Lösungswege 3, Schulbuch

Bortenschlager | Fischer | Koller | Marsik | Olf | Wittberger 3 Lösungswege Mathematik QuickMedia App für Videos

Teildruck © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2025 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Redaktion: Melanie Zimmermann, Wien Herstellung: Bianca Mannsberger, Wien Umschlaggestaltung: Petra Michel, Essen Layout: Petra Michel, Essen Illustrationen: Angelika Citak, Wipperfürth Satz: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig Druck: Ferdinand Berger & Söhne Ges.m.b.H., Horn ISBN 978-3-209-12253-7 (Lösungswege US 3 SB und E-Book) ISBN 978-3-209-12257-5 (Lösungswege US 3 SB mit E-BOOK+) ISBN 978-3-209-13062-4 (Lösungswege US 3 SB E-Book Solo) ISBN 978-3-209-13066-2 (Lösungswege US 3 SB E-BOOK+ Solo) Lösungswege Unterstufe 3 SB und E-Book Schulbuchnummer: 220993 Lösungswege Unterstufe 3 SB mit E-BOOK+ Schulbuchnummer: 220995 Lösungswege Unterstufe 3 SB E-Book Solo Schulbuchnummer 221016 Lösungswege Unterstufe 3 SB E-BOOK+ Solo Schulbuchnummer 221017 Mit Bescheid des Bundesministeriums Bildung vom 22. Mai 2025, Geschäftszahl: 2024-0.338.494, gemäß § 14 Abs. 2 und 5 des Schulunterrichtsgesetzes, BGBl. Nr. 472/86, und gemäß den derzeit geltenden Lehrplänen als für den Unterrichtsgebrauch für die 3. Klasse an Mittelschulen im Unterrichtsgegenstand Mathematik (Lehrplan 2023) und für die 3. Klasse an allgemein bildenden höheren Schulen – Unterstufe im Unterrichtsgegenstand Mathematik (Lehrplan 2023) geeignet erklärt. Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Liebe Schülerin, lieber Schüler, du bekommst dieses Schulbuch von der Republik Österreich für deine Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

 Mathias Bortenschlager Andreas Fischer Max Koller Julia Marsik Markus Olf Markus Wittberger Lösungswege Mathematik 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

A Die ganzen Zahlen.................... 6 Wiederholung und Vertiefung .. . . . . . . . . . . . . . . 7 Addieren und Subtrahieren ganzer Zahlen. . . . 12 Multiplizieren und Dividieren ganzer Zahlen .. . 18 Verbindung der vier Grundrechnungsarten in Z .. 22 Zusammenfassung .......................... 26 Selbstkontrolle.............................. 27 B Die rationalen Zahlen................. 30 Darstellen und Vergleichen von rationalenZahlen............................ 31 Addieren und Subtrahieren von rationalen Zahlen...................................... 34 Multiplizieren und Dividieren von rationalen Zahlen...................................... 38 Verbindung der vier Grundrechnungsarten in ℚ .. 40 DIGI Rechnen mit rationalen Zahlen......... 42 Zusammenfassung .......................... 44 Selbstkontrolle.............................. 45 C Potenzen .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 DiePotenzschreibweise.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Rechenregeln bei Potenzen.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Die Vorrangregeln erweitern .. . . . . . . . . . . . . . . . 54 Zehnerpotenzen und Gleitkommadarstellung .. 56 DIGI Rechnen mit Potenzen .. . . . . . . . . . . . . . . . 60 Zusammenfassung .......................... 62 Selbstkontrolle.............................. 63 D Terme................................... 66 Terme aufstellen und auswerten.. . . . . . . . . . . . . 67 Addieren und Subtrahieren von Termen.. . . . . . 70 Multiplizieren mit Termen.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 FaktorisierenvonTermen.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 BinomischeFormeln......................... 84 DIGI Rechnen mit Termen .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Zusammenfassung .......................... 92 Selbstkontrolle.............................. 93 E Gleichungen und Formeln............ 96 LösenvonGleichungen....................... 97 Textgleichungen............................. 102 Formeln..................................... 106 Zusammenfassung .......................... 110 Selbstkontrolle.............................. 111 F Vierecke und Vielecke................. 114 Flächeninhalt von Dreiecken und Vierecken – Wiederholung und Vertiefung .. . . . . . . . . . . . . . . 115 Flächeninhalte allgemeiner Vielecke.. . . . . . . . . 122 Umkehraufgaben............................ 126 RegelmäßigeVielecke........................ 130 DIGI Flächeninhalte und Excel .............. 132 Zusammenfassung .......................... 134 Selbstkontrolle.............................. 135 G Verhältnisse und Ähnlichkeit........ 138 Verhältnisse................................. 139 ÄhnlicheFiguren............................ 144 Verhältnisgleichungen....................... 150 Direkte und indirekte Proportionalität.. . . . . . . . 154 Zusammenfassung .......................... 158 Selbstkontrolle.............................. 159 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2 Inhalt Zahlen und Maße Variablen und Funktionen Figuren und Körper Daten und Zufall Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

H Rechnen mit Prozenten............... 162 Grundlagen der Prozentrechnung.. . . . . . . . . . . . 163 Vertiefung der Prozentrechnung – Änderungsfaktoren.......................... 170 Zinsesrechnung.............................. 176 Zinseszinsrechnung.......................... 182 DIGI Zinseszinsrechnung mit Excel.......... 186 Zusammenfassung .......................... 188 Selbstkontrolle.............................. 189 I Wachstums- und Abnahmeprozesse .. . 192 Lineare Wachstums- und Abnahmeprozesse.. . 193 Nicht lineare Wachstums- und Abnahmeprozesse........................... 200 DIGI Nicht lineare Wachstums- und Abnahmeprozesse mit Excel .. . . . . . . . . . . . . . . . . 204 Zusammenfassung .......................... 206 Selbstkontrolle.............................. 207 J Statistik................................. 208 StatistischeKennzahlen.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 Darstellen und Interpretieren von Häufigkeitsverteilungen.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 Manipulation mit Statistik.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 Zusammenfassung .......................... 226 Selbstkontrolle.............................. 227 K Wahrscheinlichkeitsrechnung .. . . . . . . 230 Der Wahrscheinlichkeitsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . 231 Wahrscheinlichkeit als relativer Anteil.. . . . . . . . 234 Wahrscheinlichkeit als relative Häufigkeit.. . . . 238 Zusammenfassung .......................... 244 Selbstkontrolle.............................. 245 L Prisma und Pyramide................. 248 Eigenschaften und Darstellung gerader Prismen..................................... 249 Netz und Oberfläche von Prismen.. . . . . . . . . . . . 252 VolumendesPrismas........................ 258 Eigenschaften und Darstellung von Pyramiden.................................. 264 Volumen und Masse von Pyramiden .. . . . . . . . . 268 Zusammenfassung .......................... 272 Selbstkontrolle.............................. 273 Anhang Lösungen der Selbstkontrollaufgaben . . . . . . . . 276 Sachregister................................ 286 Bildnachweis............................... 288 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 3 1. Scanne den QR-Code und lade die App auf dein Smartphone oder dein Tablet. 2. Scanne deinen Buchumschlag oder wähle dein Schulbuch in der App-Medienliste aus. 3. Scanne eine mit gekennzeichnete Buchseite oder wähle ein Audio/Video aus der App-Medienliste aus. 4. Spiele das Audio/Video ab. QuickMedia App Android iOS Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Merke Muster 4  So arbeitest Du mit Lösungswege 3 In der Volksschule hast du schon gelernt, dass man eine Addition von gleichen Summanden als Produkt anschreiben kann. Es gilt: 3 + 3 + 3 + 3 = 4 ∙ 3 Auch bei Multiplikationen mit gleichen Faktoren kann man eine Abkürzung verwenden. Man schreibt für 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 die Abkürzung 3 4 und spricht „3 hoch 4“. Die Potenzschreibweise Ein Produkt von gleichen Faktoren kann als Potenz angeschrieben werden. Es gilt: a ∙ a ∙ a ∙ ∙ ∙ a ∙ a = a n Es gilt: a 1 = a n Faktoren a) Schreibe 2 3 als Produkt an. b) Schreibe a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a als Potenz an. a) Da die Hochzahl 3 ist, werden drei Faktoren benötigt: 2 3 = 2 ∙ 2 ∙ 2 b) Da es fünf gleiche Faktoren sind, gilt: a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a = a 5 222 Schreibe die Potenz als Produkt an. a) 3 4 b) 4 3 c) 2 3 d) 5 2 e) 1 2 3 f) 1 1 3 g) a 4 h) m 2 i) b 6 223 Schreibe das Produkt gleicher Faktoren als Potenz an. a) 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = b) 2 ∙ 2 ∙ 2 = c) 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 = d) g ∙ g ∙ g ∙ g ∙ g ∙ g ∙ g ∙ g ∙ g ∙ g = e) c ∙ c ∙ c ∙ c ∙ c ∙ c ∙ c ∙ c ∙ c ∙ c ∙ c = 224 Schreibe die Potenz als Produkt an und berechne ihren Wert. a) 2 2 b) 2 3 c) 2 4 d) 2 5 e) 2 6 f) 3 3 g) 3 4 h) 4 3 i) 5 2 j) 1 3 k) 1 6 l) 6 3 225 Schreibe das Produkt mit Hilfe von Potenzen an. a) a ∙ a ∙ a ∙ b ∙ b = b) a ∙ a ∙ d = c) a ∙ b ∙ b ∙ b ∙ b = d) a ∙ a ∙ c ∙ c ∙ c ∙ c ∙ c = e) a ∙ a ∙ a ∙ b ∙ c ∙ c ∙ c ∙ c ∙ c ∙ c ∙ c = f) a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ b ∙ b ∙ b = 226 Verdopple bzw. quadriere die gegebene Zahl. a 1 23456789101112 2 ∙ a a 2 Merke Ó Arbeitsblatt f6ye3w Muster O O O Das Ergebnis einer Potenz wird als Wert der Potenz bezeichnet. O O Statt hoch 2 sagt man auch quadrieren oder zum Quadrat. 9 Die Potenzschreibweise æ Ich kenne die Potenzschreibweise und kann diese anwenden. æ Ich kann den Wert einer Potenz berechnen. Maria und Hannah unterhalten sich über eine Rechnung. Warum hat Hannah nicht recht mit ihrer Aussage? Kennst du schon eine richtige Abkürzung für Marias Rechnung? Ich muss 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 berechnen. Das ist ja leicht. Hier rechne ich 5 ∙ 2. a n Basis/Grundzahl Exponent/Hochzahl Potenz 49 Die Lernziele eines Kapitels stehen direkt unter der Überschrift. 198 200 203 202 Im Merke-Kasten, befindet sich die wichtigste Theorie, mit der die folgenden Aufgaben gut zu lösen sind. Ein Muster-Beispiel zeichnet einen möglichen Rechenweg vor, der zum Lösen der folgenden Auf- gaben genutzt werden kann. Eine WortspeicherBox gibt Auskunft darüber, warum manche Worte in der Mathematik genutzt werden oder erklärt schwierige Begriffe. Jedes Kapitel beginnt mit einer Aufgabe, die zeigt, wie die Inhalte des Kapitels mit Bereichen des täglichen Lebens in Zusammenhang stehen. Der Code bei diesem Symbol führt zu zusätzlichen Materialien ins Digitale Zusatzmaterial. Ó pk6ht7 Die Kästchen neben den Aufgabennummern geben an, wie schwer die Aufgabe ist. Ein Kästchen bedeutet leicht, zwei Kästchen bedeuten mittel und drei Kästchen bedeuten schwer. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

] Die History-Box bzw. eine derart formatierte Aufgabe geben Einblicke in die Geschichte der Mathematik. 5 173 Berechne und kürze so weit wie möglich. a) 2 – 1 3 _ 5 3 : 2 + 2 7 _ 10 3 = b) 2 – 4 3 _ 8 3 : 2 – 3 3 _ 4 3 = c) 2 + 1 3 _ 7 3 : 2 – 2 1 _ 14 3 = d) 2 – 1 2 _ 6 3 : 2 + 1 3 _ 4 3 = 174 Suche zu jeder Rechnung das passende Ergebnis. Es gibt auch zwei falsche Ergebnisse. (– 2,3) ∙ (+ 3,4) = (+ 5,3) ∙ (– 2,1) = (– 4,2) ∙ (– 3,05) = (– 4,5) ∙ (+ 0,2) = (– 3,2) ∙ (– 6,5) = (+ 2,6) ∙ (+ 1,3) = – 1,13 – 0,9 – 11,13 + 20,8 + 12,81 – 7,82 + 2,18 + 3,38 175 Berechne. a) (– 5,6) : (+ 2,8) = b) (– 4,2) : (– 1,4) = c) (+ 28,8) : (– 7,2) = d) (– 35,8) : (+ 0,01) = e) (– 7,2) : (+ 3,2) = f) (– 13,2) : (+ 3,2) = 176 Kreuze an, ob die Aussagen richtig oder falsch sind. Aussage richtig falsch 2 – 3 _ 4 3 · 2 – 4 _ 3 3 = + 1 æ æ 2 – 1 _ 2 3 · 2 – 1 _ 2 3 · 2 – 1 _ 2 3 · 2 – 1 _ 2 3 · 2 – 1 _ 2 3 > 2 – 1 _ 2 3 · 2 – 1 _ 2 3 · 2 – 1 _ 2 3 · 2 – 1 _ 2 3 · 2 – 1 _ 2 3 · 2 – 1 _ 2 3 æ æ 2 – 1 _ 2 3 : 2 – 3 _ 4 3 > 2 – 4 _ 3 3 · 2 – 1 _ 2 3 æ æ 2 – 3 _ 4 3 : 2 – 1 _ 2 3 = – 0,75 ∙ (– 2) æ æ 177 Berechne die Doppelbrüche. a) – 2 _ 3 _ + 3 _ 4 = b) – 3 _ 5 _ – 6 _ 10 = c) – 3 _ 4 _ + 6 _ 12 = d) + 3 _ 5 _ – 4 _ 10 = e) – 4 _ 6 _ + 6 _ 8 = 178 Max hat einen Trick für das Rechnen mit Doppelbrüchen gelernt. i) Erkläre den Trick von Max. Was versteht man unter den Außengliedern bzw. den Innengliedern? ii) Wende den Trick von Max bei diesen beiden Aufgaben an. – 3 _ 4 _ + 8 _ 10 = – 5 _ 7 _ – 10 _ 7 = iii) Erkläre, warum der Trick von Max funktioniert. 179 Bei welcher Aufgabe erhält man das größere Ergebnis? Wenn man eine Zahl, die größer als 1 ist, mit sich selbst multipliziert oder wenn man sie mit ihrem Kehrwert multipliziert. Begründe deine Entscheidung. Gecheckt? æ Ich kann rationale Zahlen multiplizieren und dividieren. 180 Berechne das Ergebnis. a) 2 – 5 _ 6 3 ∙ 2 + 12 _ 15 3 = b) 2 – 11 _ 12 3 ∙ 2 – 24 _ 33 3 = c) 2 + 3 _ 8 3 ∙ 2 – 24 _ 9 3 = 181 Berechne das Ergebnis. a) 2 – 2 2 _ 3 3 : 2 – 4 5 _ 9 3 = b) 2 + 2 7 _ 8 3 : 2 – 1 1 _ 4 3 = O DI O Ist der Divisor eine Dezimalzahl, dann musst du das Komma nach rechts verschieben: – 3,2 : (+ 1,6) = – 32 : (+ 16) = – 2 DI O Schreibe den Doppelbruch als Division an: – 2 _ 3 _ + 3 _ 4 = 2 – 2 _ 3 3 : 2 + 3 _ 4 3 M, O, V Ich muss die Außenglieder und die Innenglieder multiplizieren: – 3 _ 5 _ + 1 _ 2 = – 3 ∙ 2 _ 1 ∙ 5 = – 6 _ 5 = – 1 1 _ 5 M, V Ó durchgerechnete Lösungen hu74r8 O O Ó Arbeitsblatt hu7e4u  Entrepreneurship Education 39 B Die rationalen Zahlen Eine Check-it-Box gibt nützliche Tipps, um die Aufgabe zu lösen. Dieses Würfel-­ Symbol zeigt, dass die Aufgabe ein Rätsel ist. 198 200 203 202 232 Eine grün markierte Aufgabennummer bedeutet, dass die Aufgabe dabei hilft, die Sprache der Mathematik zu erlernen. Prozesse des Kompetenzmodells – M Modellieren und Problemlösen – O Operieren (Rechnen und Konstruieren) – DI Darstellen und Interpretieren – V Vermuten und Begründen Der Gecheckt?-Bereich ist der Abschluss eines Kapitels. Hier kann man überprüfen, ob die Inhalte des Kapitels verstanden wurden. Sternchen verweisen auf die Übergreifende Kompetenz der Aufgabe. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

A Die ganzen Zahlen In Lösungswege 2 hast du dich bereits mit den ganzen Zahlen beschäftigt. Dabei wurden folgende Inhalte behandelt: • Positive und negative ganze Zahlen • Ordnen ganzer Zahlen • Die Zahlengerade • Addieren einer natürlichen Zahl zu einer ganzen Zahl • Subtrahieren einer natürlichen Zahl von einer ganzen Zahl Mit diesem Wissen konntest du auch nebenstehenden (nicht ernst gemeintes) mathematisches Rätsel lösen. Reden wir darüber … Was weißt du noch über negative Zahlen? Wo treten diese im Alltag auf? Welche Gründe könnte es für die Einführung der negativen Zahlen geben? Was ist der Unterschied zwischen einem Rechen- und einem Vorzeichen? Welche Zahl ist größer – 20 oder – 9? ÓSprachaufgabe hb4r4x Ich habe ein super Rätsel für dich. Wenn in einem Raum drei Leute sind und fünf gehen hinaus, wie viele müssen dann wieder reingehen, damit keiner drinnen ist? ??? In der dritten Klasse wirst du dein Wissen über ganze Zahlen erweitern. Du wirst Rechnungen lösen, bei denen Rechen- und Vorzeichen direkt nebeneinanderstehen. Betrachte die Rechnungen auf der links stehenden Tafel. Welche Rechnungen davon kannst du schon lösen? Kreise alle neuen Rechnungen ein. Welche Rechnungen sind neu? Man kam lange Zeit ohne negative Zahlen aus und verwendete die Begriffe Schulden und Guthaben. Auch berühmte Mathematiker wie René Descartes (1591 bis 1650) und Blaise Pascal (1623 bis 1662) waren sich nicht sicher, ob die ganzen Zahlen existieren. Die ganzen Zahlen wurden erst im 19. Jahrhundert anerkannt. – 8 – 4 = –12+30= (–14) – (–8) = (− 12) · (− 3) = (− 12) · (+ 3) = ÓLesetext hb276h 6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

1 Wiederholung und Vertiefung In der Abbildung siehst du viele Wörter, die du schon in der zweiten Klasse gelernt hast. Wiederhole die angegebenen Begriffe. Was weißt du noch über die einzelnen Themen? ææ Ich kenne die beiden Vorzeichen (+, –) und kann diese anwenden. ææ Ich kenne die Menge der ganzen Zahlen und ihre Eigenschaften. ææ Ich kann ganze Zahlen auf der Zahlengeraden darstellen und vergleichen. ææ Ich kann den Betrag und die Gegenzahl einer ganzen Zahl angeben. Im Folgenden werden die Inhalte der zweiten Klasse wiederholt und gefestigt. Die ganzen Zahlen Erweitert man die natürlichen Zahlen 0, 1, 2, 3, 4 um die negativen ganzen Zahlen – 1, – 2, – 3, – 4, …, erhält man die ganzen Zahlen. Die Menge der ganzen Zahlen wird mit Z abgekürzt. Man schreibt: Z = {…, – 4, – 3, – 2, – 1,0,+1,+2,+3,…} Um die ganzen Zahlen darzustellen, wird der Zahlenstrahl zu einer Zahlengerade erweitert. Null gehört somit zu den ganzen Zahlen, aber nicht zu den negativen ganzen Zahlen und positiven ganzen Zahlen. Die Vorzeichen + und – geben an, ob eine Zahl größer oder kleiner als 0 ist. 1 Lies die Temperatur vom Thermometer ab. Bestimme das Vorzeichen der Zahl. a) b) c) d) 2 Schreibe die Zahl mit dem passenden Vorzeichen an. a) ein Guthaben von 70 € b) Schulden von 20 € c) 40 m unter dem Meeresspiegel d) 7. Untergeschoss e) 13 °C über 0 °C f) 14 °C unter 0 °C 3 Gib an, ob das Minus (–) oder das Plus (+) ein Vor- oder ein Rechenzeichen ist. a) 8 – 5 b) + 5 + 5 c) – 8 d) + 20 e) – 4 – 12 f) – 8 + 3 g) – 20 – 24 h) – 35 Merke Ó Erklärvideo hb9t3m –4–3–2–1 0 +1 negative ganze Zahlen Null positive ganze Zahlen +2 +3 +4 +5 1 0 2 3 4 5 6 natürliche Zahlen 7 O Ó Arbeitsblatt hb9z7g ° C + 20 + 15 + 10 + 5 0 – 5 – 10 – 15 ° C + 20 + 15 + 10 + 5 0 – 5 – 10 – 15 ° C + 15 + 10 + 5 0 – 5 – 10 – 15 – 20 ° C + 20 + 15 + 10 + 5 0 – 5 – 10 – 15 O Das Minus (–) und das Plus (+) haben zwei Funktionen: — als Rechenzeichen: z.B. 4 + 8 oder 12 – 6 — als Vorzeichen: z.B. – 4, – 8 DI Vorzeichen Rechenzeichen Zahlengerade Ganze Zahlen natürliche Zahlen 7 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

4 Mariella fährt gerne mit dem Aufzug. Sie befindet sich gerade im Stockwerk 3. Ergänze die fehlenden Zahlen oder Wörter: Sie fährt fünf Stockwerke hinunter und ist dann im Stockwerk . Anschließend fährt sie drei Stockwerke hinauf und ist nun im Stockwerk . Nachdem sie wieder acht Stockwerke hinauffährt, ist sie im . Stock. Am Ende fährt sie Stockwerke hinunter und steigt im Erdgeschoss (Stockwerk 0) aus. 5 Gib jeweils die neue Temperatur an. a) b) c) 6 Gegeben sind mehrere Orte und ihre tiefsten Punkte. Bei einigen Ländern der Erde liegen Orte unter dem Meeresspiegel. Formuliere für die gegebenen Orte Sätze wie: Eine Meereshöhe von – 45 m bedeutet, dass der tiefste Punkt des Ortes 45 m unter dem Meeresspiegel liegt. a) Totes Meer (Jordanien): – 428 m b) Assalsee (Dschibuti): –155 m c) Badwater Basin (USA): – 85 m d) Apetlon (Österreich): +114 m e) Nieuwerkerk aan den IJssel (Niederlande): –7m 7 Auf den beiden Kontoauszügen befinden sich Gutschriften und Lastschriften. Unter den Lastschriften versteht man jene Beträge, die vom Konto abgebucht werden. Kreuze die richtigen Aussagen an. Aussage Beide Konten haben einen Überziehungsrahmen. æ Das erste Konto besitzt vor den Abbuchungen ein Guthaben. æ Das zweite Konto besitzt nach den Abbuchungen ein Guthaben. æ Beim zweiten Konto müsste man 3 108 € abheben, damit der Kontostand 0 € beträgt. æ Beim ersten Konto müsste man 660 € einzahlen, damit der Kontostand 0 € beträgt. æ DI O Es wird um 3 °C kälter. Temperatur Es wird um 3 °C wärmer. – 3 °C – 2 °C – 1 °C 0 °C 1 °C 2 °C 3 °C Es wird um 4 °C kälter. Temperatur Es wird um 4 °C wärmer. – 3 °C – 2 °C – 1 °C 0 °C 1 °C 2 °C 3 °C Es wird um 5 °C kälter. Temperatur Es wird um 5 °C wärmer. – 3 °C – 2 °C – 1 °C 0 °C 1 °C 2 °C 3 °C DI DI Eine Bank gewährt manchmal einen Überziehungsrahmen. Dies ist der maximale Betrag, den das Konto im Minus sein darf. Dafür werden auch Zinsen verrechnet. Musterbank Kontoauszug 1 alter Kontostand 3 427 € Gutschriften 738 € Lastschriften – 4 825 € neuer Kontostand – 660 € Musterbank Kontoauszug 2 alter Kontostand 2 815 € Gutschriften 425 € Lastschriften – 6 348 € neuer Kontostand – 3 108 €  Wirtschaft-, Finanz- und Verbraucher/innenbildung 8 1 Wiederholung und Vertiefung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

8 Auf der Zahlengeraden sind einige Zahlen markiert. Fülle die Lücken. Gib auch den Strichabstand und die Schrittweite an. a) Strichabstand: Schrittweite: b) Strichabstand: Schrittweite: c) Strichabstand: Schrittweite: d) Strichabstand: Schrittweite: 9 Gib die auf der Zahlengeraden markierten Zahlen sowie den Strichabstand und die Schrittweite an. a) b) c) d) 10 Zeichne eine Zahlengerade und markiere die angegebenen Zahlen. Wähle einen passenden Strichabstand und eine passende Schrittweite. a) – 8; + 2; + 1; – 4; – 3 b) – 10; – 30; + 20; – 40; + 50 c) – 300; + 200; – 500; + 100; + 400 d) – 50; – 100; + 150; – 250 e) – 16; + 8; – 24; – 32; + 24 f) – 4; – 16; – 8; – 28; + 12 11 Setze das richtige Zeichen <, > oder = ein. a) – 20 4 b) – 8 – 14 c) – 23 5 d) – 18 – 55 e) 5 – 3 f) – 4 – 1 g) – 104 – 33 h) 77 – 77 i) – 18 – 10 j) – 10 – 32 k) 4 – 5 l) – 2 – 7 12 Ordne die Zahlen mithilfe einer fallenden Ungleichungskette. a) – 95, + 32, – 188, – 186, – 189, 189, 0, – 34 b) – 7 088, + 312, – 1 388, – 1 386, – 57, – 189, + 128 c) – 78, – 79, – 83, – 85, + 85, – 22, – 128, – 355 c) – 13, + 77, – 77, – 11, – 20, – 12 13 Auf der Zahlengeraden sind die Zahlen a, b, c und d eingetragen. i) Welcher dieser Zahlen ist die kleinste Zahl? Begründe deine Entscheidung. ii) Welche dieser Zahlen haben ein positives Vorzeichen? Welche Zahlen haben ein negatives Vorzeichen? iii) Sortiere die Zahlen mit Hilfe einer steigenden Ungleichungskette. a) b) DI Der Strichabstand ist der Abstand zwischen den Strichen (z. B. 1 cm). Die Schrittweite gibt an, um wie viel pro Schritt weitergezahlt wird. –3 0 +1 0 +2 0 +2 –6 0 +40 –20 DI –60 0 A B C D 200 0 A B C D –21 –33 A B C D –12 –52 A B C D DI Je weiter links die Zahlen liegen, desto kleiner sind die Zahlen. DI DI V, DI 0 b d c a 0 d b a c  Sprachliche Bildung und Lesen 9 A Die ganzen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

14 Kreuze die Lücken so an, dass eine richtige Aussage entsteht. Die Zahl  ist kleiner als – 25, weil sie auf der Zahlengeraden weiter  steht.   – 20 æ links æ – 26 æ rechts æ – 24 æ oben æ 15 Gib den Vorgänger und den Nachfolger der ganzen Zahl an. a) – 4 b) – 32 c) 38 d) 0 e) – 77 f) – 132 g) – 1 099 h) – 1 239 i) – 899 16 Bestimme die gesuchte ganze Zahl. a) Ich bin die größte negative zweistellige Zahl. b) Ich bin die kleinste positive dreistellige Zahl. c) Ich bin die kleinste positive ganze Zahl. d) Ich bin die größte negative vierstellige Zahl. e) Ich bin die kleinste negative zweistellige Zahl. f) Ich bin die kleinste natürliche Zahl. 17 Die folgenden drei Aussagen über ganze Zahlen sind falsch. Begründe, warum sie falsch sind, und stelle sie richtig. a) Die ganzen Zahlen bestehen aus den positiven und negativen ganzen Zahlen. b) Die kleinste negative ganze Zahl ist –1. c) Jede ganze Zahl ist auch eine natürliche Zahl. Betrag und Gegenzahl einer ganzen Zahl Zwei Zahlen, die sich nur durch das Vorzeichen voneinander unterscheiden, nennt man Gegenzahlen. Beispiel: Die Gegenzahl von 4 ist – 4. Die Gegenzahl von – 4 ist + 4. Den Abstand einer Zahl a zu 0 nennt man Betrag dieser Zahl. Man schreibt: |a| z.B. |– 4| = 4 oder |4| = 4 18 Gib den Betrag und die Gegenzahl der angegebenen Zahl an. a) – 7 b) + 3 c) – 14 d) – 39 e) + 18 f) – 48 g) – 3 h) – 45 i) – 18 j) 33 k) – 47 19 Vervollständige die Tabelle. Gegenzahl + 9 + 18 – 8 Zahl – 5 – 12 – 5 + 3 Betrag der Zahl 3 6 20 Setze das Zeichen <, > oder =. a) – 4 |– 12| b) |– 4| |– 2| c) 17 |+ 28| d) |+ 32| |– 32| e) – 97 |– 98| f) – 4 |– 4| g) |– 12| |– 3| h) – 24 |– 18| i) |– 15| |– 11| j) 22 |– 21| k) – 7 |– 1| l) |– 2| |– 5| m) – 17 |– 28| n) – 4 |– 18| o) 12 |– 33| DI O, DI V V Merke Ó Erklärvideo hc49tv –4–3–2–1 0 1 2 3 4 Gegenzahl von –4 ist +4, |–4| = |+4| = 4 O, DI DI DI  Sprachliche Bildung und Lesen 10 1 Wiederholung und Vertiefung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

21 Herr Huber hat einen Kontostand von – 400 €, Herr Halmer hat einen Kontostand von –1 200 €. i) Welche der beiden Zahlen ist größer – 400 oder –1 200? Begründe deine Entscheidung. ii) Herr Huber meint: „Herr Halmer hat mehr Schulden als ich. Ich habe mehr Geld auf dem Konto.“ Was ist deine Meinung zu seiner Behauptung? 22 Ordne die Zahlen mit einer fallenden Ungleichungskette. a) – 47, + 32, |– 16|, – 89, |+ 107|, – 25 b) |– 38|, |+ 47|, |– 22|, |+ 43|, |– 88|, |+ 18| 23 Gib alle ganzen Zahlen an, für die die Aussage richtig ist. a) |a| < 3 b) |b| = 3 c) |c| < 1 d) |d| < 4 e) |e| < 5 24 Anton, Antonia und Luzino unterhalten sich über die Begriffe Gegenzahl und Betrag. Haben die Jugendlichen recht? Begründe deine Entscheidung. 25 Kreuze an, ob die Aussage richtig oder falsch ist. Aussage richtig falsch Eine ganze Zahl und ihre Gegenzahl sind immer gleich weit von Null entfernt. æ æ Eine Zahl und ihre Gegenzahl sind immer verschieden. æ æ Der Abstand einer Zahl zu ihrer Gegenzahl ist immer doppelt so groß wie der Betrag der Zahl. æ æ Der Betrag von einer negativen Zahl ist negativ. æ æ Die Gegenzahl der Gegenzahl einer Zahl ist wieder die Zahl selbst. æ æ 26 Das Minuszeichen hat in der Mathematik verschiedene Bedeutungen. Erkläre diese Bedeutungen. Verwende dabei die Begriffe Rechenzeichen, Vorzeichen und Gegenzahl. Gecheckt? ææ Ich kenne die beiden Vorzeichen (+, –) und kann diese anwenden. ææ Ich kenne die Menge der ganzen Zahlen und kann diese erklären. 27 Erkläre, was man unter den ganzen Zahlen versteht, und gib Beispiele für negative und positive ganze Zahlen im Alltag an. ææ Ich kann ganze Zahlen auf der Zahlengeraden darstellen und vergleichen. 28 Zeichne die Zahlen auf einer Zahlengeraden ein und ordne sie mit einer steigenden Ungleichungskette: – 2, + 4, – 3, + 3, – 6 ææ Ich kann den Betrag und die Gegenzahl einer ganzen Zahl angeben. 29 Bestimme den Betrag und die Gegenzahl der angegebenen Zahl. a) – 8 b) + 19 V, DI O, DI DI V Der Betrag jeder Zahl ist positiv. Die Gegenzahl einer negativen Zahl ist immer gleich dem Betrag dieser Zahl. Eine Zahl und ihre Gegenzahl haben immer den gleichen Betrag. Anton Antonia Luzino DI V, DI Ó durchgerechnete Lösungen hc6v2b V DI O Ó Arbeitsblatt hc84fy  Sprachliche Bildung und Lesen 11 A Die ganzen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

ææ Ich kann ganze Zahlen addieren und subtrahieren. Addieren einer natürlichen Zahl zu einer ganzen Zahl bzw. Subtrahieren einer natürlichen Zahl von einer ganzen Zahl – Wiederholung Frau Krater hat einen Kontostand von – 100 € und zahlt 200 € ein. Wie lautet ihr neuer Kontostand? Frau Krater hat einen Kontostand von 100 € und hebt 200 € ab. Wie lautet ihr neuer Kontostand? 0 – 100 200 + 200 100 0 – 100 200 – 200 100 Rechnung: – 100 + 200 = + 100 Der neue Kontostand lautet 100 €. Rechnung: + 100 – 200 = – 100 Der neue Kontostand lautet – 100 €. 30 Gegeben ist ein Kontostand und eine Information, ob Geld abgehoben oder einbezahlt wird. i) Schreibe den Text als Rechnung an und berechne. ii) Stelle die Rechnung auf einer Zahlengeraden dar. a) Kontostand: 400 € Abhebung: 600 € b) Kontostand: + 700 € Abhebung: 1 000 € c) Kontostand: + 90 € Abhebung: 150 € d) Kontostand: – 200 € Einzahlung: 500 € e) Kontostand: – 300 € Einzahlung: 800 € f) Kontostand: – 2 000 € Einzahlung: 5 000 € 31 Auf der Zahlengeraden ist eine Rechnung dargestellt. Schreibe diese Rechnung mit dem Ergebnis an. a) b) c) d) 32 Kreuze die richtige Aussage an. Wenn es – 3 °C hat und es 6 °C wärmer wurde, zeigt das Thermometer dann + 3 °C. æ Wenn es – 4 °C hat und es 3 °C kälter wurde, zeigt das Thermometer – 1 °C. æ Wenn es 1 °C hat und es 3 °C kälter wurde, zeigt das Thermometer – 3 °C. æ ÓErklärvideo hc8d8k DI DI 0 – 100 – 200 100 200 300 + 400 0 – 100 – 150 50 100 150 0 – 1 – 2 + 1 + 2 + 3 0 – 500 – 1 000 500 1 000 1 500 DI 2 Addieren und Subtrahieren ganzer Zahlen Lies den rechts stehenden Dialog durch. Wie viel Schulden hat Marco nach seinem Geburtstag noch bei Maria? Wie kann man das in einer Rechnung anschreiben? Ich habe bei dir 40 Euro Schulden. Du hast heute Geburtstag. Du musst mir 30 Euro von deinen Schulden nicht zurückzahlen.  Wirtschaft-, Finanz- und Verbraucher/innenbildung 12 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

33 Berechne das Ergebnis. a) – 8 – 12 = b) – 3 – 15 = c) – 3 + 12 = d) – 2 – 21 = e) –1+8= f) – 3 + 22 = g) –1–18= h) + 5 – 23 = i) + 9 – 27 = j) + 6 – 35 = k) +1–14= l) – 3 – 65 = m) +12 – 38 = n) – 3 – 27 = o) +16 – 22 = p) – 20 – 30= q) + 6 – 25 = r) – 8 – 19 = s) +12 – 24 = t) –7 – 7= 34 Berechne die Ergebnisse und vergleiche sie. a) – 20 – 50 = b) – 30 – 30 = c) –15 – 20 = d) – 40 – 60 = – 20 + 50 = – 30 + 30 = –15 + 20 = – 40 + 60 = + 20 – 50 = + 30 – 30 = +15 – 20 = + 40 – 60 = + 20 + 50 = + 30 + 30 = +15 + 20 = + 40 + 60 = 35 i) Gib an, ob das Ergebnis der Rechnung positiv oder negativ ist. ii) Gib an, ob du bei der Nebenrechnung addieren oder subtrahieren musst. iii) Berechne das Ergebnis. a) – 578 – 432 = b) – 684 + 578 = c) + 379 – 507 = d) – 477 + 653 = e) – 394 + 891 = f) + 392 – 707 = g) + 408 – 899 = h) + 365 – 741 = i) – 678 – 372 = j) – 805 + 362 = k) – 214 + 732 = l) + 601 – 987 = m) – 204 + 187 = n) – 845 – 488 = o) – 413 – 809 = 36 Ordne jeder Rechnung das passende Ergebnis zu. a) b) 37 Kreuze die Lücken so an, dass eine richtige Aussage entsteht. Das Ergebnis der Rechnung  ist  a) b) O O, DI O, DI, V Hier kannst du addieren: – 18 – 34 = – (18 + 34) = – 52 Hier kannst du subtrahieren: – 35 + 29 = – (35 – 29) = – 6 O – 34 – 68 = A + 34 – 34 + 68 = B + 102 34 – 68 = C – 98 34 + 68 = D – 102 E + 98 F – 34 – 314 – 501 = A + 187 – 314 + 501 = B – 824 – 288 + 321 = C + 33 – 288 – 321 = D + 815 E – 609 F – 815 DI   –728 + 305 æ – 146 æ – 428 – 301 æ – 1 033 æ – 77 + 69 æ – 423 æ   – 85 + 49 æ + 20 æ – 33 – 67 æ – 134 æ – 18 + 38 æ – 34 æ 13 A Die ganzen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Addieren und Subtrahieren ganzer Zahlen Da ganze Zahlen Vorzeichen besitzen, treffen beim Rechnen mit ganzen Zahlen Vor- und Rechenzeichen aufeinander. Dies wird mit Klammern gelöst: z.B. (– 3) – (+ 4) = Um Rechnungen dieser Art zu lösen, bietet sich eine Kurzform an. Um diesen Zusammenhang zu zeigen werden Gutscheine und Schuldscheine verwendet. Addieren einer positiven ganzen Zahl Addieren einer negativen ganzen Zahl (– 40) + (+ 20) = (– 40) + (– 20) = vorher: –20 € –20 € –20 € –20 € +20 € nachher: vorher: –40 € –40 € –20 € nachher: Tom hat 40 € Schulden und gibt 20 € Guthaben dazu. Daher hat er nachher weniger Schulden. Es gilt daher: (– 40) + (+ 20) = – 40 + 20 = – 20 Jemand hat 40 € Schulden und bekommt noch 20 € Schulden dazu. Er hat danach 60 € Schulden. Es gilt daher: (– 40) + (– 20) = – 40 – 20 = – 60 Kommt Guthaben dazu, wird das Ergebnis größer. Kommen Schulden dazu, wird das Ergebnis kleiner. Die verkürzte Schreibweise nennt man auch Kurzform. Bei dieser darf man die Klammern weglassen. Steht ein Vorzeichen vor der ersten Zahl ist eine Klammer nicht notwendig. Schreibweisen wie – 3 – – 9 = oder – 3 + + 8 = sind nicht erlaubt. Addieren ganzer Zahlen Addiert man ganze Zahlen, kann die Kurzform verwendet werden. Es gilt: a + (+ b) = a + b kurz: aus + (+) wird + a + (– b) = a – b kurz: aus + (–) wird – Bringe die Rechnung in die Kurzform und berechne. a) (– 8) + (+ 4) = b) (– 2) + (– 8) = a) (– 8) + (+4) = – 8 + 4 = – 4 b) (–2) + (–8) = –2 – 8 = –10 38 Bringe die Rechnung in die Kurzform und berechne das Ergebnis. a) (– 8) + (+ 9) = = b) (– 8) + (– 3) = = c) (– 12) + (+ 4) = = d) (+ 8) + (– 5) = = e) (–7) + (+3) = = f) (+ 8) + (+ 3) = = g) (– 13) + (– 7) = = h) (–6) + (–7) = = 39 Schreibe die Rechnung in der Kurzform an und berechne das Ergebnis. + + 7 – 4 – 8 + 12 – 3 + 6 – 9 – 12 – 16 Merke Ó Erklärvideo hd52it Muster } Kurzform } Kurzform O, DI O, DI 14 2 Addieren und Subtrahieren ganzer Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

40 Ordne jeder Rechnung das passende Ergebnis zu. a) b) 41 Bringe die Rechnung in die Kurzform und berechne das Ergebnis. a) (– 4 319) + (– 5 824) = b) (– 2 501) + (+ 3 409) = c) (+ 823) + (–1 079) = d) (– 8 219) + (– 1 304) = e) (– 538) + (+ 2 417) = f) (+ 8 799) + (– 9 099) = g) (– 5 319) + (– 2 894) = h) (– 2 983) + (+ 1 098) = i) (+ 8 923) + (– 5 999) = Subtrahieren einer positiven ganzen Zahl Subtrahieren einer negativen ganzen Zahl (+ 40) – (+ 20) = (+ 40) – (– 20) = vorher: 20 € +20 € +20 € nachher: vorher: 60 € –20 € +60 € nachher: Tom hat insgesamt 40 € Guthaben und hebt 20 € Guthaben ab. Danach hat er weniger Geld. Es gilt daher: (+ 40) – (+ 20) = 40 – 20 = 20 Tom hat 60 € Guthaben und 20 € Schulden. Daher hat er insgesamt 40 € Guthaben. Dann werden ihm 20 € Schulden erlassen. Danach hat er ein größeres Guthaben. Es gilt daher: (+ 40) – (– 20) = 40 + 20 = 60 Kommt ein Guthaben weg, dann wird das Ergebnis kleiner. Kommen Schulden weg, dann wird das Ergebnis größer. Subtrahieren ganzer Zahlen Subtrahiert man ganze Zahlen, kann die Kurzform verwendet werden. Es gilt: a – (+ b) = a – b kurz: aus – (+) wird – a – (– b) = a + b kurz: aus – (–) wird + Bringe die Rechnung in die Kurzform und berechne. a) (– 8) – (+ 4) = b) (– 2) – (– 8) = a) (–8) – (+4) = –8 – 4 = –12 b) (– 2) – (– 8) = – 2 + 8 = + 6 42 Bringe die Rechnung in die Kurzform und berechne das Ergebnis. a) (– 8) – (+ 9) = = b) (– 8) – (– 3) = = c) (– 12) – (+ 4) = = d) (+ 8) – (– 5) = = e) (–7) – (+3) = = f) (+ 8) – (+ 3) = = g) (– 13) – (– 7) = = h) (–6) – (–7) = = i) (– 3) – (– 8) = = j) (+ 4) – (+ 8) = = k) (– 5) – (– 11) = = l) (+ 3) – (+ 17) = = O, DI (– 47) + (– 23) = A + 70 (– 47) + (+ 23) = B – 24 (+ 47) + (– 23) = C + 60 (+ 47) + (+ 23) = D – 60 E – 70 F + 24 (– 413) + (– 217) = A – 630 (– 413) + (+ 217) = B – 1 071 (– 867) + (– 204) = C + 289 (+ 128) + (– 417) = D – 663 E – 289 F – 196 O Merke Ó Erklärvideo he9vi3 Muster } Kurzform } Kurzform O, DI Ó Arbeitsblatt f357yx 15 A Die ganzen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

43 Schreibe die Rechnung in der Kurzform an und berechne das Ergebnis. – + 3 – 8 – 12 + 14 – 3 + 4 – 9 – 12 44 Ordne jeder Rechnung das passende Ergebnis zu. a) b) 45 Bringe die Rechnung in die Kurzform und berechne das Ergebnis. a) (– 4 521) – (– 5 769) = b) (– 2 501) – (+ 3 409) = c) (– 899) – (–1 989) = d) (– 8 979) – (– 4 304) = e) (– 598) – (+ 2 417) = f) (+ 8 699) – (– 9 794) = g) (– 5 719) – (– 3 694) = h) (– 2 683) – (+ 1 498) = i) (+ 6 923) – (+ 8 989) = j) (– 4 398) – (– 4 399) = k) (+ 8 312) – (+ 9 898) = l) (– 2 314) – (– 6 825) = 46 Setze das Rechenzeichen + oder – so ein, dass das Ergebnis möglichst groß wird. a) (–19) … (– 34) = … b) (–19) … (+ 34) = … c) (+ 25) … (+ 34) = … 47 ] Bei der Rechnung ist ein Teil verloren gegangen. Ersetze die passende ganze Zahl. a) (– 8) + = – 34 b) (– 7) – = 18 c) (+ 12) + = – 1 d) (+ 13) – = + 39 48 Bringe die Rechnung zuerst auf die Kurzform und berechne anschließend. a) (– 12) + (– 9) – (– 12) – (+ 24) = b) (– 58) – (–13) + (– 24) – (–15) + (–18) = c) (+5) + (+13) + (–16) – (–8) + (–18) = d) (–1) + (–2) + (–3) + (+4) = e) (+ 23) – (+ 14) + (– 15) – (+ 17) + (– 23) = f) (–6) + (–19) + (–13) + (–7) + (–22) = g) (– 23) – (– 24) + (–15) – (+ 28) – (– 54) = h) (–8) – (+15) + (–23) – (+24) + (–36) = 49 Bei der Rechnung ist ein Fehler passiert. Finde diesen, stelle die Rechnung richtig und begründe. a) (– 12) – (+ 23) + (– 38) – (– 14) = b) (–1) – (+2) + (–3) – (–1) = =–12–23–38–14= =–1–2–3+1= = – 87 = – 7 c) (– 300) – (+ 203) + (– 25) – (– 38) = =–300–203–25+38= = – 566 O, DI O, DI (– 47) – (– 23) = A – 70 (– 47) – (+ 23) = B + 60 (+ 47) – (– 23) = C – 24 (+ 47) – (+ 23) = D + 24 E – 60 F + 70 (– 413) – (– 217) = A – 663 (– 413) – (+ 217) = B + 663 (– 867) – (– 204) = C – 196 (+ 128) – (– 417) = D + 545 E – 545 F – 630 O DI O, DI O, DI DI, V  Entrepreneurship Education 16 2 Addieren und Subtrahieren ganzer Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

50 Die drei Jugendlichen stellen Behauptungen über das Rechnen mit ganzen Zahlen auf. Nur eine Person hat recht. Erkläre den beiden anderen, was sie übersehen haben. 51 In der Tabelle sind für verschiedene Länder jeweils die höchste und die niedrigste Temperatur (gerundet), die bis zum Jahr 2024 gemessen wurde, angegeben. Berechne jeweils den Temperaturunterschied. (Quelle: Statista, 2025) Land Österreich Deutschland Russland Finnland Höchste Temperatur 41°C 41°C 44°C 37°C Niedrigste Temperatur – 38°C – 38°C – 68°C – 52°C 52 Vor 300 Jahren galten die negativen Zahlen noch als verwirrend. Berühmte Mathematikerinnen und Mathematiker waren sich nicht sicher, ob diese merkwürden Zahlen existieren. Man kann annehmen, dass man im Handel schon in früher Zeit die Begriffe Schulden und Guthaben verwendete. Schreibe die Angabe mit Hilfe einer Rechnung an und berechne das Ergebnis. a) Ich habe 12 Dukaten Schulden und es kommen noch 24 Dukaten Schulden dazu. b) Ich habe ein Guthaben von 23 Dukaten und erhalte nun Schulden von 12 Dukaten. c) Ich habe bei einem Händler 25 Dukaten Schulden und bei einem anderen Händler 47 Dukaten Schulden. 53 a) Pythagoras von Samos wurde 570 vor Christus geboren. Die berühmte Mathematikerin Emmy Noether wurde 1882 nach Christus geboren. Berechne, wie viel Jahre Emmy Noether nach Pythagoras geboren wurde. b) I n nebenstehender Abbildung siehst du das Bild der Figur Venus von Willendorf. Sie wird in Wien im naturhistorischen Museum ausgestellt. Sie wurde bei Ausgrabungen im Jahr 1908 entdeckt. Mit Hilfe von physikalischen Methoden und Berechnungen im Jahr 2014 konnte man das ungefähre Alter der Figur berechnen. Zum Zeitpunkt des Fundes war sie circa 29 000 Jahre alt. In welchem Jahr wurde die Venus von Willendorf ungefähr erstellt (runde dabei auf Hunderter)? Gecheckt? ææ Ich kann ganze Zahlen addieren und subtrahieren. 54 Gib die Rechnung in Kurzform an und berechne. a) (– 29) – (– 38) = = b) (+ 34) + (– 78) = = 55 Berechne. a) (– 28) – (– 34) + (– 12) – (– 18) = b) (– 55) + (– 44) – (+ 34) – (– 89) + (–12) = M, V Subtrahiert man eine ganze Zahl von einer natürlichen Zahl, dann wird das Ergebnis immer größer als die Ausgangszahl. Addiert man eine positive natürliche Zahl zu einer ganzen Zahl, dann ist das Ergebnis immer größer als die Ausgangszahl. Addiert man zwei ganze Zahlen, dann ist das Ergebnis stets kleiner als die beiden Zahlen. Alara Julia Lara O M, O O Ó durchgerechnete Lösungen hf34by O O Ó Arbeitsblatt hf8uc8 17 A Die ganzen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

ææ Ich kann ganze Zahlen multiplizieren und dividieren. Multiplizieren ganzer Zahlen Du hast schon gelernt, wie man ganze Zahlen addiert bzw. subtrahiert. Nun soll geklärt werden, wie ganze Zahlen multipliziert werden. Dies wird anhand dieser Beispiele erarbeitet: (+ 3) · (+ 2) = (+ 3) · (– 2) = (– 3) · (+ 2) = (– 3) · (– 2) = Angabe Überlegung Lösung (+ 3) · (+ 2) = Diese Rechnung kennt man von den natürlichen Zahlen. Das Ergebnis muss daher positiv sein. (+ 3) · (+ 2) = + 6 (+ 3) · (– 2) = Diese Rechnung kann man umschreiben: (+ 3) · (– 2) = (– 2) + (– 2) + (– 2) = – 6 (+ 3) · (– 2) = – 6 (– 3) · (+ 2) = Auch in den ganzen Zahlen gilt das Kommutativgesetz (es darf die Reihenfolge der Faktoren vertauscht werden): (– 3) · (+ 2) = (+ 2) · (– 3) = – 6 (– 3) · (+ 2) = – 6 (– 3) · (– 2) = Hier ist folgende Überlegung hilfreich: (– 3) · (+ 2) = – 6 (– 3) · (+ 1) = – 3 (– 3) · 0 = 0 (– 3) · (– 1) = + 3 (– 3) · (– 2) = + 6 (– 3) · (– 2) = + 6 Multiplizieren zweier ganzer Zahlen gleiche Vorzeichen w Ergebnis positiv (+) · (+) = (+) (−) · (−) = (+) ungleiche Vorzeichen w Ergebnis negativ (+) · (−) = (−) (−) · (+) = (−) 56 Berechne und vergleiche deine Ergebnisse. a) (+ 5) · (+ 4) = b) (+ 3) · (+ 7) = c) (+ 8) · (+ 9) = d) (+ 2) · (+ 24) = (+ 5) · (– 4) = (+ 3) · (– 7) = (+ 8) · (– 9) = (+ 2) · (– 24) = (– 5) · (+ 4) = (– 3) · (+ 7) = (– 8) · (+ 9) = (– 2) · (+ 24) = (– 5) · (– 4) = (– 3) · (– 7) = (– 8) · (– 9) = (– 2) · (– 24) = ÓArbeitsblatt hg2c29 Merke Ó Erklärvideo hg3s5u O 3 Multiplizieren und Dividieren ganzer Zahlen Was sagst du zu Pauls Aussage? Welchen Zusammenhang hat seine Aussage mit dem Multiplizieren von ganzen Zahlen? Hat er schon alles bedacht? Kann er wirklich schon mit allen ganzen Zahlen multiplizieren? + 3 + 3 + 3 + 3 Multiplizieren mit ganzen Zahlen ist leicht. Wenn ich 200 € Schulden verfünffache, dann habe ich nachher 1 000 € Schulden. Daher gilt: (– 200) · 5 = – 1 000 18 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

57 Fülle die Multiplikationstabelle aus. a) b) 58 Ergänze die Rechenschlange. Wenn du richtig rechnest, sollte am Ende der angegebene Wert herauskommen. a) · (– 1) · (– 3) · (+ 2) · (– 1) · (+ 2) · (– 1) 2 b) · (– 5) · (– 1) · (+ 3) · (– 1) · (– 2) · (+ 1) – 4 59 Zu den beiden Rechnungen gibt es verschiedene Lösungsvorschläge. Zwei Aussagen sind richtig. Male diese Aussagen an. Begründe deine Entscheidung. i) (– 1) · (– 1) · (– 1) ·(– 1) · (– 1) · (– 1) · (– 1) = ii) (– 1) · (– 1) · (– 1) ·(– 1) · (– 1) · (– 1) = Bei i) ist das Ergebnis – 1, da die Anzahl der negativen Faktoren ungerade ist. Bei i) ist das Ergebnis + 1, da Minus mal Minus Plus ergibt. Bei ii) ist das Ergebnis + 1, da die Anzahl der negativen Faktoren gerade ist. Bei ii) ist das Ergebnis – 1, da die Anzahl der negativen Faktoren ungerade ist. 60 Ergänze den Satz, sodass eine richtige Aussage entsteht. Multipliziert man eine ganze Zahl (ungleich 0) mit – 1, dann erhält man … 61 Berechne das Ergebnis. a) (– 2) · (+ 3) · (– 4) · (– 2) = b) (– 1) · (– 2) · (– 3) · (– 5) · (– 1) · (– 2) = c) (– 2) · (– 1) · (– 5) · (+ 3) = d) (– 1) · (+ 3) · (– 4) · (– 5) · (– 2) · (– 2) = 62 Kreuze die Lücken so an, dass eine richtige Aussage entsteht. Das Produkt aus einer negativen Zahl und ihrer Gegenzahl ist immer  , weil die beiden Zahlen  .   positiv æ unterschiedliche Vorzeichen besitzen æ negativ æ gleiche Vorzeichen besitzen æ null æ einander aufheben æ 63 Eine dieser Fragen ist nicht lösbar. Welche? Begründe deine Entscheidung. i) Wie oft muss man (– 3) mit (– 2) multiplizieren um – 48 zu erhalten? ii) Wie oft muss man (+ 3) mit (– 5) multiplizieren um + 375 zu erhalten? iii) Wie oft muss man (– 6) mit (– 2) multiplizieren um +192 zu erhalten? O · +2 –2 –9 +4 –10 – 5 + 3 – 15 · +7 –2 –8 +5 –14 – 3 – 6 – 12 O + 24 – 120 M, V DI, V O DI V 19 A Die ganzen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Dividieren ganzer Zahlen Auch bei ganzen Zahlen ist das Dividieren die Umkehrung des Multiplizierens. Damit kann man sich die Rechenregeln für die Division überlegen. (+ 3) · (+ 2) = (+ 6) w Probe: (+ 6) : (+ 2) = (+ 3) (+) : (+) muss (+) sein (+ 3) · (– 2) = (– 6) w Probe: (– 6) : (– 2) = (+ 3) (–) : (–) muss (+) sein (– 3) · (+ 2) = (– 6) w Probe: (– 6) : (+ 2) = (– 3) (–) : (+) muss (–) sein (– 3) · (– 2) = (+ 6) w Probe: (+ 6) : (– 2) = (– 3) (+) : (–) muss (–) sein Dividieren zweier ganzer Zahlen gleiche Vorzeichen w Ergebnis positiv (+) : (+) = (+) (−) : (−) = (+) ungleiche Vorzeichen w Ergebnis negativ (+) : (−) = (−) (−) : (+) = (−) 64 Berechne und überprüfe mit der Probe. a) (+ 5) · (+ 3) = Probe: : = b) (+ 5) · (– 3) = Probe: : = c) (– 5) · (+ 3) = Probe: : = d) (– 5) · (– 3) = Probe: : = 65 Berechne das Ergebnis. a) (+ 49) : (+ 7) = b) (– 64) : (+ 8) = c) (– 100) : (– 100) = d) (– 50) : (+ 2) = e) (– 4) : (+ 2) = f) (+ 9) : (– 3) = g) (– 8) : (+ 4) = h) (– 40) : (+ 5) = 66 Ergänze die Rechenschlange. Wenn du richtig rechnest, sollte am Ende der Wert – 3 herauskommen. : (– 1) : (– 2) : (– 3) : (+ 5) : (+ 2) : (– 1) – 180 67 Ergänze den Rechenturm. Hierbei musst du benachbarte Zahlen dividieren. a) b) c) – 32 + 1 –48 –4 +2 –1 –64 +4 –2 –1 + 128 – 2 68 Setze <, > oder = ein. a) (+ 18) : (– 2) (– 18) : (– 2) b) (+ 98) : (+ 7) (– 98) : (– 7) c) (+ 64) : (– 8) (– 64) : (– 8) d) (– 25) : (– 5) (+ 25) : (+ 5) 69 Berechne den Quotienten. a) (– 70 000) : (+ 700) = b) (– 49 000 000) : (– 70 000) = c) (+ 81 000 000) : (– 30 000) = d) (– 320 000) : (– 4 000) = e) (+ 10 000 000) : (– 10) = f) (– 640 000 000) : (+ 400) = Merke Ó Erklärvideo hg74pb O O O – 3 O DI O Du kannst beim Dividenden und beim Divisor die gleiche Anzahl an Nullen wegstreichen. 20 3 Multiplizieren und Dividieren ganzer Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

70 Berechne das Ergebnis. a) (+ 49) : |– 7| = b) |– 100| : (– 5) = c) |– 225| : (– 1) = d) |– 4| : (+ 2) = e) (– 48) : |– 12| = f) (– 8) : |+ 4| = 71 ] Dividiere die Zahl + 64 so oft durch – 2 bis du als Ergebnis + 1 erhältst. Notiere alle Zwischenergebnisse. Welches Zwischenergebnis ist das kleinste? 72 Die Kinder stellen verschiedene Behauptungen auf. Wer von ihnen hat recht? Erkläre bei falschen Behauptungen, warum diese nicht stimmen. 73 Kreuze an, ob die Aussagen richtig oder falsch sind. Aussage richtig falsch Multipliziert man eine positive ganze Zahl mit – 1, so erhält man die Gegenzahl. æ æ Besitzen bei einer Division der Dividend (ungleich 0) und der Divisor unterschiedliche Vorzeichen, so ist das Ergebnis negativ. æ æ Das Produkt von 20 negativen Faktoren muss negativ sein. æ æ 74 Schreibe die Aufgabe als Rechnung an und berechne anschließend das Ergebnis. a) Berechne das Produkt von – 3 und – 9. b) Berechne den Quotienten von – 64 und – 8. c) Der Divisor ist – 35, der Quotient ist – 5. Berechne den Dividenden. Gecheckt? ææ Ich kann ganze Zahlen multiplizieren und dividieren. 75 Erkläre die Rechenregeln beim Multiplizieren und Dividieren von ganzen Zahlen. 76 Berechne die Ergebnisse. a) (+ 8) · (+ 7) = b) (+ 4) · (+ 1) = c) (+ 12) · (+ 9) = (+ 8) · (– 7) = (+ 4) · (– 1) = (+ 12) · (– 9) = (– 8) · (+ 7) = (– 4) · (+ 1) = (– 12) · (+ 9) = (– 8) · (– 7) = (– 4) · (– 1) = (– 12) · (– 9) = 77 Berechne das Ergebnis. a) (+ 100) : (– 5) = b) (– 200) : (+ 2) = c) (+ 80) : (– 5) = d) (– 8) : (– 1) = e) (+ 9) : (– 9) = f) (– 8) : (+ 2) = O O, DI V Ob ich eine Zahl mit – 1 multipliziere oder durch – 1 dividiere, ist egal. Das Produkt und der Quotient sind gleich. Wenn ich eine ganze Zahl mit – 2 multipliziere, dann ist das Ergebnis immer größer als die Zahl. Wenn ich eine ganze Zahl mit einer positiven ganzen Zahl multipliziere, dann wird das Ergebnis größer als die beiden Zahlen. Wenn ich eine ganze Zahl durch – 1 dividiere, dann erhalte ich stets eine negative ganze Zahl. DI O, DI Ó durchgerechnete Lösungen hg9p9k V O O Ó Arbeitsblatt hh2x8c Der Betrag einer Zahl ist immer positiv. Maria Caro Tom Julia  Sprachliche Bildung und Lesen 21 A Die ganzen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

ææ Ich kenne die Vorrangregeln und kann diese anwenden. Wie beim Rechnen mit natürlichen Zahlen, gelten die Vorrangregeln auch beim Rechnen mit ganzen Zahlen. Vorrangregeln ——Rechnungen in Klammern müssen zuerst berechnet werden. KLA —— Punkt- vor Strichrechnung. PUSTRIX —— Man rechnet von links nach rechts. Berechne das Ergebnis. (– 4) – [(– 4) + (– 12) · (+ 3)] : (– 2) = Zuerst die eckige Klammer In der Klammer zuerst die Punktrechnung (– 4) − [(– 4) + (– 36)] : (– 2) = Klammer fertig ausrechnen (Kurzform) = (– 4) – [– 4 – 36] : (– 2) = = (– 4) − (– 40) : (– 2) = Punktrechnung berechnen = (– 4) − (+ 20) = Strichrechnungen von links nach rechts = – 4 − 20 = – 24 78 Berechne und achte auf die Vorrangregeln. a) (– 3) + (– 15) · (– 2) = b) (– 12) − (– 5) · (+ 3) = c) + 12 + (– 8) · (– 3) = d) (– 2) − (– 28) : (– 4) = e) (+ 14) + (+ 25) : (– 5) = f) – 3 − (+ 16) : (– 4) = 79 Berechne und achte auf die Vorrangregeln. a) [(– 3) + (– 15)] · (– 2) = b) (+ 4) · [(– 2) – (– 5)] = c) (– 28) : [(– 9) + (– 5)] = 80 Berechne und erkläre, warum hier unterschiedliche Ergebnisse herauskommen. a) (– 2) + (– 3) · (+ 5) + (–1) = b) (– 16) − (– 8) : (– 4) + (– 4) = [(– 2) + (– 3)] · (+ 5) + (– 1) = [(– 16) − (– 8)] : (– 4) + (– 4) = (– 2) + (– 3) · [(+ 5) + (– 1)] = (– 16) − (– 8) : [(– 4) + (– 4)] = [(– 2) + (– 3)] · [(+ 5) + (– 1)] = [(– 16) − (– 8)] : [(– 4) + (– 4)] = 81 Ordne jeder Rechnung den richtigen nächsten Schritt zu. (+ 5) + (– 4) · (– 1) + (– 7) = A (+ 5) + (– 4) · (– 8) (+ 5) + (– 4) · [(– 1) + (– 7)] = B (+5) + (+4) + (–7) [(+ 5) + (– 4)] · (– 1) + (– 7) = C (+ 1) · (– 8) [(+ 5) + (– 4)] · [(– 1) + (– 7)] = D (+ 1) · (– 1) + (– 7) ÓArbeitsblatt hh37ix Merke Ó Erklärvideo hh58yr Muster vor vor Klammerrechnung Punktrechnung Strichrechnung O O O, V DI 4 Verbindung der vier Grundrechnungsarten in Z Hannah lernt in der dritten Klasse das Rechnen mit ganzen Zahlen. Dazu sieht sie sich ihr Heft aus der ersten Klasse an. Sie sieht dabei nebenstehende Zeichnung. Kannst du ihr diese erklären? Wobei hat diese geholfen? 22 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

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