Lösungswege 4, Schülerbuch [Teildruck]

1. Auflage (Druck 0001) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2023 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Schulbuchvergütung/Bildrechte © Bildrecht GmbH/Wien 2023 Redaktion: Pia Cukic, Wien; Brigitte Jug, Wien Herstellung: Alexandra Brych, Wien Umschlaggestaltung: Petra Michel, Amberg Layout: Petra Michel, Amberg Satz: Da-Tex Gerd Blumenstein, Leipzig Druck: Ferdinand Berger & Söhne Ges.m.b.H., Horn Teildruck zu 978-3-209-11128-9, W6519-125 (Lösungswege US 4 SB) Lösungswege US 4 SB Teildruck zu ISBN 978-3-209-11128-9, W6519-125 Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Liebe Schülerin, lieber Schüler, du bekommst dieses Schulbuch von der Republik Österreich für deine Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Mathias Bortenschlager Andreas Fischer Max Koller Julia Marsik Markus Olf Markus Wittberger Lösungswege Mathematik 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

A Die reellen Zahlen..................... 6 Die Menge der rationalen Zahlen.. . . . . . . . . . . . 7 Die Menge der reellen Zahlen.. . . . . . . . . . . . . . . 14 Rechnen mit Quadratwurzeln.. . . . . . . . . . . . . . . . 20 RechnenmitKubikwurzeln.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Zusammenfassung .......................... 28 Selbstkontrolle.............................. 29 B Der Lehrsatz des Pythagoras......... 32 Der Lehrsatz des Pythagoras im rechtwinkeligenDreieck.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Anwendung des Lehrsatzes des Pythagoras inebenenFiguren........................... 36 Anwendung des Lehrsatzes des Pythagoras beiKörpern.................................. 42 Der Höhen- und der Kathetensatz.. . . . . . . . . . . . 48 Zusammenfassung .......................... 50 Selbstkontrolle.............................. 51 C Terme und Bruchterme 54 Terme Aufstellen und interpretieren .. . . . . . . . . 55 RechnenmitTermen......................... 60 FaktorisierenvonTermen.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Bruchterme.................................. 70 Multiplizieren und Dividieren von Bruchtermen................................ 74 Addieren und Subtrahieren von Bruchtermen................................ 78 Die vier Grundrechnungsarten mit Bruchtermen................................ 82 Zusammenfassung .......................... 84 Selbstkontrolle.............................. 85 D Statistik................................ 88 Statistische Kennzahlen und Boxplot.. . . . . . . . . 89 Histogramme und Stängel-Blatt-Diagramme.. . 95 Zusammenfassung .......................... 100 Selbstkontrolle.............................. 101 DIGI Statistische Kennzahlen und Boxplot mit Excel ................................... 104 E Gleichungen und Bruchgleichungen . . 106 Lineare Gleichungen in einer Variablen .. . . . . . 107 Bruchgleichungen........................... 112 Textgleichungen............................. 116 Zusammenfassung .......................... 120 Selbstkontrolle.............................. 121 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2 Inhalt Zahlen und Maße Variable, funktionale Abhängigkeiten Geometrische Figuren und Körper Statistische Darstellungen und Kenngrößen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

F Der Kreis................................ 124 DerUmfangdesKreises...................... 125 Der Flächeninhalt des Kreises . . . . . . . . . . . . . . . . 130 DerKreisring................................ 134 DerKreissektor.............................. 138 Zusammengesetzte Figuren.. . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Zusammenfassung .......................... 146 Selbstkontrolle.............................. 147 G Funktionen............................. 150 Zusammenhänge aus dem Alltag.. . . . . . . . . . . . 151 Funktionen – Grundbegriffe.. . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Darstellung von Funktionen.. . . . . . . . . . . . . . . . . 162 LineareFunktionen.......................... 165 NichtlineareFunktionen.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 Zusammenfassung .......................... 182 Selbstkontrolle.............................. 183 DIGI Excel/Geogebra zu Funktionen ............... 186 H Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten.................. 188 Lineare Gleichung mit zwei Unbekannten .. . . . 189 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten graphisch lösen.. . . . . . . . . . 194 Rechnerische Lösungsverfahren .. . . . . . . . . . . . . 198 Textaufgaben zu linearen Gleichungs- systemen mit zwei Unbekannten 204 Zusammenfassung .......................... 212 Selbstkontrolle.............................. 213 I Zylinder, Kegel, Kugel.................. 216 Das Volumen des Drehylinders.. . . . . . . . . . . . . . . 217 Die Oberfläche des Drehylinders.. . . . . . . . . . . . . 220 Das Volumen des Drehkegels.. . . . . . . . . . . . . . . . 224 Die Oberfläche des Drehegels .. . . . . . . . . . . . . . . 228 Volumen und Oberfläche der Kugel .. . . . . . . . . . 232 Zusammengesetzte Körper.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 Zusammenfassung .......................... 240 Selbstkontrolle.............................. 241 J Wiederholung der Inhalte der Sekundarstufe 1 .......................... 244 Wiederholung: Zahlen und Maße.. . . . . . . . . . . . 245 Wiederholung: Arbeiten mit Variablen.. . . . . . . . 248 Wiederholung: Arbeiten mit Modellen und Statistik..................................... 250 Wiederholung: Arbeiten mit Figuren undKörpern................................. 252 Themenzentrierte Aufgaben.. . . . . . . . . . . . . . . . . 256 Anhang Lösungen der Selbstkontrollaufgaben . . . . . . . . 260 Sachregister................................ XXX Bildnachweis............................... XXX 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Merke Muster 4 So arbeitest Du mit Lösungswege 4 Die Lernziele eines Kapitels stehen direkt unter der Überschrift. Jedes Kapitel beginnt mit einer Aufgabe, die zeigen soll, wo einem der Inhalt dieses Kapitels im Alltag begegnet. Im Merke-Kasten, befindet sich die wichtigste Theorie, um die folgenden Aufgaben gut lösen zu können. Ein Muster-Beispiel zeichnet einen möglichen Rechenweg vor, der zum Lösen der folgenden Aufgaben genutzt werden kann. Eine WortspeicherBox gibt Auskunft, warum manche Worte in der Mathematik genutzt werden, oder erklärt einfach nur schwierige Begriffe. 198 200 203 202 Die Punkte neben den Aufgabennummern geben an, wie schwer die Aufgabe ist. Ein Punkt bedeutet leicht, zwei Punkte bedeuten mittel und drei Punkte bedeuten schwer. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

] 5 Eine Check-it-Box gibt nützliche Tipps, um die Aufgabe zu lösen. Dieses Würfel- Symbol zeigt, dass die Aufgabe ein Rätsel ist. 198 200 203 202 232 Der Code bei diesem Symbol führt zu zusätzlichen Materialien im Lehrwek Online. Ó Der Gecheckt?-Bereich ist der Abschluss eines Kapitels. Hier kann man überprüfen, ob der Inhalt des Kapitels verstanden wurde. Eine grün markierte Aufgabennummer bedeutet, dass die Aufgabe dabei hilft, die Sprache der Mathematik zu erlernen, weil man diese in der Aufgabe anwenden soll. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

B Der Lehrsatz des Pythagoras Reden wir darüber … – Kann der Satz des Pythagoras auch in Körpern (dreidimensionalen Formen) auftauchen? – Ist dir in alltäglichen Situationen schon einmal der Satz des Pythagoras begegnet? – Hast du im Geschichteunterricht schon einmal von Pythagoras von Samos bzw. der Pythagoreischen Schule gehört? – In welchen Berufen könnte der Satz des Pythagoras Anwendung finden? In diesem Kapitel wirst du dein bereits erworbenes Wissen über den Satz des Pythagoras erweitern und vertiefen, indem du ihn in unterschiedlichen Sachzusammenhängen anwenden wirst. Du wirst auch die Gültigkeit des Satzes des Pythagoras algebraisch und geometrisch begründen und noch zwei weitere geometrische Zusammenhänge, ausgehend von diesem Lehrsatz, kennenlernen. Der Satz des Pythagoras ist nach dem griechischen Mathematiker Pythagoras von Samos benannt, der im 6. Jahrhundert v. Chr. lebte. Pythagoras wird oft als Begründer der Pythagoreischen Schule angesehen, einer Gruppe von Mathematikern, die sich intensiv mit Zahlen und geometrischen Beziehungen beschäftigten. Obwohl der Satz des Pythagoras nach Pythagoras benannt ist, war er bereits im antiken Mesopotamien und Ägypten bekannt. Es gibt Aufzeichnungen, die darauf hinweisen, dass Mathematiker in diesen Regionen bereits vor Pythagoras mit ähnlichen geometrischen Beziehungen vertraut waren. In der modernen Mathematik bildet der Satz des Pythagoras die Grundlage für viele Bereiche und findet unter anderem auch Anwendung in der Physik, der Architektur, der Astronomie und der Ingenieurwissenschaft (z.B. Maschinenbau, Bauingenieurwesen). 32 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

5 Der Lehrsatz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck ææ Ich kann den Lehrsatz des Pythagoras formulieren und in rechtwinkligen Dreiecken anwenden ææ Ich kenne einen Beweis des Satzes des Pythagoras Satz des Pythagoras In jedem rechtwinkligen Dreieck gilt: Die Summe der beiden Quadrate der Kathetenlängen a und b ist gleich dem Quadrat der Hypotenusenlänge: a2 + b2 = c2 Geometrisch heißt das: Die Summe der Flächeninhalte der Quadrate mit den Katheten ist gleich dem Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse. 122 Benenne im rechtwinkligen Dreieck die Katheten und die Hypotenuse. Formuliere den Satz des Pythagoras. a) b) c) d) 123 Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck. Kreuze die richtigen Aussagen an. Die Seiten x und y sind die Katheten des rechtwinkligen Dreiecks æ Die Seite y ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks æ Die Seite z ist die längere der beiden Katheten æ Die Seite z ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks æ Die Seiten x und z sind die Katheten, die Seite y ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks æ Ist ein Dreieck rechtwinklig, gilt der Lehrsatz des Pythagoras. Umgekehrt gilt auch: Wenn in einem Dreieck für die drei Seitenlängen der Satz des Pythagoras angewendet werden kann, ist dieses Dreieck rechtwinklig. Merke a c b a2 b2 c2 ÓArbeitsblatt XXXXXX H3 x y z u v w o p q r t s H3 Merke Timo hat zwei Dreiecke gegeben, die durch die Angabe der drei Seitenlängen festgelegt sind: Dreieck 1: a = 25 mm, b = 50 mm, c = 65 mm Dreieck 2: x = 50 mm, y = 60 mm, z = 30 mm Er fragt seine ältere Schwester Anna: „Wie kann ich entscheiden, welches der beiden Dreiecke ein rechtwinkliges ist?“ Anna sagt: „Du kannst eine Zeichnung machen. Ich kann aber auch rechnerisch bestimmen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist …“ Die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, die den rechten Winkel bilden, heißen Katheten, die längste Seite des Dreiecks (gegenüber des rechten Winkels) Hypotenuse z x y 33 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Gegeben sind die Seitenlängen der Dreiecke (1) 58 mm, 40 mm, 42 mm und (2) 40 mm, 31 mm, 24 mm. Untersuche, ob das Dreieck rechtwinklig ist. Verwende den Satz des Pythagoras: Dreieck 1: 402 + 422 = 582 1600 + 1764 = 3364 ¥ 3 364 = 3 364 d. h das Dreieck ist rechtwinklig. Dreieck 2: 242 + 312 = 402 576 + 961 = 1 537 ≠ 1 600 d. h das Dreieck ist nicht rechtwinklig. 124 Untersuche mit dem Satz des Pythagoras, ob das Dreieck rechtwinklig ist. a) 32 mm, 60 mm, 68 mm b) 41 cm, 40 cm, 9 cm c) 29 cm, 39 cm, 50 cm d) 7,3 cm, 5,5 cm, 4,8 cm Gegeben sind die Längen der Kathete x = 36 mm und der Hypotenuse z = 85 mm. Berechne die Länge der Kathete y: Es gilt: x2 + y2 = z2 | – x2 ¥ y2 = z2 – x2 ¥ y = 9 ____ z2 – x2 . Setze die gegebenen Werte ein: y = 9 _____ 852 – 362 = 9 ___ 5 929 = 77 mm 125 Berechne im rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten x und y und der Hypotenuse z die fehlende Seitenlänge. a) x = 20 dm, y = 21 dm b) x = 2,1 cm, y = 2,8 cm c) x = 6,6 cm, z = 11 cm d) z = 10,5 cm, y = 8,8 cm e) x = 0,16 m, y = 0,3 m f) z = 27,5 cm, x = 26,4 g) x = 14 mm, y = 48 mm h) z = 10,1 cm, x = 9,9 cm 126 Berechne die fehlende Seitenlänge x. a) b) c) d) 127 Gib eine Formel für die Berechnung der Länge jeder Kathete und der Hypotenuse an. a) b) c) d) Katheten z, r u, w p, q b, c Hypotenuse t e r a 128 Wegen eines Waldes kann die Entfernung zwischen zwei Orten X und Y nicht gemessen werden. Es wird daher ein Punkt Z so gewählt, dass XY die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist. Die Kathetenlängen x = ZX und y = ZY sind gegeben. Berechne die Entfernung der Orte X und Y. a) x = 240 cm, y = 450 m b) x = 4 000 m, y = 4 200 m c) x = 2,4km, y = 7km d) x = 3,9 km, y = 5,2 km 129 Von einer Funkstation am Boden werden die direkte Entfernung d zu einem Flugzeug sowie die Entfernung e gemessen. Berechne, in welcher Höhe h das Flugzeug fliegt. a) d = 3 510 m, e = 3 240 m b) d = 4 050 m, e = 3 240 m c) d = 2,5 km, e = 0,88 km d) d = 3,9 km, e = 3,12 km 130 Aufgrund klimatischer Veränderungen können Unwetter auch in unseren Breiten immer heftiger werden. Ein h Meter hoher Baum knickt in x Meter Höhe. Seine Spitze liegt in y Meter Entfernung vom Stamm. Berechne die fehlende Länge. a) h = 6,4 m; x = 1,8 m b) h = 11,2 m; x = 3,4 m c) x = 4,5 m; y = 9,2 m d) x = 4,4 m; y = 7,9 m Muster H2 Muster H2 H2 7,6 cm 5,0 cm α 6 cm 8,0 cm α 2,2 cm 3,6 cm α 6 cm 4 cm α H1 H2 X Y Z H2 d e h H1, H2 y x ÓArbeitsblatt XXXXXX 34 5 Der Lehrsatz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

131 Das Verkehrszeichen „5 % Steigung“ heißt, dass entlang einer geradlinig verlaufenden Straße auf 100m waagrechte Entfernung ein Höhenunterschied von 5m auftritt. Berechne die Länge der Straße auf 200m waagrechter Enterung bei der gegebenen Steigung. a) 5 % b) 10 % c) 16 % d) 12 % e) 3 % 132 In der Abbildung ist ein Dammquerschnitt dargestellt. a) Bestimme die Höhe h und die Böschungslänge b. b) Berechne die Querschnittsfläche des Damms. c) Wieviel Kubikmeter Erde müssen für den Damm aufgeschüttet werden, wenn er 800 m lang ist. 133 Eine Schwimmerin durchschwimmt einen 45 m breiten Fluss. Wegen der Fließgeschwindigkeit des Wassers wird sie 60 m abgetrieben. a) Berechne, welchen Weg die Schwimmerin bei der Überquerung des Flusses tatsächlich zurücklegt. b) Welche Voraussetzung muss bei der Berechnung der von der Schwimmerin zurückgelegten Weglänge getroffen werden? Beweis des Satzes des Pythagoras In ein Quadrat mit der Seitenlänge a + b wird ein Quadrat mit der Seitenlänge c eingeschrieben. Der Flächeninhalt des eingeschriebenen Quadrats ist c2. Der Flächeninhalt der vier rechtwinkligen Dreiecke mit den Katheten a und b ist jeweils a b _ 2 . Für den Flächeninhalt des Quadrats mit der Seitenlänge a + b gilt: (a + b)2 = c2 + 4 · a b _ 2 ¥ a 2 + 2 a b + b2 = c2 + 2 a b | – 2 a b ¥ a2 + b2 = c2 134 Vier deckungsgleiche (kongruente) rechtwinklige Dreiecke mit den Katheten a und b und der Hypotenuse c werden zu einem Viereck ABCD gelegt. In der Mitte bleibt ein Quadrat mit der Seitenlänge a – b und dem Flächeninhalt (a – b)2 frei (siehe Abbildung). a) Begründe, dass in jeder Ecke des Vierecks ABCD ein rechter Winkel ist. b) Setze den Flächeninhalt des Vierecks ABCD durch die Flächeninhalte der rechtwinkligen Dreiecke und des inneren Quadrats zusammen und zeige damit, dass der Zusammenhang a2 + b2 = c2 gilt. Gecheckt? ææ Ich kann den Lehrsatz des Pythagoras formulieren und in rechtwinkligen Dreiecken anwenden 135 Benenne die Katheten und die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks. Katheten: Hypotenuse: 136 Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten t, s und z. Drücke aus der Gleichung t2 – s2 = z2 jede Variable durch die beiden anderen aus und gib die beiden Katheten und die Hypotenuse an. 137 Berechne die fehlende Seitenlänge. Runde auf zwei Nachkommastellen. a) b) x ≈ u ≈ H1, H2 H1, H2 b 206 cm 415 cm 397 cm 415 cm h H1, H2 60 m c2 b b b b c c c c a a a a a + b a + b a + b a + b H1, H2, H4 D c c b a b c c C A B (a – b)2 a – b H1 u v w H2 H2 Ó Arbeitsblatt XXXXXX x 5 cm 8 cm u 28 cm 45 cm 35 B Der Lehrsatz des Pythagoras Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

6 Anwendung des Lehrsatzes des Pythagoras in ebenen Figuren ææ Ich kann in ebenen Figuren rechtwinklige Dreiecke erkennen und den Lehrsatz des Pythagoras anwenden In ebenen Figuren lassen sich rechtwinklige Dreiecke erkennen, in denen der Lehrsatz des Pythagoras angewendet werden kann. Rechteck und Quadrat Die Diagonale teilt ein Rechteck bzw. ein Quadrat in zwei deckungsgleiche rechtwinklige Dreiecke. Rechteck d2 = a2 + b2 bzw. d = 9 ____ a2 + b2 Quadrat d2 = a2 + a2 = 2 a2 d = 9 ____ a2 + a2 = 9 __ 2 a2 = 9 _ 2 · 9 __ a2 = a 9 _ 2 138 i) Kennzeichne ein rechtwinkliges Dreieck mit Farbe, ii) benenne die Katheten und die Hypotenuse, iii) wende den Satz des Pythagoras an. a) b) c) d) 139 Berechne im Rechteck mit den Seitenlängen a und b die Länge der Diagonale d. Runde auf zwei Nachkommastellen. a) a = 34 cm; b = 13 cm b) a = 25 dm; b = 42 dm c) a = 4,3 cm; b = 2,2 cm d) a =12,5m; b = 8,7m 140 Von einem Rechteck kennt man die Länge einer Seite und die Länge der Diagonale d. Berechne die fehlende Seitenlänge. Runde auf zwei Nachkommastellen. a) a = 53 cm; d = 78 cm b) a = 14,5 cm; d = 32,1 cm c) b = 64 dm; d = 90 dm d) b = 3,4 m; d = 12,4 m Merke Ó Arbeitsblatt XXXXXX A d b a B D C A d a a B D C H3 D n p b b a e f a y x x t s s H2 H2 Elisa hat zum Geburtstag einen neuen Fernseher bekommen. Ihr Freund Patrick fragt: „Welche Bildschirmdiagonale hat denn das gute Stück?“. Elisa überlegt und sagt: „Ich weiß leider nur wie breit und wie hoch der Bildschirm ist, weil er genau in das Regal in meinem Zimmer passt. Da gibt es aber sicher einen Weg, die Diagonale berechnen zu können …“. 36,1 cm d 20,3 cm 36 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

141 Berechne im Quadrat mit der Seitenlänge a die Länge der Diagonale d. Runde auf zwei Nachkommastellen. a) a = 34 dm b) a = 24 m c) a = 17,4 m d) a = 82,8 cm 142 Von einem Quadrat kennt man die Länge der Diagonale d. Berechne die Seiten- länge a. Runde auf zwei Nachkommastellen. a) d = 64 dm b) d = 142 cm c) d = 23,3 dm d) d = 182,8 m 143 Drei Kinder berechnen auf verschiedene Arten die Länge der Diagonale d eines Quadrats mit der Seitenlänge a: Antonia … 9 ____ a2 + a2 , Bernhard … 9 __ 2a2 , Cornelia … a 9 _ 2 Erkläre, warum alle drei Kinder auf das richtige Ergebnis kommen. 144 Ein Hund hält ein Stöckchen mit der Länge x in seinem Maul. Kommt er damit durch die Türe seiner Hundehütte, die die Breite b und die Höhe h hat, wenn er das Stöckchen nicht mit einem Ende voraus in die Hundehütte bringen möchte? a) b = 36 cm; h = 48 cm; x = 60 cm b) b = 40 cm; h = 60 cm; x = 0,75 m c) b = 33 cm; h = 44 cm; x = 0,55 m 145 Gegeben sind die Seitenlängen von rechteckigen Sportfeldern. Berechne, wie viele Meter man zurücklegt, wenn man der Diagonale entlang das Sportfeld überquert. a) American Football: 48,8 m × 109,75 m b) Feldhockey: 55 m × 91,4 m c) Baseball: 113,75 m × 120 m d) Rugby: 68 m × 120 m 146 Durch ein rechteckiges Waldstück mit den Seitenlängen x und y führt der Diagonale d entlang ein geradlinig verlaufender Weg. Um seltene Vögel, die darin ihre Nistplätze haben, zu schützen, wird der Weg gesperrt und Wanderer müssen um das Waldstück herumgehen. Berechne, um wie viele Meter sich der Weg verlängert. a) x = 120 m; d = 150 m b) y = 182 m; d = 218 m c) x = 170 m; d = 314 m d) y = 170 m; d = 442 m 147 Ein Handy hat die die Breite b und die Höhe h. Die Länge der Diagonale d wird in Zoll (qq) angegeben. Berechne die fehlende Größe. a) b = 6,8 cm, d = 5,5qq b) h = 13,3 cm, d = 6qq c) b = 8,1 cm, d = 6,5qq d) h = 14,8 cm, d = 6,7qq 148 Verdoppelt man die Seitenlängen eines Rechtecks, verdoppelt sich die Länge der Diagonale. a) Überprüfe diese Aussage für die Rechtecke mit den Seitenlängen i) 33 cm und 56 cm, ii) 12 cm und 5 cm, iii) 27cm und 36cm. b) Zeige allgemein die Gültigkeit der Aussage. 149 Verdoppelt man die Seitenlängen eines Quadrats, verdoppelt sich die Länge der Diagonale. a) Überprüfe diese Aussage für die Quadrate mit der Seitenlänge i) 3 cm, ii) 5 cm, iii) 41 cm. b) Zeige allgemein die Gültigkeit der Aussage. H2 H2 a = d 9 _ 2 H4 H1, H2 H1, H2 H1, H2 H2 1 Zoll = 1qq = 2,54 cm H1, H2, H4 H1, H2, H4 37 B Der Lehrsatz des Pythagoras Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Gleichschenkliges und gleichseitiges Dreieck Das gleichschenklige Dreieck wird durch die Höhe hc in zwei rechtwinklige Dreiecke geteilt. hc und c _ 2 sind die beiden Katheten, a ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks. Nach dem Satz des Pythagoras gilt: ( c _ 2 ) 2 + h c 2 = a2 Das gleichseitige Dreieck wird durch die Höhe h in zwei rechtwinklige Dreiecke mit den Katheten a _ 2 und h und der Hypotenuse a geteilt. Nach dem Satz des Pythagoras gilt: h2 + ( a _ 2 ) 2 = a2 Die Umformung nach h ergibt: h2 + a2 _ 4 = a2 | – a2 _ 4 h2 = 4 a 2 _ 4 – a2 _ 2 = 3 a2 _ 4 | Wurzelziehen h = 9 __ 3 a2 _ 4 = 9 __ 3 a2 _ 9 _ 4 = a 9 _ 3 _ 3 Gleichschenkliges Dreieck In einem gleichschenkligen Dreieck mit den Schenkeln a, der Basis c und der Höhe hc gilt: ( c _ 2 ) 2 + h c 2 = a2 Gleichseitiges Dreieck In einem gleichseitigen Dreieck mit der Seitenlänge a und der Höhe h gilt: h2 + ( a _ 2 ) 2 = a2 bzw. h = a 9 _ 3 _ 2 150 Wende im gleichschenkligen bzw. gleichseitigen Dreieck den Satz des Pythagoras an. Gib im gleichseitigen Dreieck eine vereinfachte Formel für die Höhe an. a) b) c) d) 151 Von einem gleichschenkligen Dreieck kennt man die Längen der Basis c und der Höhe h c. Berechne die Länge des Schenkels a. a) c = 16 cm, h c = 15 cm b) c = 30 cm, hc = 20 cm c) c = 30 cm, hc = 36 cm d) c = 50 cm, hc = 60 cm 152 Gegeben ist das gleichseitige Dreieck mit der Seitenlänge a. Berechne die Länge der Höhe h. Runde auf zwei Nachkommastellen. a) a = 10 cm b) a = 32 m c) a = 54,3 cm d) a = 23,6 dm Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis c = 18 cm und der Schenkellänge a = 41 cm. Berechne die Höhe hc. Nach dem Satz des Pythagoras gilt: hc 2 + ( c _ 2 ) 2 = a2. Wird nach h c umgeformt, erhält man h c 2 = a2 – ( c _ 2 ) 2 bzw. h c = 9 ____ a2 – ( c _ 2 ) 2 . Durch Einsetzen der gegebenen Längen ergibt sich hc = 9 ____ 412 – 92 = 40 cm b = a C c a B A α β γ hc c _ 2 c _ 2 b = a C c = a a B A α β γ h a _ 2 a _ 2 Merke H2 y z x M A ß e e f e g g m g H2 H2 Muster a c a hc a hc c _ 2 a a h a _ 2 38 6 Anwendung des Lehrsatzes des Pythagoras in ebenen Figuren Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

153 Bestimme im gleichschenkligen Dreieck mit der Schenkellänge a und der Basis c die fehlende Länge. Runde auf zwei Nachkommastellen. a) a =12,3cm,c = 9cm b) a = 42,1 cm, c = 29,5 cm c) a = 43 cm, hc = 23cm d) a = 4,4 cm, hc = 2,2 cm 154 Ein Blumenbeet hat die Form eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge s und der Höhe h. Berechne den Flächeninahlt des Blumenbeets. a) s = 2 m b) s = 3,5 m c) h = 1,7m d) h = 2,8 m 155 Berechne die Länge der Seite a des gleichseitigen Dreiecks mit der Höhe h. Runde auf zwei Nachkommastellen. a) h = 55 dm b) h =17cm c) h = 21,2 m d) h = 15 mm 156 Zeige durch entsprechende Umformungen, dass für den Zusammenhang ( c _ 2 ) 2 + h c 2 = a2 gilt: i) a = 9 _____ ( c _ 2 ) 2 + h c 2 ii) h c = 9 ____ a2 – ( c _ 2 ) 2 iii) c = 2 9 ____ a2 – h c 2 157 Kreuze die beiden richtigen Aussagen an. 2 u2 = w2 æ u = z2 + ( w _ 2 ) 2 æ z2 = u2 + ( w _ 2 ) 2 æ 9 _____ z2 + ( w _ 2 ) 2 = u æ z = 9 _____ u2 – ( w _ 2 ) 2 æ 158 Drei Kinder geben eine Formel für die Berechnung der Länge y im abgebildeten gleichseitigen Dreieck an: Peter … y = 9 ____ x2 – ( x _ 2 ) 2 Nicole … y2 = x2 – x2 Christoph … y = 9 __ 3 x2 _ 4 Wer hat recht? Begründe deine Entscheidung. 159 a) Die beiden unteren Enden einer ganz aufgeklappten Stehleiter sind 0,86 m voneinander entfernt. Die Leiter reicht 1,80 m hoch. Berechne die Länge der zusammengeklappten Leiter. b) Eine Leiter ist im zusammengeklappten Zustand 2 m lang. Wird sie ganz aufgeklappt, sind die unteren Enden der Leiter 0,92 m voneinander entfernt. Berechne, bis zu welcher Höhe die Leiter reicht. 160 Der Giebel eines Daches ist ein gleichschenkliges Dreieck. Berechne i) die (Giebel-) Höhe h des Daches und ii) den Flächeninhalt des Giebels. 161 Die Zugbrücke einer Burg ist 8,5 m lang. a) Bestimme die Länge L der Kette der Zugbrücke. b) Berechne die Entferung x der Kette von der unteren Kante des Burgtores. H2 H1, H2 H2 H4 H3, H4 w z u u α α H4 x y x x H1, H2 α 18 m Giebel h 15 m H1, H2 H1, H2 8,5 m L x 8,5 m ÓArbeitsblatt XXXXXX 39 B Der Lehrsatz des Pythagoras Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Vierecke Gegeben ist das Parallelogramm mit den Seitenlängen a = 5 cm, b = 3,6 cm und der Höhe ha = 3 cm. Berechne die Längen der Diagonalen. Man berechnet mithilfe des Satzes des Pythagoras die Länge der Hilfsgröße x: x2 + h a 2 = b2, d. h. x = 9 ____ b2 – h a 2 = 9 _____ 3,62 – 32 ≈ 1,99 cm. Für die Diagonale e gilt: e2 = (a + x)2 + h a 2 , d. h. e = 9 ______ (a + x)2 + h a 2 = 9 ________ (5 + 1,99)2 + 32 ≈ 7,6 cm. Weiters gilt: f2 = (a – x)2 + h a 2 . D.h.f=9 ______ (a – x)2 + h a 2 = 9 ________ (5 – 1,99)2 + 32 ≈ 4,2cm 162 Bei einem Einkaufszentrum werden 200 Schrägparkplätze wie abgebildet geplant. a) Berechne die Längen der Strecken h und d. b) Berechne den Flächeninhalt, den die 200 Parkplätze einnehmen. c) Überlege, was die Versiegelung des Bodens durch Asphaltierungen für die Umwelt bedeutet, und erkläre es schriftlich. 163 i) Berechne die Länge der Strecke x sowie die Längen der Diagonalen e und f des Parallelogramms (α < 90°). Runde auf zwei Nachkommastellen. ii) Berechne den Flächeninhalt. a) a = 6 cm, b = 4,3 cm, ha = 3,5 cm b) a = 4 cm, b = 5,5 cm, ha = 4 cm c) a = 7cm, b = 3,2cm, ha = 2,5 cm d) a = 4cm, b = 4,7cm, ha = 3,5 cm Von einer Raute kennt man die Längen der Diagonalen e = 30,4 cm und f = 22,8 cm. Berechne die Länge der Seite a und den Flächeninhalt der Raute. e _ 2 und f _ 2 bilden mit der Seite a ein rechtwinkliges Dreieck. Es gilt: ( e _ 2 ) 2 + ( f _ 2 ) 2 = a2 D.h.a=9 _____ ( e _ 2 ) 2 + ( f _ 2 ) 2 = 9 ______ 15,22 + 11,42 = 19 cm Für den Flächeninhalt A gilt: A = e · f _ 2 = 30,4 · 22,8 __ 2 = 346,56 cm2 164 Berechne i) die Seitenlänge des Rhombus mit den Diagonalen e und f und ii) den Flächeninhalt. a) e = 10 cm, f = 24 cm b) e = 18 cm, f = 24 cm c) e = 12 cm, f = 18 cm d) e = 16 cm, f = 30 cm 165 i) Berechne die Länge der Strecke x und die Längen der Diagonalen e und f des Rhombus (α < 90°) sowie ii) den Flächeninhalt. (s. Abb. beim Muster) a) a =17cm, h =15cm b) a = 10 cm, h = 8 cm c) a = 25 cm, h = 24 cm d) a = 6,1 cm, h = 6 cm 166 Eine 10 m lange und 4 m hohe rechteckige Hauswand wird mit rhombenförmigen Platten (e = 3 dm, f = 2 dm) verkleidet. a) Berechne, wie viele solche Platten mindestens benötigt werden. b) Welche Vorteile für die Umwelt kann das Verkleiden von Hauswänden mit sich bringen? Muster H1, H2 d h 4,8 m 2,8 m 2,3 m H2 A=a·ha Muster a x b h c e f d A B D α β γ δ C e _ 2 f _ 2 H2 H2 A = a · h = e · f _ 2 H1, H2 a f e b A D C B a x x b ha h a 40 6 Anwendung des Lehrsatzes des Pythagoras in ebenen Figuren Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Von einem Trapez kennt man a = 40 cm, b = 26 cm, d = 25 cm, h = 24 cm. Berechne die Längen von c und der Diagonalen e und f. Berechne die Längen der Strecken x und y unter Verwendung des pythagoreischen Lehrsatzes: x2 + h2 = d2 ¥ x = 9 ____ d2 – h2 = 9 _____ 252 – 242 = 7cm und y2 + h2 = b2 ¥ y = 9 ____ b2 – h2 = 9 _____ 262 – 242 =10cm d.h. c=a–x–y=40–7–10=23cm. Es gilt weiter: e2 = (a – y)2 + h2 ¥ e = 9 _____ 302 + 242 ≈ 38,4 cm und f2 = (a – x)2 + h2 ¥ f = 9 _____ 332 + 242 ≈ 40,8 cm 167 Von einem Trapez kennt man die Seitenlängen a, b, d und die Höhe h. i) Bestimme die Längen der Strecken x, y und c sowie die Längen der Diagonalen e und f. ii) Berechne den Flächeninhalt. a) a = 25cm, b =18,2cm, d =7,4cm, h =7cm b) a = 3,7cm, b = 2,5cm, d = 2,6cm, h = 2,4cm 168 Berechne den Flächeninhalt des trapezförmigen Gartens. (siehe Abbildung) a) a = 46 m, b = 20 m, c = 30 m b) a = 50 m, b = 24 m, c = 34 m c) a = 62 m, b = 28 m, c = 40 m d) a = 44 m, b = 21 m, c = 20 m 169 Eine trapezförmige Wand wird gestrichen. i) Berechne die Länge der Kante s. ii) Wie viele m2 Wand müssen gestrichen werden? Von einem Deltoid kennt man b = 100 mm, f = 56 mm und x = 21 mm. Berechne a und die Länge der Diagonale e = _ AD Es gilt nach dem Satz des Pythagoras: a2 = ( f _ 2 ) 2 + x2 ¥ a = 9 _____ 282 + 212 = 35 mm: Weiters ist y2 + ( f _ 2 ) 2 = b2 ¥ y = 9 _____ 1002 – 282 =96mmunde=x+y=21+96=117mm 170 Von einem Deltoid kennt man bestimmte Längen. i) Berechne alle fehlenden Längen und ii) den Flächeninhalt. a) b = 45 mm, f = 72 mm, x = 15 mm b) a = 20 mm, f = 24 mm, y = 9 mm c) f = 32 mm, x = 30 mm, y = 63 mm d) f = 36 mm, x = 80 mm, y = 24 mm Gecheckt? ææ Ich kann in ebenen Figuren rechtwinklige Dreiecke erkennen und den Lehrsatz des Pythagoras anwenden 171 Gib für das nebenstehende Deltoid eine passende Formel an. a) f = b) h = c) c = Muster A y B a c e f h h x d b D C H2 A = 1 _ 2 · (a + c) · h H2 x x H 46 m 20 m 30 m H1, H2 s 5 m 6 m 4 m Muster A a b b y x a D B C f _ 2 f _ 2 H2 A = e · f _ 2 H3 g h h c d g f _ 2 ÓArbeitsblatt XXXXXX 41 B Der Lehrsatz des Pythagoras Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

7 Anwendung des Lehrsatzes des Pythagoras bei Körpern ææ Ich kann in Körpern rechtwinklige Dreiecke erkennen und den Satz des Pythagoras anwenden Quader und Würfel In jedem Quader mit den Kantenlängen a, b und c bilden die Diagonalen der Begrenzungsflächen (= Flächendiagonalen) d1, d2 und d3 mit je zwei Kanten des Quaders ein rechtwinkliges Dreieck. In den rechtwinkligen Dreiecken gilt der Lehrsatz des Pythgoras. Flächendiagonalen des Quaders In einem Quader mit den Kantenlängen a, b und c gilt für die Flächendiagonalen: d1 2 = a2 + b2 bzw. d 1 = 9 ____ a2 + b2 d 2 2 = a2 + c2 bzw. d 1 = 9 ____ a2 + c2 d3 2 = b2 + c2 bzw. d 1 = 9 ____ b2 + c2 Flächendiagonale des Würfels Für die Flächendiagonale d1 eines Würfel mit der Kantenlänge a gilt: d1 2 = a2 + a2 = 2 a2 bzw. d 1 = 9 __ 2 a2 = a 9 _ 2 172 Gegeben sind die Kantenlängen a, b und c eines Quaders. Berechne die Längen der Flächendiagonalen. Runde auf zwei Nachkommastellen. a) a = 14 cm, b = 12 cm, c = 3 cm b) a=45m,b=32m,c=17m c) a = 5,4 dm, b = 2,3 dm, c = 1,1 dm d) a = 12,6 m, b = 8,5 m, c = 9,4 m 173 Von einem Quader mit den Kantenlängen a, b, c und den Flächendiagonalen d1, d2 und d3 kennt man drei Bestimmungsstücke. Berechne die anderen Längen. (Maße in cm) a) b) c) d) ÓArbeitsblatt XXXXXX Merke A D d1 d2 d3 c b a B E H G C F A D d d1 a a a B E H G C F H2 H2 7,4 3,5 2 3,5 6 8 2,8 7,3 3,5 4 6,5 3,9 In der oberen Ecke eines Raumes, der 8,5m lang, 4m breit und 2,5 m hoch ist, sitzt ein Vogel. In zwei der unteren Ecken sitzen ein Hund und eine Katze. Wie kann man rechnerisch die Entfernungen der einzelnen Tiere zueinander bestimmen? Welche Tiere sind am weitesten voneinander entfernt? 42 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

174 Gegeben ist der abgebildete Quader. Kreuze die richtigen Aussagen an. a) b) 175 Berechne die Länge der Flächendiagonale des Würfels mit der Kantenlänge a. Runde auf zwei Nachkommastellen. a) a = 35 cm b) a = 10,5 dm c) a = 354 m d) a = 27,9 m 176 Bestimme die Kantenlänge a des Würfels. a) d1 = 45 dm b) d1 = 44,5 dm c) d1 = 10,4 cm d) d1 = 72,3 m Die Strecke, die in einem Quader zwei einander räumlich gegenüber- liegende Punkte als Endpunkte hat, wird als Raumdiagonale d bezeichnet. Es gilt: d2 = d 1 2 + c2 bzw. d 1 2 = a2 + b2. Führt man beide Formeln zusammen, erhält man für die Raumdiagonale d den Zusammenhang d2 = a2 + b2 + c2 bzw. d = 9 ______ a2 + b2 + c2 Da ein Würfel ein Quader mit gleich langen Kanten a ist, erhält man für die Raumdiagonale d des Würfels den Zusammenhang: d2 = a2 + a2 + a2 = 3 a2 bzw. d = 9 __ 3 a2 = 9 _ 3 9 __ a2 = a 9 _ 3 Raumdiagonale des Quaders In einem Quader mit den Kantenlängen a, b und gilt für die Raumdiagonale d: d2 = a2 + b2 + c2 bzw. d = 9 ______ a2 + b2 + c2 Raumdiagonale des Würfels Für die Raumdiagonale d eines Würfel mit der Kantenlänge a gilt: d2 = a2 + a2 + a2 = 3 a2 bzw. d = a 9 _ 3 177 Berechne die Raumdiagonale und die Flächendiagonalen des Quaders. Runde auf zwei Nachkommastellen. a) a = 10 cm, b = 12 cm, c = 14 cm b) a = 120 mm, b = 60 mm, c = 30 mm c) a = 31,2 cm, b = 10,3 cm, c = 6 cm d) a = 0,4 m, b = 0,6 m, c = 1,2 m 178 Berechne die Raumdiagonale und die Flächendiagonale des Würfels mit der Kantenlänge s. a) s = 18 cm b) s = 15,2 cm c) s = 8,4 cm d) s = 33,2 cm 179 Berechne die fehlende Kantenlänge des Quaders mit den Kantenlängen a, b, c und der Raumdiagonale d. a) a = 4,5 cm; b = 2,2 cm; d = 6,1 cm c) a = 21,2 cm; c = 14,8 cm; d = 41,2 cm b) b=17mm;c=11mm;d=22mm d) a = 5,6 cm; b = 3,1 cm; d = 7,2 cm 180 Berechne die Kantenlänge a des Würfels mit der Raumdiagonale d. a) d = 21 cm b) d = 7,4 dm c) d = 210 m d) d = 55 mm H3 r s n m p t x y v u w z x2 + y2 = z2 æ u = 9 ____ x2 + y2 æ x = 9 ____ v2 + z2 æ z = 9 ____ w2 – y2 æ x2 + z2 = v2 æ s2 – p2 = t2 æ n = 9 ___ r2 + t2 æ m = 9 ____ r2 – s2 æ t2 = p2 – s2 æ r = 9 ____ n2 – t2 æ H2 H2 a b c d d1 Merke H2 H2 H2 H2 43 B Der Lehrsatz des Pythagoras Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

181 Eine L cm lange Rose wird in einer würfelförmigen Vase eingefrischt. Die Kantenlänge der Vase beträgt a cm. i) Berechne, wie weit die Blume über eine obere Ecke der Vase hinausragt. a) L = 20 cm; a = 10 cm b) L=17cm;a=9cm c) L = 20 cm; a = 11 cm ii) Erkläre, ob die Blume tatsächlich so weit über den Rand herausragt, wie in diesem mathematischen Modell beschrieben. 182 Eine Fliege sitzt in der unteren Ecke eines Schuhkartons. Die Fliege krabbelt auf verschiedenen Wegen dK1, dK2 bzw. dK3 zur gegenüberliegenden Ecke. Die direkte Flugstrecke wird mit df bezeichnet. Berechne die Längen der direkten Flugstrecke df und der einzelnen Krabbelstrecken. Der Karton hat die Maße a) a = 40 cm, b = 30 cm und c = 20 cm, b) a = 20 cm, b = 32, c = 10 cm. 183 Unter einem „Euler-Ziegel“ versteht man einen Quader, bei dem die Kantenlängen und die Längen der Flächen- diagonalen ganzzahlig sind. Überprüfe diese Eigenschaft bei den gegebenen Quadern mit den Kantenlängen x, y und z. i) x = 44mm; y =117mm; z = 240mm ii) x = 85 mm; y = 132 mm; z = 720 mm 184 Jonas lässt ein Modellflugzeug bei Windstille entlang der abgebildeten Bahn fliegen. a) Berechne, welchen Weg das Flugzeug zurücklegt, bis es wieder bei Jonas landet. b) Finde noch zwei andere mögliche Flugbahnen und berechne ihre Längen. 185 Eine Künstlerin erstellt mit Stahlseilen eine Kunstinstallation. Berechne die Gesamtlänge der Stahlseile a, b, c, d und e, wenn sich a, b, c und d auf halber Höhe der Strecke DH treffen. 186 In 4 m Höhe wird ein Sonnensegel, wie abgebildet, an der Hauswand befestigt. Die unteren Enden der Halteseile werden im Boden verankert und sind 3,5 m voneinander entfernt. Die Verankerungen sind 3 m von der Hauswand entfernt. i) Trage in die Zeichnung die Längenangaben ein. ii) Berechne die Längen der Halteseile x und y. H1, H2 H1, H2 a b c dK1 df dK3 dK2 c _ 2 b _ 2 a _ 2 H1, H2 Leonhard Euler (1707–1783): Schweizer Mathematiker, Physiker und Astronom Er gilt vor allem als Mathematiker, doch hat Euler unter Nutzung der Mathematik, insbesondere der analytischen Methode, auch andere wissenschaftliche Gebiete (Mechanik, Planetenbewegung, Strömungslehre, Optik u. a ) erfolgreich bearbeitet H1, H2 10 m 7 m Jonas 8 m H1, H2 3,2 m 2,6 m 3 m H G B A E F C D b a c d e H1, H2 y D Wand x einfrischen = eine Blume in Wasser stellen a a a 44 7 Anwendung des Lehrsatzes des Pythagoras bei Körpern Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Quadratische Pyramide In einer geraden quadratischen Pyramide mit der Grundkante a, der Seitenkante s und der Höhe h treten rechtwinklige Dreiecke auf. In den rechtwinkligen Dreiecken kann der Satz des Pythagoras angewendet werden, um fehlende Streckenlängen zu bestimmen. Quadratische Pyramide In einer quadratischen Pyramide mit der Grundkante a, der Seitenkante s und der Körperhöhe h gilt: ha 2 = h2 + ( a _ 2 ) 2 s2 = h a 2 + ( a _ 2 ) 2 s2 = h2 + ( d _ 2 ) 2 = h2 + ( a 9 _ 2 _ 2 ) 2 (mit d = a 9 _ 2 ) 187 Wende den Satz des Pythagoras auf das abgebildete rechtwinklige Dreieck an. a) b) c) 188 Kreuze an, ob die Aussage über die quadratishe Pyramide richtig oder falsch ist. richtig falsch h2 = a2 + h a 2 æ æ s = 9 _____ ( d _ 2 ) 2 + h2 æ æ a _ 2 = 9 ____ s2 – h a 2 æ æ ha 2 = a 2 _ 2 + h 2 æ æ a = 9 ____ s2 + s2 æ æ 189 Gegeben ist die abgebildete quadratische Pyramide. Kreuze die richtigen Aussagen an. Die Länge der Diagonale der Grundfläche ist x9 _ 2 æ Die Höhe der Seitenflächen ist mit z bezeichnet æ 9 ____ H2 + x 2 _ 4 beschreibt die Höhe der Seitenflächen æ 29 ____ z2 – H2 beschreibt die Länge der Diagonale der Grundfläche æ z2 = H2 + ( x _ 2 ) 2 æ 190 Gegeben ist die quadratische Pyramide mit Grundkantenlänge a und der Körperhöhe h. Berechne die Längen der Seitenkante s und der Seitenflächenhöhe ha. Runde auf zwei Nachkommastellen. a) a = 12 cm; h = 9 cm b) a = 31,2 cm; h = 19 cm c) a = 0,25 m; 0,8 m d) a = 1,5 m; h = 0,5 m Merke a _ 2 S D h ha s F C M a B A a _ 2 S D ha s C M a B A d _ 2 S D h s s F C a B A H3 r t s s a z x x e _ 2 H S a a H3 a d a s h ha H3 x z H y H2 45 B Der Lehrsatz des Pythagoras Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

191 Das Dach eines Kirchturms hat die Form einer quadratischen Pyramide. Die Grundkante ist k Meter lang und die Höhe des Kirchturms beträgt h Meter. Die Kanten zur Spitze des Kirchturms benötigen neue Kantenziegel. Bestimme, für wie viele Meter Ziegel bestellt werden müssen. a) k = 1,8 m; h = 5,6 m b) k = 2,4 m; h = 6 m 192 Ein Zelt hat die Form einer quadratischen Pyramide mit der Körper- höhe h und der Grundkantenlänge a. i) Berechne, wie viel m2 Zeltstoff (mit Bodenfläche) für das Zelt benötigt werden. ii) Bestimme die Länge von einem der vier Zeltstäbe. a) h = 2,2 m; a = 3,3 m b) h = 3,1 m; a = 4 m c) h = 2,9 m; a = 3,5 m 193 Ein Denkmal aus Granit hat die Form einer geraden quadratischen Pyramide mit der Gundkantenlänge a und der Seitenkantenlänge s. Berechne i) den Oberflächeninhalt des Denkmals, ii) die Höhe des Denkmals. a) a = 3,6 m, s = 4,6 m b) a = 2,4 m, s = 3,5 m c) a = 2,8 m, s = 4 m d) a = 3,6m,s = 4,7m 194 Das Dach eihnes Turms hat die Form einer quadratischen Pyramide mit der Grundkantenlänge a und der Seitenflächenhöhe ha. Berechne i) die Höhe des Turms und ii) den Inhalt der gesamten Dachfläclhe. a) a = 8 m; ha = 17 m b) a = 5 m; ha = 12,5 m c) a = 4,5 m; ha = 10 m 195 Eine Sanduhr hat die Form von zwei quadratischen Pyramiden, die an den Spitzen zusammenstoßen. Die Grundkantenlänge und die Körperhöhe jeder der Pyramiden sind a cm. Berechne den Oberflächeninhalt der Sanduhr. a) a = 3 cm b) a = 3,4 cm c) a = 4,1 cm d) a = 2,8 cm 196 Die Cheopspyramide in Ägypten ist eine quadratische Pyramide mit einer Grundkantenlänge von rund 230 m und einer Höhe von rund 139 m. a) Berechne die Seitenflächenhöhe und den gesamten Flächeninhalt der vier Seitenflächen. b) Die ursprüngliche Höhe der Pyramide betrug rund 146 m. Berechne, um wieviel Prozent sich der Flächeninhalt der vier Seitenflächen bereits verringert hat. c) Nenne Gründe für die Abnahme der Höhe der Cheopspyramide. H1, H2 Kantenziegel schützen die Bereiche, wo zwei Dachflächen zusammenstoßen H1, H2 H2 H2 ADreieck = 1 _ 2 · a · ha H1, H2 a H1, H2 46 7 Anwendung des Lehrsatzes des Pythagoras bei Körpern Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

197 Ein Behälter hat die Form einer quadratischen Pyramide mit aufgesetztem Quader. Berechne den Oberflächeninhalt des oben offenen Behälters. a) x = 50 cm b) x = 40 cm c) x = 25 cm d) x = 15 cm 198 Ein Schmuckstück aus Smaragd setzt sich aus zwei quadratischen Pyramiden zusammen. Berechne i) die Höhe einer Seitenfläche s, ii) die Kantenlänge e und iii) den Oberflächeninhalt. a) a = 1 cm; h = 1,5 cm b) a = 1,3 cm; h = 90 mm c) a = 1,3 cm; h = 1 cm 199 Ein Ziergenstand setzt sich aus einem Quader und einer quadratischen Pyramide zusammen. Berechne den Oberflächeninhalt. a) d = 18 mm; h = 5 mm; H = 25 mm b) d = 15 mm; h = 4 mm; H = 30 mm 200 Berechne den Oberflächeninhalt des abgebildeten Körpers. (Maße in cm) a) b) 201 Gegeben ist die abgebildetete quadratische Pyramide. Kreuze die richtigen Aussagen an. Sie Seitenkante hat die Länge a 9 _ 3 _ 2 æ Die Diagonale der Grundfläche ist a _ 2 æ Die Körperhöhe ist halb so lang wie die Länge der Diagonale der Grundfläche æ Die Höhe einer Seitenfläche ist a _ 2 9_ 2 æ Die Grundfläche wird von den Diagonalen in vier rechtwinklige Dreiecke geteilt æ Gecheckt? ææ Ich kann in Körpern rechtwinklige Dreiecke erkennen und den Satz des Pythagoras anwenden 202 Berechne die Längen der eingezeichneten Diagonalen. _ AC = , _ AB = 203 Die Länge der Raumdiagonale eines Würfels ist 12 cm. Bestimme die Kantenlänge a des Würfels. 204 Die Grundkante einer quadratischen Pyramide ist 2,6 cm lang, die Seitenflächenhöhe ist 8,5 cm. Bestimme die Länge der Körperhöhe der Pyramide. H1, H2 1,2 x 1,2 x 3 x x H1, H2 e h s a a H1, H2 d a h a H H2 11 13 15,5 13 13 3 2 3 3 H3 a _ 2 a a H2 A C B 16 m 10 m 20 m H2 H2 Ó Arbeitsblatt XXXXXX 47 B Der Lehrsatz des Pythagoras Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

8 Der Höhen- und der Kathetensatz ææ Ich kann den Höhen- und den Kathetensatz formulieren ææ Ich kann den Höhen- und Kathetensatz zur Berechnung fehlender Längen anwenden Höhensatz In einem rechtwinkligen Dreieck wird die Hypotenuse durch die Höhe h in zwei Hypotenusenabschnitte q und p geteilt. Wird über der Höhe h ein Quadrat eingezeichnet und über dem Hypotenusenabschnitt q ein Rechteck mit der Breite des anderen Hypotenusenabschnitts p, sind die Flächeninhalte dieser Rechtecke gleich groß, d. h. h2 = q · p Beweis: Da die rechtwinkligen Dreiecke mit den Katheten h und q bzw. h und p zueinander ähnlich sind, gilt: h : q = p : h bzw. h2 = q · p Kathetensatz Verlängert man die Höhe h eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten a und b und der Hypotenuse c, teilt die Verlängerung der Höhe das Quadrat über der Hypotenuse in zwei Rechtecke. Die Flächeninhalte dieser Rechtecke sind gleich groß wie die jeweiligen Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten. D. h. a2 = c · p bzw. b2 = c · q Beweis: Das rechtwinklige Dreieck mit den Katheten a, b und der Hypotenuse c ist ähnlich zum rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten h, q und der Hypotenuse b, d.h. b : c = q : b bzw. b2 = c · q Ebenso gilt aufgrund der Ähnlichkeit der rechtwinkligen Dreiecke: a : c = p : a bzw. a2 = c · p Höhen- und Kathetensatz In jedem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten a und b, der Hypotenuse c, der Höhe h und den Hypotenusenabschnitten q und p gilt: h2 = q · p (Höhensatz) b2 = c · q bzw a2 = c · p (Kathetensatz) a h2 h p q p · q ÓArbeitsblatt XXXXXX b b h c · q c · p q p a a c c b2 a2 Merke In der Mathematik hast du immer wieder mit „Sätzen“ zu tun, z.B. dem Satz des Pythagoras oder dem Satz von Thales. Sätze sind aber auch in der deutschen Grammatik ein wichtiger Begriff. Wo ist aber der Unterschied zwischen einem „mathematischen Satz“ und einem „normal gesprochenen Satz“? Kannst du den Unterschied herausfinden? q p h Ludwig Wittgenstein (1889–1951) Österreichischer Philosoph, Sprachphilosophie 48 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

205 Formuliere für das dargestellte rechtwinklige Dreieck den Höhensatz. a) b) c) Von einem rechtwinkligen Dreieck kennt man die Höhe h = 5 cm und den Hypotenusenabschnitt q = 2,5 cm. Berechne den Hypotenusenabschnitt p. Setze in die Forme h2 = q · p ein: 52 = 2,5 · p | : 2,5 ¥ p = 52 _ 2,5 = 10 cm 206 Berechne die Länge des anderen Hypotenusenabschnitts und gib die Länge der Hypotenuse (c = q + p) an. a) h = 6 cm, q = 4 cm b) h = 8 cm, q = 5 c) h = 10 cm, p = 10 cm d) h = 144 cm, p = 24 cm 207 Formuliere für das gegebene rechtwinklige Dreieck den Kathetensatz. a) b) c) 208 Berechne die Länge des gesuchten Bestimmungsstücks. a) a = 12 cm, p = 4 cm, c = ? b) c = 19,6 cm, p = 16,9 cm, a = ? c) b = 8 cm, c = 16 cm, q = ? d) c = 48,4 cm, q = 19,6 cm, b = ? Von einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten a, b und der der Hypotenuse c kennt man a = 28,8 cm, p = 7,2 cm. Berechne die Längen von c, q, h und b. 1. Schritt: Nach dem Kathetensatz gilt a2 = c · p ¥ c = a 2 _ p = 28,82 _ 7,2 = 115,2 cm 2. Schritt: c = q + p ¥ q = c – p = 115,2 – 7,2 = 108 cm. 3. Schritt: Nach dem Höhensatz gilt h2 = q · p ¥ h = 9___ q · p = 9 ____ 108 · 7,2 ≈ 27,89 cm 4. Schritt: Nach dem Satz des Pythagoras gilt b = 9 ____ c2 – a2 = 9 _______ 115,22 – 28,82 ≈ 111,54 cm 209 Von einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten a und b, der Hypotenuse c, den Hypotenusenabschnitten q und p sowie der Höhe h kennt man zwei der Bestimmungstücke. Berechne die Längen der übrigen Bestimmungsstücke. a) a = 6 cm, p = 2 dm b) b = 3,2 cm, q = 1,6 cm c) h = 8 cm, p = 4 cm d) h = 8,5 cm, q = 5 cm Gecheckt? ææ Ich kann den Höhen- und den Kathetensatz formulieren ææ Ich kann den Höhen- und den Kathetensatz zur Berechnung fehlender Längen anwenden 210 Berechne die Kathetenlängen a, b und die Länge der Hypotenuse c. h = 10 cm, q = 12,5 cm p = c = a = b = H3 y x z E F D c b d e a A B C y x z J I H Muster H2 H3 y x z E F D w h u j J I H c b d e a A B C H2 A B C b a c q h p β γ α Muster H2 H2 Ó Arbeitsblatt XXXXXX 49 B Der Lehrsatz des Pythagoras Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Satz des Pythagoras: Die Summe der beiden Quadrate der Kathetenlängen ist gleich dem Quadrat der Hypotenusenlänge: a2 + b2 = c2 Der Satz des Pythagoras in ebenen Figuren: Rechteck: Quadrat: d2 = a2 + b2 d2 = a2 + a2 = 2a2 Rechteck: a = 4 cm, b = 2 cm d = 9 ____ 42 + 22 ≈ 4,5 cm Quadrat: a = 3,4 cm d = 3,4 · 9 _ 2 ≈ 4,8 cm Gleichschenkliges Dreieck: ( c _ 2 ) 2 + h c 2 = a2 Gleichschenkliges Dreiecks: c = 12 cm, hc = 9 cm a = 9 _____ ( 12 _ 2 ) 2 + 92 ≈ 10,8 cm Gleichseitiges Dreieck: h2 + ( a _ 2 ) 2 = a2 Gleichseitiges Dreieck: a = 4 cm h = 9 ____ 42 – ( 4 _ 2 ) 2 ≈ 3,5cm Rechtwinkliges Dreieck: hc 2 + q2 = b2 hc 2 + p2 = a2 Rechtwinkliges Dreieck: hc = 2,7cm, q = 3,6 cm b = 9 _____ 2,72 + 3,62 = 4,5 cm Parallelogramm: x2 + h a 2 = b2 (a + x)2 + h a 2 = e2 (a – x)2 + h a 2 = f2 Parallelogramm: ha = 12 cm, b = 12,3 cm x = 9 ______ 12,32 – 122 = 2,7 cm Trapez: d2 = x2 + h2 b2 = y2 + h2 f2 = (a – x)2 + h2 e2 = (a – y)2 + h2 Trapez: d = 35 mm, h = 28 mm x = 9 _____ 352 – 282 = 21 mm Deltoid: a2 = ( f _ 2 ) 2 + x2 b2 = ( f _ 2 ) 2 + y2 Deltoid: a = 10 cm, f = 5,6 cm x = 9 ______ 102 – ( 5,6 _ 2 ) 2 = 9,6 cm Der Satz des Pythagoras in Körpern: Quader: Würfel: d1 2 = a2 + b2 d 1 = a · 9_ 2 d2 2 = a2 + c2 d = a · 9 _ 3 d3 2 = b2 + c2 d2 = a2 + b2 + c2 a = 5 cm, b = 3 cm, c = 2 cm a = 6 cm d = 9 ______ 52 + 32 + 22 ≈ 6,2 cm d = 6 9 _ 3 ≈ 10,4 cm Höhensatz: h2 = q · p Höhensatz: q = 9 cm, p = 25 cm h = 9 ___ 25 · 9 = 15 cm Kathetensatz: a2 = c · p b 2 = c · q Kathetensatz: c = 9 cm, p = 4, a = 9 __ 36 = 6 cm A d b a B D C A d a a B D C a c b a2 b2 c2 b = a C c a B A α β γ hc c _ 2 c _ 2 b = a C c = a a B A β h a _ 2 a _ 2 α γ b p q A B C c α β a a f e b A D C a B x x b ha h a A y B a c e f h h x d b D C A a b b y x a D B C f _ 2 f _ 2 A D d1 d2 d3 c b a B E H G C F A D d d1 a a a B E H G C F A B C b a c q h p β γ α 50 Zusammenfassung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

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