8 Der Höhen- und der Kathetensatz ææ Ich kann den Höhen- und den Kathetensatz formulieren ææ Ich kann den Höhen- und Kathetensatz zur Berechnung fehlender Längen anwenden Höhensatz In einem rechtwinkligen Dreieck wird die Hypotenuse durch die Höhe h in zwei Hypotenusenabschnitte q und p geteilt. Wird über der Höhe h ein Quadrat eingezeichnet und über dem Hypotenusenabschnitt q ein Rechteck mit der Breite des anderen Hypotenusenabschnitts p, sind die Flächeninhalte dieser Rechtecke gleich groß, d. h. h2 = q · p Beweis: Da die rechtwinkligen Dreiecke mit den Katheten h und q bzw. h und p zueinander ähnlich sind, gilt: h : q = p : h bzw. h2 = q · p Kathetensatz Verlängert man die Höhe h eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten a und b und der Hypotenuse c, teilt die Verlängerung der Höhe das Quadrat über der Hypotenuse in zwei Rechtecke. Die Flächeninhalte dieser Rechtecke sind gleich groß wie die jeweiligen Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten. D. h. a2 = c · p bzw. b2 = c · q Beweis: Das rechtwinklige Dreieck mit den Katheten a, b und der Hypotenuse c ist ähnlich zum rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten h, q und der Hypotenuse b, d.h. b : c = q : b bzw. b2 = c · q Ebenso gilt aufgrund der Ähnlichkeit der rechtwinkligen Dreiecke: a : c = p : a bzw. a2 = c · p Höhen- und Kathetensatz In jedem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten a und b, der Hypotenuse c, der Höhe h und den Hypotenusenabschnitten q und p gilt: h2 = q · p (Höhensatz) b2 = c · q bzw a2 = c · p (Kathetensatz) a h2 h p q p · q ÓArbeitsblatt XXXXXX b b h c · q c · p q p a a c c b2 a2 Merke In der Mathematik hast du immer wieder mit „Sätzen“ zu tun, z.B. dem Satz des Pythagoras oder dem Satz von Thales. Sätze sind aber auch in der deutschen Grammatik ein wichtiger Begriff. Wo ist aber der Unterschied zwischen einem „mathematischen Satz“ und einem „normal gesprochenen Satz“? Kannst du den Unterschied herausfinden? q p h Ludwig Wittgenstein (1889–1951) Österreichischer Philosoph, Sprachphilosophie 48 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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