28 1 GRUNDLEGENDE BEGRIFFE UND FERTIGKEITEN 1.94 Drücke in der folgenden Gleichung jede der vorkommenden Variablen durch die übrigen Variablen aus! Nimm dabei an, dass alle auftretenden Nenner von 0 verschieden sind! a) u · v + a · b = w + 1 c) a · c – b · d = e e) x · y + a · u – b = 2 g) x · y = 2 · z · u b) x · y + r _ s = t d) u + v · w _ x = y – 1 f) r + s = a – b _ c + d h) a = c – x – y _ d 1.95 Drücke die angegebene Variable durch die übrigen Variablen der Formel aus! Nimm dabei an, dass alle auftretenden Nenner von 0 verschieden sind! a) V = f _ g – f ,f=? b) 1 _ g + 1 _ b = 1 _ f ,b=? c) 1 _ R = 1 _ R 1 + 1 _ R 2 + 1 _ R 3 ,R=? Grund-, Definitions- und Lösungsmenge von Termen und Gleichungen R Terme und Gleichungen in einer Variablen kann man in der Sprache der Mengenlehre genauer beschreiben. Zunächst führen wir den folgenden Begriff für Terme ein: Die Definitionsmenge D eines Terms in einer Variablen (etwa x) besteht aus allen reellen Zahlen, die bei Einsetzung für die Variable einen Wert ergeben. Man sagt: Der Term ist nur für die Zahlen aus der Definitionsmenge D definiert. BEISPIELE • Für den Term 1 _ x ist D = R*, weil x ≠ 0 sein muss. • Für den Term 1 _ x – 3 ist D = R\{3}, weil der Nenner ≠ 0 sein muss. • Für den Term � _ xist D = R 0 +, weil der Radikand nicht negativ sein darf. Für Gleichungen in einer Variablen verwendet man folgende Begriffe: Gegeben ist eine Gleichung in einer Variablen, die wir im Folgenden mit x bezeichnen. • Die Grundmenge G der Gleichung besteht aus allen Zahlen, die man als mögliche Werte für x ins Auge fasst. • Die Definitionsmenge D der Gleichung besteht aus allen Zahlen x der Grundmenge, für welche die Gleichung eine (wahre oder falsche) Aussage ergibt. • Als Lösung der Gleichung bezeichnet man jede Zahl x aus der Definitionsmenge D, für welche die Gleichung eine wahre Aussage liefert. • Die Lösungsmenge L der Gleichung ist die Menge aller Lösungen der Gleichung. • Die Gleichung heißt lösbar, wenn sie eine Lösung besitzt (dh. wenn die Lösungsmenge nicht leer ist). BEACHTE • Die Grundmenge G ist die Menge, in der man Lösungen sucht. Welche Grundmenge G sinnvollerweise vorgegeben wird, hängt von der Aufgabenstellung ab. Wenn nichts dazugesagt wird, wählt man meist G = R. Wenn aber beispielsweise die Variable x eine Anzahl von Dingen bedeutet, dann kann x nur eine natürliche Zahl sein und man wird eher G = N wählen. • Es gilt stets: L a D a G BEISPIEL Für die Gleichung 1 _ x 2 = 1 gilt: Grundmenge G = R (da nichts dazugesagt wird) Definitionsmenge D = R* (da der Nenner auf der linken Seite ≠ 0 sein muss) Lösungsmenge L = {1, –1} (da nur diese beiden Zahlen die Gleichung erfüllen) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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