56 7 LINEARE FUNKTIONEN Vergleich linearer Funktionen G 7.12 Kostenfunktionen Eine Firma produziert ein chemisches Reinigungsmittel, das in der Herstellung 3 € pro Liter Flüssigkeit kostet. Die monatlichen Fixkosten betragen 3 000 €. Beim Verkauf von einem Liter dieser Flüssigkeit beträgt der Erlös von 9 €. Wie viel Liter dieser Flüssigkeit müssen verkauft werden, damit der Erlös die Kosten übersteigt? Löse grafisch mit Hilfe linearer Funktionen! Zeichne dazu die einzelnen Graphen der Erlös-, Kosten- und Gewinnfunktion ein! LÖSUNG Wir erstellen aufgrund der Angabe die Termdarstellung der Erlösfunktion E mit E (x) = 9 x und der Kostenfunktion K mit K (x) = 3000 + 3 x, wobei x für die Menge des Reinigungsmittels in Litern steht. Wir ermitteln mit GeoGebra jenen Punkt, in dem sich der Graph der Erlösfunktion und der Graph der Kostenfunktion schneiden. Die erste Koordinate dieses Punktes gibt jene Menge in Litern an, bei der der Erlös pro Liter gleich den Kosten pro Liter ist. Wir zeichnen diesen Punkt in das Koordinatensystem ein. Gestalte zur besseren Übersicht die Objekte im Grafikfenster farblich und blende das Koordinatengitter ein! Werkzeugmenü/Grafik: Wähle das Werkzeug „Schnittpunkt“ GeoGebra 5.0 – Icons Mode – Seite 4 von 6 Stand Juni 2017 Mode_expand.jpg Mode_extremum.jpg Mode_extrusion.jpg Mode_factor.jpg Mode_fitline.jpg Mode_freehandshape.jpg Mode_functioninspector.jpg Mode_hyperbola3.jpg Mode_image.jpg Mode_integral.jpg Mode_intersect.jpg Mode_intersectioncurve.jpg Mode_join.jpg Mode_keepinput.jpg Mode_linebisector.jpg Mode_locus.jpg Mode_maxcells.jpg Mode_meancells.jpg Mode_midpoint.jpg Mode_mincells.jpg Mode_mirroratcircle.jpg Mode_mirroratline.jpg Mode_mirroratplane.jpg Mode_mirroratpoint.jpg Mode_move.jpg Mode_moverotate.jpg Mode_multivarstats.jpg Mode_net.jpg Mode_nsolve.jpg Mode_numeric.jpg Mode_onevarstats.jpg Mode_orthogonal.jpg Mode_orthogonalplane.jpg Mode_orthogonalthreed.jpg Mode_parabola.jpg und klicke anschließend den Graphen der Erlösfunktion und den Graphen der Kostenfunktion an! GeoGebra zeichnet den Schnittpunkt und nennt ihn A. 1 2 3 4 Algebra: Gib die Erlösfunktion E(x) = Funktion[9x,0,•] und die Kostenfunktion K(x) = Funktion[3000 + 3x,0,•] ein! Achte darauf, dass der Startwert 0 ist und der Endwert mit • festgelegt wird, sodass der Graph der beiden Funktionen nur für nicht negative Argumente erscheint, denn für negative Argumente ergibt diese Funktion in unserem Modell keinen Sinn! (Für das Zeichen • klicke auf die Bildschirmtastatur , anschließend auf und wähle das gewünschte Zeichen aus!) 1 2 3 4 Algebra: Gib für das Zeichnen des Graphen der Gewinnfunktion G(x) = E(x) – K(x) ein! 1 2 3 4 Algebra: Lies die x-Koordinate des Punktes A ab! Es müssen also mehr als 500 Liter produziert werden, damit der Erlös die Produktionskosten übersteigt. 1 2 3 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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