteien Blitzrechnen 3 – Basiskurs Zahlen (bis 1000) Sachrechnen im Kopf 3/4 – Basiskurs Größen Geometrie im Kopf 3/4 – Basiskurs Formen Arbeits- und Demonstrationsmaterial Wendeplättchen, 1500 Stück, Klassensatz Wendeplättchen, magnetisch (Metallbox) Wendeplättchen (Metallbox) Das Tausenderbuch (8,5 cm x 8,5 cm), 10er-Pack Digitale Unterrichtshilfen Digitales Kopiervorlagen-Paket Hinweise zu den Doppelseiten im Schulbuch Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
10 Das dritte Schuljahr ist im Arithmetikunterricht geprägt von der Erweiterung des Zahlenraums bis 1 000. Ganz wesentlich wird es dabei darum gehen, das Verständnis des Stellenwertsystems zu vertiefen, das im Hunderterraum schon sehr wichtig und für eine Erarbeitung des Tausenderraums unumgänglich ist. Natürlich müssen auch die Rechenkompetenzen weiter entwickelt werden. Da das Rechnen mit dreistelligen Zahlen aber genauso funktioniert wie das Rechnen mit zweistelligen Zahlen, können die Kinder hervorragend an ihre im zweiten Schuljahr ausgebildeten Fähigkeiten und Fertigkeiten anknüpfen. Aber auch diejenigen Kinder, die in der zweiten Klasse noch Schwierigkeiten mit dem Rechnen hatten, müssen keine Angst vor den großen Zahlen haben: Da in der dritten Klasse die grundlegenden Ideen und Prinzipien aus den ersten beiden Klassen für den größeren Zahlenraum erneut durchlaufen werden, erhalten sie die Chance, die zugrundeliegenden mathematischen Strukturen vertiefter zu verstehen. Im ersten Abschnitt sollen diese grundlegenden Prinzipien und Ideen im Hunderterraum wiederholt werden, um sie zugleich etwas aus der Distanz einer Rückschau zu reflektieren und zu fundieren. Im Zentrum stehen dabei grundlegende Ableitungsstrategien für die Multiplikation und Division, sowie die halbschriftlichen Strategien der Addition und Subtraktion. Multiplikation und Division Diese Rechenarten wurden in der zweiten Klasse eingeführt. Dabei wurden zwar noch keine halbschriftlichen Rechenstrategien explizit thematisiert, es stand aber wie bei den einfacheren Rechenarten auch von Beginn an die Durchdringung der Rechengesetze (für eine Darstellung der Rechengesetze s. Didaktischer Kommentar 2, S. 88) und damit die Idee der Ableitung von schwierigen Aufgaben aus den einfachen Kernaufgaben im Vordergrund. Als einfache Multiplikationsaufgaben wurden diejenigen identifiziert, bei denen ein Faktor eine 2, 5 oder 10 ist oder bei denen beide Faktoren gleich sind (Quadrataufgaben). Später wurden für die Einmaleins-Tafel auch Aufgaben mit dem Faktor 1 ergänzt, die ebenfalls zur Vertiefung des bewussten Ableitens wichtig sind. Zentral für das Ableiten sind dabei das Kommutativgesetz (Faktoren können vertauscht werden: 7×2 = 2×7) und das Distributivgesetz (Faktoren können zerlegt werden: 6×7 = 5×7 + 1×7). Die Division ist die schwierigste Rechenoperation der Volksschule. Da sie aber die Umkehroperation der Multiplikation ist, wurden zu ihrer operativen Durchdringung stets ihre Beziehung zur Multiplikation (etwa am Malplan) intensiv hergestellt. Halbschriftliches Addieren und Subtrahieren Da das Stellenwertsystem für die Erarbeitung des Tausenderraums eine notwendige Grundlage darstellt, werden besonders diejenigen Rechenstrategien herausgestellt, die sich an den Strukturen des dezimalen Aufbaus der Zahlen orientieren. Für die Addition geht es um die folgenden drei Hauptstrategien: Zehner und Einer extra (kurz: ZE) Jeder Summand wird in seine Stellenwerte zerlegt. Die Zehner und Einer werden unter Anwendung des Einspluseins getrennt addiert – eine Strategie, die bei der Addition problemlos anwendbar ist, bei der Subtraktion aber zu Schwierigkeiten führen kann. Sie ist am einfachsten darstellbar mithilfe der Zahlbilder. Beispiel: 48 + 26 = 40 + 20 = 60 8 + 6 = 14 60 + 14 = 74 also 48 + 26 = 74 Schrittweise (kurz: S) Nur der zweite Summand wird in Zehner und Einer zerlegt. Dann werden zuerst die Zehner, anschließend die Einer addiert – oder andersherum. Diese Strategie ist ebenfalls mit den Zahlbildern darstellbar. Noch deutlicher wird sie aber mit dem Rechenstrich, den die Kinder in der zweiten Klasse als ordnungstreue, aber nicht maßstabsgetreue Abstraktion vom Zahlenstrahl kennen- gelernt haben. Beispiel: 48 + 26 = 48 + 20 = 68 68 + 6 = 74 also 48 + 26 = 74 48 74 68 6 20 Hilfsaufgabe (kurz: H) Abgesehen von obigen beiden Zerlegungsstrategien kann es auch hilfreich sein, die Rechnung so zu verändern, dass eine einfache Rechnung oder eine einfache Zwischenrechnung entsteht – hier gehen also die Erfahrungen ein, die in den vorangegangenen Schuljahren mit dem Ableiten von Aufgaben gemacht wurden. Beispiel 1: Hier wird eine Nachbaraufgabe mit einem glatten Zehner berechnet. Das Zwischenergebnis muss dann noch korrigiert werden. Beispiel 2: Ein Summand wird um 2 erhöht, dafür wird der andere um 2 verringert. Es entsteht eine einfache Aufgabe mit gleichem Ergebnis. Diese Strategie wurde am Ende der zweiten Klasse als „Vereinfachen“ bezeichnet. In der dritten Klasse kann diese Sonderbezeichnung in die Kategorie der Hilfsaufgaben eingruppiert werden – es entsteht eben eine Hilfsaufgabe, die das Ergebnis direkt ausgibt. Das Rechnen mit Hilfsaufgaben kann man ebenfalls gut mit dem Rechenstrich und mit Zahlbildern darstellen. So sehr sich diese Rechenwege zu unterscheiden scheinen: Sie beruhen alle auf dem Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz), einige von ihnen zudem auf dem Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz). Diese Gesetze wurden bereits von der ersten Klasse an entwickelt und immer wieder aufgegriffen und vertieft (zu einer Darstellung der Gesetze s. Didaktischer Kommentar 1, S. 66). Für die Subtraktion gibt es jeweils analoge Strategien: Schrittweise (kurz: S) Der Subtrahend wird in Zehner und Einer zerlegt. Dann werden zuerst die Zehner, anschließend die Einer subtrahiert (oder andersherum). Themenblock Wiederholung und Vertiefung 48 + 26 = 50 + 26 = 76 76 − 2 = 74 48 + 26 = 50 + 24 = 74 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
11 Beispiel: 78 − 26 = 78 − 20 = 58 58 − 6 = 52 also 78 − 26 = 52 52 78 58 20 6 Zehner und Einer extra (kurz: ZE) Minuend und Subtrahend werden in Zehner und Einer zerlegt. Die Zehner und Einer werden getrennt subtrahiert. Diese Strategie ist am Rechenstrich nicht darstellbar, aber durchaus mit Zahlbildern. Beispiel: 78 − 26 = 70 − 20 = 50 (d.h. 7 Zehner − 2 Zehner = 5 Zehner) 8− 6= 2 50 + 2 = 52 also 78 − 26 = 52 Diese Strategie verläuft glatt, wenn die Einerziffer des Subtrahenden nicht größer ist als die des Minuenden. Die Kinder wurden aber bereits von Beginn an mit dem Fall vertraut gemacht, dass diese Bedingung nicht gegeben ist und wissen, dass man dann einen Zehner „anbrechen“ muss: Beispiel: 78 − 26 = 70 − 20 = 50 6 − 8 = –2 50 − 2 = 48 also 76 − 28 = 48 Vertiefte Anmerkungen zum Zwischenergebnis „–2“ finden sich im Didaktischen Kommentar 2 (S. 72f). Hilfsaufgabe (kurz: H) Auch bei der Subtraktion ist es bei manchen Rechnungen hilfreich, eine oder beide Rechenzahlen so zu verändern, dass die Rechnung oder eine Zwischenrechnung einfach wird. Beispiel: 78 − 26 = 78 − 30 = 48 48 + 4 = 52 also 78 − 26 = 52 48 78 52 30 4 Hier wird der Subtrahend um 4 zur glatten Zahl 30 erhöht. Das Ergebnis der Hilfsaufgabe muss um 4 vergrößert werden. Minusaufgabe durch Ergänzen lösen (kurz: E) Bei dieser Strategie wird ausgenutzt, dass das Ergänzen oftmals technisch einfacher als das Abziehen ist. Sie ist den Kindern schon von Band 1 her bekannt und lässt sich ebenfalls sehr gut am Rechenstrich illustrieren. Beispiel: 78 − 26 = 26 + 4 = 30 30 + 48 = 78 48 + 4 = 52 also 78 − 26 = 52 26 78 30 48 4 Die Struktur des Themenblocks Der Themenblock startet mit der Wiederholung einfacher Multiplikationsaufgaben (Kernaufgaben) und der Ableitungsstrategien für die Multiplikation. 9 3 Einmaleins-Tafel wiederholen und besprechen, dass man alle schwierigen Aufgaben auf einfache Nachbaraufgaben zurückführen kann. Quadrataufgaben wiederholen und zur Lösung der Nachbaraufgaben nutzen. 4 Kernaufgaben zum Ableiten nutzen, um schwierige Aufgaben zu lösen. æ (P, K, O) 1 Arbeitsheft, Seite 3 5 Einmaleins an der Einmaleins-Tafel Malaufgabe zeigen und nennen, Aufgabe im Kopf rechnen. 10×2 9×3 8×4 7×5 6×6 5×7 4×8 3×9 2×10 10×3 10×4 9×4 10×5 9×5 10×6 8×5 9×6 8×6 7×6 8×7 9×7 10×7 10×8 9×8 7×7 8×8 9×9 10×9 10×10 8×9 9×10 8×10 7×8 6×7 6×8 6×9 7×9 7×10 6×10 5×8 5×9 4×9 5×10 4×10 3×10 10×1 9×1 9×2 8×1 8×2 8×3 7×1 7×2 7×3 7×4 6×1 6×2 6×3 6×4 6×5 5×1 5×2 5×3 5×4 5×5 5×6 4×1 4×2 4×3 4×4 4×5 4×6 4×7 3×1 3×2 3×3 3×4 3×5 3×6 3×7 3×8 2×1 2×2 2×3 2×4 2×5 2×6 2×7 2×8 2×9 1×1 1×2 1×3 1×4 1×5 1×6 1×7 1×8 1×9 1×10 16 4 · 4 eine Quadratzahl 4 weniger als 5 · 4 das Doppelte von 2 · 4 8×4 7×5 6×6 5×7 4×8 3×9 2×10 9×4 10×5 9×5 10×6 8×5 9×6 8×6 7×6 8×7 9×7 10×7 10×8 9×8 7×7 8×8 9×9 10×9 10×10 8×9 9×10 8×10 7×8 6×7 6×8 6×9 7×9 7×10 6×10 5×8 5×9 4×9 5×10 4×10 3×10 8×3 7×2 7×3 7×4 6×1 6×2 6×3 6×4 6×5 5×1 5×2 5×3 5×4 5×5 5×6 4×1 4×2 4×3 4×4 4×5 4×6 4×7 3×1 3×2 3×3 3×4 3×5 3×6 3×7 3×8 2×1 2×2 2×3 2×4 2×5 2×6 2×7 2×8 2×9 1×1 1×2 1×3 1×4 1×5 1×6 1×7 1×8 1×9 1×10 a) 8×8 7×8 e) 3×3 2×3 g) 7×7 8×7 i) 9×9 8×9 c) 6×6 7×6 f) 3×3 4×3 h) 7×7 6×7 b) 8×8 9×8 j) 9×9 10×9 d) 6×6 5×6 4 a) 5 · 8 =4 0 4 · 8 = 4 0 − 8 = 3 a) 8 · 8 = 6 4 7 · 8 = 6 4 − 8 = 4 Rechne geschickt. Achte auf mit 5 mit 10 mit 2 Quadrat . Anna Sophie einer einfachen Aufgabe geschickt rechnen. Quadrataufgabe. 4 × 8 3 × 4 9 × 7 7 × 4 7 × 3 7 × 6 8 × 7 3 × 9 9 × 4 4 × 9 7 × 9 8 × 4 6 × 9 3 × 7 4 × 6 3 × 8 4 × 7 ZB_SB3.indb 9 17.02.2025 12:12:12 Schulbuch 3, S. 9 Anschließend werden die engen Beziehungen zwischen der Multiplikation und der Division in den Blick genommen und für eine Vertiefung insbesondere der Division aufbereitet. 10 1 – 4 Beziehungen zwischen Aufgaben, Tauschaufgaben und deren Umkehraufgaben wiederholen und nutzen. Begriff Umkehraufgabe wiederholen, Begriffe Multiplizieren und Dividieren einführen. æ (K, O) Die Umkehraufgabe von 4 · 6 = 24 ist 24:6 = 4. Multiplizieren: Malrechnen Dividieren: Geteiltrechnen 2 4 1 3 Zeichne das Punktebild und schreibe immer vier Aufgaben. Rechne geschickt mit der Umkehraufgabe. Multipliziere und dividiere. Schreibe immer vier Aufgaben. a) b) c) e) d) Zeichne Punktebilder und schreibe immer vier Aufgaben mit … a) … 12 Punkten. b) … 24 Punkten. c) … 15 Punkten. d) … Punkten. a) 2×7 e) 3×3 c) 4×4 c) 30÷5 b) 3×4 d) 5×3 f) 10÷2 a) 54÷9 d) 24÷4 b) 27÷3 g) 18÷9 g) 32÷8 e) 45÷9 f) 42÷6 1 a) 4·5=20 20:5= 5 · 4 = 2 0 : 4 = 2 a) 2·7=14 14:7=2 7·2=14 14:2=7 4 a) 5 4 : 9 = 6 6 · 9 = 5 4 Teo David Sophie Leo 6 × 4 24 ÷ 4 4 × 6 24 ÷ 6 Ich sehe 4 Sechser. Es sind 4 Zeilen und in jeder Zeile sind 6 Plättchen. Ich sehe die Umkehr- aufgabe. Insgesamt 24. Wie viele Zeilen mit 6 Plättchen sind es? Ich sehe 6 Vierer. Das ist die Tauschaufgabe von 4 · 6. Ich sehe 24 Plättchen in 6 Spalten. 24 : 6 = 4 Plättchen in jeder Spalte. ZB_SB3.indb 10 17.02.2025 12:12:12 Schulbuch 3, S. 10 Analog zur zweiten Klasse sollen die Kinder dann Zahlen aus ihrer Umwelt gewinnen und aufbereiten: Es werden Daten gesammelt und mit dem Säulendiagramm die Idee der Schaubilder aus der zweiten Klasse vertieft. Besonders intensiv werden die Strategien der Addition und Subtraktion behandelt. Ausgehend von einer Wiederholung der bekannten einfachen Aufgaben im Hunderterraum sollen sie in der Vertiefung noch stärker fachsprachlich orientiert beschrieben und geordnet werden. Mit demselben Ziel werden auch Forschermittel eingeführt: Die Kinder sollen verstärkt die Strukturen in den Aufgaben beschreiben und erklären lernen. 1 2 Schöne Päckchen: Setzt fort. Was fällt euch auf? Beschreibt und erklärt. Schöne Päckchen mit Lücken: Löse und setze passende Zahlen ein. a) 41+49 43+47 45+ +43 + b) 28+15 38+16 48+ +18 + c) 24+56 35+46 +36 57+ + d) 59+11 48+13 + + + 2 a) 4 1 + 4 9 = 9 0 4 3 + 4 7 = 9 0 4 5 + 4 5 = 9 0 4 7 + 4 3 = 9 0 4 9 + 4 1 = 9 0 Addieren und Subtrahieren So kannst du beschreiben beschreiben und erklären erklären: die 1. Zahl die 2. Zahl die Summe Wenn …, dann … Deshalb … mit Farben mit Pfeilen mit Zahlbildern Zahlbildern mit Wörtern Wörtern und Sätzen Sätzen a) 10+23 20+23 30+23 f) 40+25 42+27 44+29 c)34+ 2 34+13 34+24 h) 34+60 35+61 36+62 b) 15+35 15+40 15+45 g) 20+35 25+40 30+45 d)23+ 4 32+ 4 41+ 4 i) 27+13 26+15 25+17 e) 55+33 66+22 77+11 j) 28+34 26+36 24+38 Die 1. Zahl wird immer um 10 größer. Die 2. Zahl bleibt gleich. Was passiert mit der Summe? Das ist ein schönes Päckchen. Ich beschreibe das Muster mit Farben und Pfeilen. Sophie Finn Schulbuch 3, S. 16 Den gewohnten Abschluss nach dem Rückblick bilden Aufgaben zum Forschen und Finden, bei denen sich die Kinder mit den Zahlengittern auseinandersetzen. 12 zu Fuß Fahrrad Roller Bus/Bahn Auto Befragung: sonniger Tag 1 Kind 1 Aus erfassten Daten ein Säulendiagramm erstellen und relevante Informationen entnehmen; vorgegebene Fragen beantworten bzw. begründen, warum sich einzelne nicht genau beantworten lassen. 2 Diagramme vergleichen: Wie verändern sich die einzelnen Säulen? Evtl. Satzanfänge zur Beantwortung nutzen. æ (K, M) 1 2 Tabellen und Diagramme Schönes Wetter! Heute bin ich zu Fuß zur Schule gekommen. Ich bin mit meinem Roller gefahren. Teo Esra Die Kinder machen eine Umfrage zum Schulweg. Die Sonne scheint. a) Wie kommen die Kinder zur Schule? Beschreibt und zeichnet ein Säulendiagramm. Es regnet. Die Kinder machen eine neue Umfrage. a) Wie kommen die Kinder zur Schule? Beschreibt und zeichnet ein Säulendiagramm. b) Vergleicht mit der Befragung an einem sonnigen Tag. b) Welche Fragen könnt ihr genau beantworten? Welche Fragen könnt ihr nicht genau beantworten? Wie viele Kinder werden mit dem Auto zur Schule gebracht? Wie viele Kinder fliegen zur Schule? Wie kommen die meisten Kinder zur Schule? Wie viele Kinder werden zur Schule gefahren? Wie kommen die wenigsten Kinder zur Schule? Wie viele Buben gehen in die Klasse? Wie viele Kinder werden von Eltern zur Schule gebracht? Wie viele Kinder sind in der Klasse? zu Fuß Fahrrad Roller Bus/ Bahn Auto Schulweg 0 5 Anzahl der Kinder 1a) An einem regnerischen Tag kommen … … weniger als … … mehr als … … genauso viele wie … An einem sonnigen Tag kommen … zu Fuß Fahrrad Roller Bus/Bahn Auto Befragung: regnerischer Tag 1 Kind Wie kommen die anderen Kinder eigentlich zur Schule? ZB_SB3.indb 12 17.02.2025 12:12:14 3, 4 Strategie Hilfsaufgabe weiterentwickeln und vertiefen. 5 Rechenwege zunehmend 6 Muster in den Aufgaben erkennen und nutzen. 7 Eigene Aufgaben finden. 5 6 + 1 9 = 7 5 56 75 20 1 76 56 + 19 3 7 Hilfsaufgaben: Rechne und schreibe den Rechenweg Wählt immer zwei Zahlen. Findet Plusaufgaben. Die Summe ist … a) … kleiner als 50. b) … gleich 50. g) Finde Aufgaben, die du mit Hilfsaufgaben rechnes Die 2. Zahl ist nah an einer Zehnerzahl. Ich addiere erst 20 und subtrahiere anschließend 1. a)56+19 b)58+19 c) 59+34 d)3 6 Aufgabenpaare: Die Summe ist immer gleich. Erkläre a) 73+17 63+27 b) 38+12 18+32 c) 51+19 21+49 d) 54 34 4 Schöne Aufgabenpaare: Rechne immer erst die einfa a) 39+52 39+50 b) 46 46 5 Rechne geschickt. a) 20+40 20+42 25+42 b) 47+30 47+33 48+33 c) 50+20 55+25 58+28 d) 30 39 31 37 4 15 21 29 42 27 13 35 7 a) 2 9 + 1 5 = 4 4 7 b) 3 7 + 1 3 Eva 4 a) 3 9 + 5 2 = 3 9 + 5 0 = 8 9 Schulbuch 3, S. 12 Schulbuch 3, S. 19 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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