2 Das Zahlenbuch Begleitband für Lehrerinnen und Lehrer
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2 Das Zahlenbuch Begleitband für Lehrerinnen und Lehrer von Erich Ch. Wittmann, Gerhard N. Müller, Marcus Nührenbörger und Ralph Schwarzkopf Bearbeitung und Beratung: Doris Bayer Albert Ellensohn Sabine Eller Angelika Kittner Franz Korn www.oebv.at Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
2 Erste Orientierung 3 Differenzierung 3 Eigenaktives und interaktives Lernen 3 Übung der Basiskompetenzen 3 Förderung von Kindern mit Schwierigkeiten beim Mathematiklernen 4 Förderung mathematisch interessierter Kinder 4 Allgemeine Praxishinweise 5 Lernumgebungen und didaktische Situationen 5 Unterricht in inklusiven Klassen 6 Unterricht in altersgemischten Klassen 6 Stoffverteilung 6 Einrichtung von Kleingruppen 7 Potenzial zum selbstgesteuerten Üben 7 Potenzial zur Sprachförderung 7 Themenblöcke 7 Arbeits- und Demonstrationsmittel in Band 2 8 Arbeitsmittel 8 Demonstrationsmittel 8 Hinweise zu den Doppelseiten im Schulbuch 9 Themenblock Wiederholung und Vertiefung 12 Themenblock Geometrie 28 Themenblock Orientierung im Hunderterraum 34 Themenblock Größen, Messen und Sachrechnen 48 Themenblock Plusaufgaben im Hunderterraum 54 Themenblock Minusaufgaben im Hunderterraum 72 Themenblock Einführung der Malaufgaben 88 Themenblock Einführung der Geteiltaufgaben 122 Themenblock Aufgaben vergleichen 140 Grundkonzeption des ZAHLENBUCHs 168 1. Konzentration des Stoffes auf tragende Grundideen 168 2. Aktiv-entdeckendes und soziales Lernen 171 3. Grundlegendes, automatisierendes und produktives Üben 173 4. Förderung von Kindern mit unterschiedlichen Voraussetzungen nach dem Prinzip der natürlichen Differenzierung 175 5. Lern- und Leistungskontrollen 176 Inhalt Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
3 Erste Orientierung Das NEUE ZAHLENBUCH basiert auf dem langjährig bewährten und im Dialog mit der Praxis entwickelten didaktischen Konzept des ZAHLENBUCHs. Zugleich führt es dieses insofern weiter, als dass es eine umfassende Unterstützung für einen diagnosegeleiteten, differenziert strukturierten Mathematikunterricht bietet, der den gegenwärtigen Anforderungen im Kontext von Heterogenität und Inklusion sowie einer Orientierung an prozess- und inhaltsbezogenen Kompetenzen gerecht wird. Wichtig für die Arbeit in der täglichen Praxis ist es, die Eckpfeiler des ZAHLENBUCHs zu kennen, die grundlegend sind für einen kind- und fachgerechten guten Mathematikunterricht und Lösungen für aktuelle Schlüsselprobleme des Unterrichts anbieten. Diese seien hier kurz erläutert. Differenzierung Die häufig aus der Praxis zurück gemeldeten Methoden zu Differenzierung bestehen darin, dass die Lehrkraft Gruppen von Kindern oder einzelnen Kindern Aufgaben für ein bestimmtes Lernziel zuweist, die nach Einschätzung der Lehrkraft dem jeweiligen Lernstand entsprechen. Es gibt Werke, bei denen die Kinder weitgehend unabhängig voneinander Heftchen für Heftchen abarbeiten. Dadurch werden aber nicht nur die Kompetenzziele verfehlt, auch soziales Lernen wird verhindert. Individuelle Förderung wird verwechselt mit individueller Beschäftigung. Im ZAHLENBUCH wird ein grundsätzlich anderer Weg der Differenzierung beschritten: Das Buch ist so konzipiert, dass Kinder mit unterschiedlichen Voraussetzungen, Interessen und Möglichkeiten gemeinsam damit arbeiten können und gleichwohl individuell gefördert werden. Die Differenzierung ergibt sich aufgrund des besonderen Aufbaus und der Auszeichnung der Aufgaben von selbst: Das ZAHLENBUCH bietet eine Grundlage für den Erwerb der Kenntnisse und Fertigkeiten, die für das weitere Lernen notwendig und daher für alle Kinder in gleicher Weise verbindlich sind. Alle Themenblöcke enden mit einem Rückblick, in dem diese Basiskompetenzen noch einmal aufgegriffen und gesichert werden. Auf dieser Basis bauen Lernangebote auf, die sich ebenfalls an alle richten, aber von jedem Kind nach seinen Möglichkeiten individuell wahrgenommen werden können und dürfen (natürliche Differenzierung). Die Differenzierung zeigt sich nicht allein in einer unterschiedlichen Anzahl an bearbeiteten Aufgaben, sondern gerade auch darin, dass die Lernenden auf unterschiedliche Weise mathematische Zusammenhänge erkennen und darstellen sowie erörtern und reflektieren können. Ferner bietet das ZAHLENBUCH sowohl zahlreiche offene Aufgaben an, die von den Kindern mit selbstgewählten Zahlen und Umfang bearbeitet werden, als auch die wiederkehrenden Seiten zum Forschen und Finden, die nach einem niederschwelligen Einstieg Vertiefungen der inhaltlichen und prozessbezogenen Kompetenzen zum Ziel haben. Damit das Potenzial aller Aufgaben für den Lernprozess der Kinder schneller und transparenter erkennbar ist, wurden sie in vier verschiedene Kategorien von Übungen eingeteilt: – Grundlagen aufbauen und sichern, – Zusammenhänge entdecken und anwenden, – Beziehungen reflektieren und nutzen, – selbstgesteuert üben und Aufgaben produzieren. Die Kinder werden natürlich bei der Bearbeitung der Übungen unterschiedlich weit kommen. Das ist aber kein Problem, sondern eine Lernchance: Gerade wegen der unterschiedlichen Bearbeitungen ist ein sozialer Austausch möglich, den wir als hohes Gut ansehen. Wenn beispielsweise die Ergebnisse von Rechnungen an der Tafel zusammengetragen werden, damit auf dieser Grundlage Muster erkannt und beschrieben werden, können auch Kinder einbezogen werden und den Anschluss finden, die selbst nur wenige Rechnungen durchgeführt haben. Eigenaktives und interaktives Lernen Die Lernenden erhalten umfangreiche Unterstützungen beim Entdecken und Verstehen der mathematischen Inhalte. Dazu werden die Kinder zu Beginn eines Themenblocks stets angeregt, eigenständig inhaltliche Vorstellungen zu entwickeln und Lösungen zu erproben, die an ihre Vorerfahrungen anknüpfen. Die Eigenaktivität der Lernenden in der Auseinandersetzung mit Materialien ist grundsätzlich von besonderer Bedeutung. Aber sie darf sich nicht auf konkrete Handlungen mit Materialien beschränken. Diese sind zugleich verbal zu beschreiben, bildlich darzustellen oder symbolisch zu notieren, um langfristig verinnerlichte Vorstellungen aufzubauen, die eigenständig verändert werden können. Diese Vernetzung der Darstellungsebenen ist eine wesentliche Voraussetzung für die Entwicklung mathematischer Kompetenzen. Zugleich müssen die Kinder aber ihre Ideen mit anderen Kindern austauschen, um neue Erkenntnisse aufzubauen oder zu sichern. Daher bieten wir im ZAHLENBUCH von Anfang an zahlreiche Aktivitäten an, gemeinsam mit anderen Kindern und auch spielerisch mathematische Handlungen durchzuführen, Fragestellungen und Lösungswege zu erkunden und über Mathematik zu sprechen. Übung der Basiskompetenzen Zum Grundangebot gehört der „Blitzrechenkurs“ mit zehn Übungen pro Schuljahr, der ständig auf der Tagesordnung stehen muss. Allen Beteiligten muss bewusst gemacht werden, dass es sich lohnt, an dieser Stelle intensiv und fortgesetzt zu üben. Hilfreich ist hier der Vergleich mit dem Sport, wo Fitness- und Konditionsprogramme eine Selbstverständlichkeit sind. Wer sich körperlich fit hält, kann körperlich etwas leisten. Wer in der Mathematik die Basiskompetenzen übt, kann damit seine mathematische Leistung steigern. Zum Wesen der Basiskompetenzen gehört es ja, dass sie ständig benutzt werden. Jede Blitzrechenübung wird an der entsprechenden Stelle im Schulbuch eingeführt. Die Kinder lernen dabei, sich gegenseitig Aufgaben zu stellen. Die Praxis des Blitzrechnens wird durch die Rechenkartei „Blitzrechnen. Basiskurs Zahlen“ und die Blitzrechnen-App unterstützt. Die Rechenkartei für jedes Schuljahr enthält ca. 400 Aufgabenkarten. Auf der Vorderseite jeder Karte ist eine Aufgabe symbolisch und bildlich dargestellt. Die Lösung steht auf der Rückseite. Mit der Kartei können alle Kinder trainieren. Sie kann auch eine Hilfe sein für externe Rechentrainer. Die App enthält zu allen Blitzrechenübungen interaktive Übungen. Die Kinder können somit jederzeit per Tablet oder Smartphone üben. Auch im Sachrechnen und in der Geometrie gibt es Basiskompetenzen, die besondere Übungsanstrengungen erfordern. Hierfür stehen die Karteien „Sachrechnen im Kopf. Basiskurs Größen 1/2 und 3/4“ sowie „Geometrie im Kopf. Basiskurs Formen“ (ab Klasse 3) zur Verfügung. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
4 Förderung von Kindern mit Schwierigkeiten beim Mathematiklernen Der Erfolg in der Mathematik steht und fällt mit dem Aufbau von Verständnis. Was man verstanden hat, kann man besser anwenden und behalten. Damit hat man auch für das Weiterlernen eine bessere Grundlage. Wegen seines auf Verständnis ausgerichteten Ansatzes bewährt sich das ZAHLENBUCH gerade bei Kindern, die Schwierigkeiten beim Aufbau mathematischer Verständnisgrundlagen zeigen. Mehrere Elemente des Werkes wirken sich hier positiv aus: – der schlüssige Aufbau des Werkes, – die wiederkehrenden Lehr-/Lernstrukturen und übersichtliche Doppel-Seitenstrukturierung, die den Aufbau eines ganzheitlichen mathematischen Verständnisses unterstützen, – die kleine Anzahl gut ausgewählter Anschauungsmittel, die langfristig als Hilfs- und Erkenntnismittel tragbar sind, – die prägnanten zeichnerischen Darstellungen und Sprechweisen als zugängliche Anregung für mathematische Aktivitäten, – die durchgehenden Übungsformate, die eine Konzentration auf den Inhalt ermöglichen, – die vielen offenen Aufgaben und reflektiven Übungen, die eine Bearbeitung auf unterschiedlichen Niveaus erlauben. All dies hilft auch den Erklärungsbedarf zu reduzieren und trägt zur Entlastung der Lehrkräfte bei. Darüber hinaus ist der Blitzrechenkurs ein eingebautes Förderprogramm für Kinder. Denn er umfasst neben dem üblichen Kopfrechnen auch grundlegende Zahlvorstellungen und Zahlbeziehungen, die für das Verständnis entscheidend sind. Diese Basiskompetenzen stehen auch im Mittelpunkt des neu entwickelten Kartenmaterials zu Zahlen und Rechenoperationen, mit denen die Kinder durch unterschiedliche Aktivitäten ihre Zahl- und Rechenvorstellungen und -Strategien sichern, vertiefen und vernetzen können. Zusätzlich wurden für die Überarbeitung des ZAHLENBUCHS die Igel-Hefte „Sicher im Zahlenraum“ und „Sicher rechnen“ entwickelt, um alle Kinder beim Sichern und Vertiefen ihrer Basiskompetenzen zu unterstützen. Die Aufgaben sind so konzipiert, dass sie durchaus auch zu Hause bearbeitet werden können. Dabei wurde besonders Wert auf eine anschauliche Grundlegung der Übungen gelegt. Zur Förderung von Kindern mit größerem Unterstützungsbedarf wurden zudem noch weitere ergänzende Materialien entwickelt: (1) Der Förderkommentar Lernen bietet Anregungen für die Unterstützung schwächerer Kinder zur Bewältigung der mathematischen Grundlagen bei der Arbeit am ZAHLENBUCH. Dazu werden ausgewählte grundlegende Inhalte aus dem ZAHLENBUCH um weitere Förderseiten ergänzt. Besondere Förderansätze werden mithilfe eines eigens dazu entwickelten zusätzlichen Förderhefts aufgezeigt. (2) Der Förderkommentar Sprache widmet sich einer weiteren Schwierigkeit bei der Organisation des heutigen Mathematikunterrichts: Für viele Kinder ist die Sprache ein Problem für die erfolgreiche Teilhabe am Mathematikunterricht. Im Förderkommentar finden sich zu ausgesuchten Inhalten des ZAHLENBUCHs Hinweise für die Identifizierung und Überwindung sprachlicher Hürden im Mathematikunterricht. (3) Die Lernzielkontrollen werden um eine Variante ergänzt, die für Lernende mit Schwierigkeiten eine zugängliche Form der Leistungskontrolle darstellen kann, da hierbei der Zahlenraum und die Anzahl der Aufgaben reduziert sind. Das Ziel aller Zusatzmaterialien liegt darin, die Kinder weitest- gehend im Unterricht zu fördern und den verstehensorientierten Ansatz des ZAHLENBUCHs für die Überwindung der inhaltlichen und sprachlichen Schwierigkeiten fortzuführen. Mit Blick auf den inklusiven Unterricht empfehlen wir dringend, bei Kindern mit zusätzlichem Förderbedarf primär auf die Möglichkeiten des ZAHLENBUCHs und seiner Begleitmaterialien zurück zu greifen, da nur dadurch das gerade für diese Kinder wichtige, inhaltlich stimmige Lernen gesichert werden kann. Von besonderer Bedeutung für gemeinsames Lernen im inklusiven Unterricht sind folgende Kernmerkmale des neuen ZAHLENBUCHs: – die Akzentuierung der Basiskompetenzen und die Fokussierung auf materialgestützte Zugänge, – die klare visuelle Strukturierung und Konzentration auf wenige, nachhaltig tragfähige Anschauungsmittel, – die sprachsensible Aufbereitung von Aufgabenstellungen und die Unterstützung kommunikativer Lernsituationen und – die klar strukturierten Anregungen und Anleitungen zum eigenständigen und kooperativen Lernen. Förderung mathematisch interessierter Kinder Mathematisch interessierte und begabte Kinder werden im ZAHLENBUCH durch die zahlreichen Aufgaben zum Erkunden und Beschreiben von mathematischen Problemstellungen gefördert. Dadurch finden sie im Klassenverband herausfordernde Anregungen, ohne vom gemeinsamen Thema aller Lernenden getrennt zu werden. Auch werden auf den Seiten zum Forschen und Finden Aufgabenformate vorgestellt, die immer ein Angebot zur vertieften und zusätzlichen mathematischen Auseinandersetzung darstellen. Zur weiteren Förderung steht ferner die Reihe „Forschen und Finden“ zum ZAHLENBUCH zur Verfügung, die aber keinesfalls als exklusives Angebot für diese Gruppe zu verstehen ist: Durch das Forschen und Finden kann bei allen Kindern eine durchweg produktive Einstellung zum Mathematiklernen entfaltet werden. Da das ZAHLENBUCH mathematisch gehaltvoll ist, können mathematisch interessierte oder begabte Kinder viele Themen des Buches selbstständig weiterführen. Entsprechend werden diese Kinder insbesondere dadurch gefördert, dass sie das Potenzial der zahlreichen offenen Aufgaben zum selbstgesteuerten Üben voll ausreizen. Zudem werden sie auf den Seiten zum Forschen und Finden angemessene Anreize finden. Erste Orientierung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
5 Allgemeine Praxishinweise In diesem Abschnitt sollen Hinweise vorweg genommen werden, die für den Unterricht generell wichtig sind. Dies erspart bei den Hinweisen zu den einzelnen Seiten Wiederholungen. Im ZAHLENBUCH werden mathematische Grundideen von der Frühförderung beginnend über die Schulstufen hinweg konsequent entwickelt. Dies wird in der Grundkonzeption erläutert. Umfassende mathematikdidaktische Hinweise finden sich auf eingeschobenen Seiten vor jedem Themenblock. Lernumgebungen und didaktische Situationen In den letzten Jahren hat es sich eingebürgert, den Unterricht in „Lernumgebungen“ zu gliedern. Durch diese Bezeichnung kommt zum Ausdruck, dass den Lernenden Spielräume für eigene Aktivitäten geboten werden müssen. Eine Lernumgebung kann kleinere Lernumgebungen enthalten und selbst Teil einer umfassenderen Lernumgebung sein. Das ZAHLENBUCH wurde so konzipiert, dass in der Regel jede Doppelseite als Lernumgebung erscheint. Das betreffende Thema wird in der Überschrift benannt. Man kann die Beschreibung einer Lernumgebung mit einem Theaterstück vergleichen, das aufgeführt werden soll. Die Lehrkraft führt dabei Regie. Als Regisseurin hat sie selbst Freiheiten, die sie nutzen darf und soll. Die in diesem Begleitband unter der Rubrik „Wie kann man vorgehen?“ gemachten Regiehinweise sind daher grundsätzlich nur als Empfehlungen zu verstehen. Für die Unterrichtsorganisation hat sich eine Unterscheidung „didaktischer Situationen“ bewährt, die der französische Didaktiker Guy Brousseau vorgeschlagen hat: 1. Einführung in eine Lernumgebung 2. Aktive Bearbeitung der Aufgaben durch die Kinder 3. Bericht und Diskussion 4. Reflexion (Erklärung eines Lösungswegs, Begründung eines Musters) 5. Zusammenfassung („Institutionalisierung“) Der Lehrkraft und den Kindern fallen bei den einzelnen Situationen unterschiedliche Aufgaben zu: Zu 1: Bei der Einführung in eine Lernumgebung geht es darum, die Aufgabenstellung möglichst klar zu beschreiben. Dies geschieht am besten mithilfe prägnanter Beispiele. Vor der Arbeit mit dem Buch müssen immer Aktivitäten stehen, die auf die Aufgabenstellungen im Buch vorbereiten. Dafür werden in der Regel einzelne Aufgaben aus dem Buch herausgegriffen. Im ersten Schuljahr müssen Texte, für welche die Lesefähigkeiten der Kinder noch nicht ausreichen, vorgelesen werden. Zu 2: Wenn die Aufgabenstellung verstanden ist, sollen die Kinder möglichst selbstständig arbeiten, alleine, in Zweiergruppen oder in Kleingruppen. Die Lehrkraft muss sich nur vergewissern, ob alle verstanden haben, worum es geht und ggf. steuernd eingreifen. In manchen Fällen arbeitet die gesamte Klasse gemeinsam an einer Aufgabe. Zu 3: Nach Bearbeitung der Aufgabenstellung werden die Ergebnisse z. B. an der Tafel gesammelt, von den jeweiligen Kindern präsentiert, überprüft und gemeinsam geordnet. Beim Austauschen über die verschiedenen Lösungswege und Ergebnisse achtet die Lehrkraft auf die Nutzung einer Fachsprache, indem sie konsequent als sprachliches Vorbild agiert, Fachbegriffe visualisiert und sammelt sowie auf diese regelmäßig verweist. Zu 4: In der Reflexionsphase ist es das Ziel, die Kinder zu Erklärungen von Lösungswegen und zu Begründungen von Mustern anzuleiten. Dazu müssen Impulse gegeben werden, die auf die zentralen mathematischen Inhalte fokussieren, ein Gespräch zwischen den Kindern initiieren und eine breite Beteiligung ermöglichen. Zu 5: Zum Abschluss der Arbeit werden die wichtigen Ergebnisse von der Lehrkraft herausgestellt und zusammengefasst. Wie ersichtlich beschreiben diese Situationen die idealtypische Abfolge der Phasen, die bei der Untersuchung einer mathematischen Aufgabenstellung durchlaufen werden. Sie müssen natürlich von der Lehrkraft den faktischen Bedürfnissen des eigenen Unterrichts angepasst werden und hängen auch von den aktuell behandelten Schulbuchseiten ab. Wenn z. B. auf einer Seite nur Übungsaufgaben zu einer vorher eingeführten Fertigkeit gerechnet werden, bedarf es keiner neuen Einführung und die Besprechung kann kurz gehalten werden. Wenn die Kinder in Kleingruppen Blitzrechnen üben, ist nur die Situation 2 relevant. Bei der Überarbeitung des ZAHLENBUCHs wurde verstärkt darauf geachtet, dass die Kinder eine Vielzahl der Übungen in Eigenregie durchführen können – die Betonung des selbstständigen Arbeitens darf aber natürlich nicht bedeuten, dass die Kinder allein gelassen werden. Die unterschiedlichen Rollen der Lehrkraft und der Kinder bei den einzelnen Situationen gehen aus folgender Tabelle hervor: Situation Lehrkraft Kinder Einführung Aufgabe vorstellen und erklären, Probehandeln durchführen, an erste Erkundungen heranführen, Vermutungen sammeln Vorerfahrungen aktivieren, zuschauen, zuhören, mitmachen, Ideen einbringen Aktive Bearbeitung beobachten, Hinweise geben, unterstützen individuelles Arbeiten, Zusammenhänge erkunden, mit anderen austauschen und ordnen Sammlung der Ergebnisse, Bericht zuhören, nachfragen berichten und vorstellen, zuhören und ordnen, Erkenntnisse systematisieren Reflexion Blick öffnen, anleiten und vernetzen erklären, begründen und auf andere Beiträge eingehen Zusammen- fassung prägnant darstellen zuhören, nachfragen Übung beobachten, Hinweise geben, unterstützen wiederholen und trainieren, automatisieren Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
6 Allgemeine Praxishinweise Unterricht in inklusiven Klassen In inklusiven Klassen kann erfolgreich mit den entsprechenden Jahrgangsbänden und den zusätzlichen Unterstützungsmaterialien des ZAHLENBUCHs gearbeitet werden. Für einen inklusiven Unterricht gelten grundsätzlich die gleichen didaktischen Prinzipien wie für einen guten „nicht-inklusiven“ Mathematikunterricht. Zugleich sind aber einzelne Prinzipien unter der Bedingung des gemeinsamen Lernens womöglich noch stärker hervorzuheben – dies betrifft insbesondere die Differenzierung, die konsequent berücksichtigt werden muss, ebenso die durchgängige Beachtung der unterschiedlichen Darstellungsebenen mit Akzentuierungen auf material- und sprachgestützte Aufgabenstellungen. In diesem Sinne sollte ein inklusiver Mathematikunterricht in erster Linie auf dem grundlegenden mathematikdidaktischen Konzept des ZAHLENBUCHs aufbauen. Um aber allen Kindern gerecht zu werden, bedarf es gezielter Aufmerksamkeit auf die Lernenden, die beim Lernen zusätzliche Unterstützung benötigen. Im Konzept des ZAHLENBUCHs sollen diese Kinder nicht durchgehend an isolierten Aufgabenstellungen getrennt von den anderen Kindern lernen. Vielmehr ist es das Anliegen des ZAHLENBUCHs, die größtmögliche fachliche Teilhabe aller Kinder am Mathematikunterricht zu gewährleisten, ohne individuelle Unterstützungen und auch zeitweilig fokussiertes Arbeiten an spezifischen Grundlagen auszuschließen. Dies gelingt in besonderer Weise, wenn der Mathematikunterricht an den fachlichen Kernideen orientiert ist und somit für alle Kinder wiederkehrend Zugänge zu den Basiskompetenzen ermöglicht. Durch den analogen Aufbau der ZAHLENBÜCHER können auch Kinder, die z. B. in den Klassen 3 oder 4 zieldifferent unterrichtet werden, an den ZAHLENBÜCHERN 1 oder 2 arbeiten, da sich immer wieder inhaltliche Schnittmengen ergeben, die ein gemein- sames Lernen an einer mathematischen Grundidee trotz unterschiedlicher ZAHLENBÜCHER ermöglichen (z. B. Aufbau von Zahl- und Operationsvorstellungen in verschiedenen Zahlenräumen). In erster Linie schafft hierbei das Prinzip der natürlichen Differenzierung Möglichkeiten für alle Kinder, auf unterschiedlichen Niveaus an einem gemeinsamen Thema zu arbeiten, ohne einzelne Kinder vollständig im Fach zu separieren. Darüber hinaus sichern materialgestützte Angebote ebenso wie visuelle und sprachliche Unterstützungen bei der Auseinandersetzung mit Aufgabenstellungen zum einen Zugänglichkeit für alle Lernende, zum anderen auch Anregungen für verstehensorientiertes Arbeiten. Zu guter Letzt liefern auch die kooperativen Angebote des ZAHLENBUCHs einen bedeutsamen Eckpfeiler für einen erfolgreichen inklusiven Mathematikunterricht. Denn in der Kultur einer kleinen Lerngruppe können auch Kinder mit besonderen Bedürfnissen unterstützend und kooperativ gefördert werden. Zusätzlich zum ZAHLENBUCH wurden zur Förderung von Kindern mit größerem Unterstützungsbedarf die Förderkommentare Lernen und Sprache entwickelt. Diese bieten zusätzliche Hinweise, Anregungen und Aufgabenstellungen, wie einzelne Kinder mit Blick auf die grundlegend für gemeinsames Lernen geeigneten Inhalte des ZAHLENBUCHs unterstützt werden können. Unterricht in altersgemischten Klassen In altersgemischten Klassen kann ebenso erfolgreich mit den entsprechenden Jahrgangsbänden des ZAHLENBUCHs gearbeitet werden. Die einzelnen mathematischen Themen eines Jahrgangs sind parallelisiert aufgebaut, so dass alle Kinder einer altersgemischten Klasse in einen thematischen Block eingeführt werden können. Anschließend arbeiten die Kinder in Einzelarbeit oder in Kleingruppen an spezifischen Fragestellungen, die zum Buch der jeweiligen Jahrgangsklasse passen und zugleich die Aufgabenstellungen in den unterschiedlichen Zahlenräumen verknüpfen. Ebenso wie im inklusiven Mathematikunterricht können auch im altersgemischten Unterricht nicht alle Themen zeitgleich von allen Kindern erlernt werden. Für das altersgemischte Lernen sind aber die Themen von besonderer Bedeutung, zwischen denen es vom Fach her auch Beziehungen gibt. Die Erkundung von Rechenwegen und die damit verbundene geschickte Nutzung von einfachen Aufgaben zur Bearbeitung schwieriger Aufgaben ist sowohl im Zahlenraum bis 20 als auch über 20 für die Kinder bedeutsam. Es kann hierbei sogar als jahrgangsälterer Lernender hilfreich sein, zu sehen, wie man früher gelernt hat und wie die Rechenstrategien im kleineren Zahlenraum für den größeren Zahlenraum nutzbar gemacht werden können. Die jahrgangsjüngeren profitieren zugleich nicht allein von der Unterstützung der erfahreneren Kinder, sondern erahnen bereits, wie sinnstiftend die Rechenkünste im kleineren Zahlenraum für das weitere mathematische Treiben sind. Der Unterricht muss unter den Bedingungen des jahrgangsgemischten Mathematiklernens in Abhängigkeit zum jeweiligen mathematischen Thema auf verschiedene Weise organisiert werden: Soll eine Lerngruppe gezielt in eine Lernumgebung eingeführt werden oder sollen nur mit einer bestimmten Lerngruppe Ergebnisse besprochen, reflektiert bzw. zusammengefasst werden, so müssen die anderen Kinder/Kleingruppen in dieser Zeit selbstständig am ZAHLENBUCH arbeiten. Sollen die Lernenden an parallelen Aufgabenstellungen arbeiten, wird das übergreifende mathematische Thema an Beispielen aus den jeweiligen Zahlenräumen eingeführt. Anschließend arbeiten die Kinder eigenständig an den inhaltlich ähnlichen Aufgabenstellungen der jeweiligen ZAHLENBÜCHER, so dass sogar eine gemeinsame Abschlussreflexion mit allen Kindern der Klasse denkbar ist. Die Aufgaben zum selbstständigen Mathematiklernen eignen sich schließlich in herausragender Weise zum gemeinsamen altersgemischten Mathematiklernen. Denn die Kinder erfinden Aufgaben und arbeiten miteinander ganz unabhängig vom Einschulungsalter. Inklusiver oder altersgemischter Mathematikunterricht ist ohne Zweifel anspruchsvoll. Wenn an den Zielsetzungen des Mathematikunterrichts keine Abstriche gemacht werden sollen, wird hierzu ein Buch benötigt, das bewusst das eigenständige und gemeinsame Arbeiten in wohldosierter Balance fördert. Das ZAHLENBUCH genügt diesen Ansprüchen. Stoffverteilung Nicht alle Doppelseiten erfordern den gleichen Aufwand. Langsamer vorgehen muss man bei der Grundlegung von Themen, um ein solides Verständnis aufzubauen. Ansonsten empfiehlt sich ein zügigeres Tempo. Im ZAHLENBUCH werden alle grundlegenden Themen des Bereichs „Zahlen und Operationen“ in mehreren Durchgängen behandelt und die Basiskompetenzen im „Blitzrechnen“ das gesamte Schuljahr hindurch geübt. Daher wird kein Kind „abgehängt“. Zudem werden Hinweise im Förderkommentar Lernen gegeben, wie mit Kindern mit besonderem Unterstützungsbedarf hierzu fachlich konzentriert weitergearbeitet werden kann. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
7 Bereits beim ersten Themenblock wird dieses Konstruktionsprinzip deutlich: Immer geht es um Anzahlen, die Zahlenreihe oder Ordnungszahlen. Immer steht die strukturierte Anzahlerfassung im Mittelpunkt. Bei dem Einspluseins folgt nach den Plusaufgaben in der Umwelt deren Übertragung auf das Zwanzigerfeld. Im nächsten Durchgang schließen sich Übungen an strukturierten Aufgabenformaten und die Vertiefung an der Einspluseins-Tafel an. Begleitet wird dies durch die entsprechenden Blitzrechenübungen, die den Unterricht ständig begleiten. Es sind immer die gleichen Grundideen, die nach dem Spiralprinzip entwickelt werden. Das ZAHLENBUCH ist nicht als Angebot aufzufassen, Seite für Seite und Aufgabe für Aufgabe abzuarbeiten. Denn es enhält eine Vielzahl an wiederkehrenden Aufgabenstellungen, die für die Kinder anschaulich und zugänglich aufbereitet werden. Die Lernziele lassen sich auch mit dem sprichwörtlichen „Mut zur Lücke“ erreichen, zumal diese Lücken in den weiteren Durchgängen auch sukzessiv gefüllt werden. Wenn alle diese Punkte beachtet werden, sollte kein Stoffdruck entstehen. Als grobe Anhaltspunkte für die Stoffverteilung haben sich folgende Angaben bewährt: 1. Halbjahr: Orientierung und Einführung 2. Halbjahr: Festigung und Vertiefung Schuljahresbeginn bis Herbstferien: Wiederholung und Vertiefung, geometrische Körper, Orientierung im Hunderterraum (bis ca. S. 31) Ende des 1. Halbjahres bis Ostern: Spiegeln, Einführung der Malaufgaben, Sachaufgaben Herbstferien bis Weihnachten: Orientierung im Hunderterraum (ab ca. S. 32), Geldwerte, Längen, Plusaufgaben im Hunderter, Formen und Falten Ostern bis Pfingsten: Malreihen, Sachaufgaben, Einführung der Geteilt- aufgaben Weihnachten bis Ende des 1. Halbjahres: Minusaufgaben im Hunderter Pfingsten bis Schuljahresende: Pläne, Aufgaben vergleichen, Sachaufgaben, Daten und Zufall Die Miniprojekte „Bald ist Weihnachten“ und „Bald ist Ostern“ sind zeitlich einzupassen. Einrichtung von Kleingruppen Um das selbstständige Arbeiten der Kinder zu unterstützen, empfehlen wir generell eine Organisationsform, die auf den ersten Blick überraschend anmuten mag: die Einrichtung relativ fester Kleingruppen. Wenn vom 1. Schuljahr an viel Wert auf die Koordination kooperativer Lernphasen gelegt wird, bauen die Lernenden eine solidarisch arbeitende Lerngruppe auf, die auf der Selbstorganisation des Einzelnen fußt und zugleich die Organisation der Gemeinschaft sichert. Die Kinder unterstützen sich gegenseitig im Lernprozess, sind sich gegenseitig Vorbild bei der Bearbeitung von Aufgabenstellungen und bieten zudem vielfältige Anregungen, die ausgetauscht und diskutiert werden können. Jede Lerngruppe soll dazu Aufgaben, die sie selbst bewältigen kann, in eigener Regie bearbeiten, und nur dann Hilfe von der Lehrkraft anfordern, wenn die eigenen Kräfte nicht ausreichen. Somit werden zwischen das einzelne Kind und die Lehrkraft Kleingruppen mit in der Regel zwei Kindern als Zwischenebene eingeschoben. Die Kinder jeder Gruppe sollen sich gegenseitig helfen, natürlich ohne einander die Arbeit abzunehmen. Es empfiehlt sich, die Gruppen im Laufe eines Jahres mehrfach neu zu mischen. Obgleich die Organisation der Gruppen zu Beginn aufwändig ist, lohnt sich diese Investition. Für einige Aufgabenstellungen des ZAHLENBUCHs sind Kleingruppen eine große Hilfe, z. B. deuten dies die Illustrationen oder auch das Symbol für Partnerarbeit an. Ferner erleichtern Teams aus zwei Kindern das Blitzrechnen, da sich die Kinder gegenseitig Aufgaben stellen und kontrollieren können. In Mathekonferenzen erklären sich die Kinder gegenseitig ihre Rechen- und Lösungswege. Der möglichst selbstständige Umgang der einzelnen Kinder und der Kleingruppen mit dem Buch wird durch Lösungsbände zum Schulbuch und zum Arbeitsheft unterstützt. Potenzial zum selbstgesteuerten Üben Viele Aufgaben im ZAHLENBUCH öffnen trotz kurzer Formulierung ein weites Übungsfeld, das von den Kindern allein oder in Partner- oder Gruppenarbeit bearbeitet werden kann. Das funktioniert in der Regel so, dass einige wenige Aufgaben zum Start vorgegeben sind und die Kinder weitere, dazu passende Aufgaben mit selbstgewählten Zahlen und in selbstgewählter Anzahl finden, notieren und lösen sollen. Weil man einigen Aufgaben dieses Potenzial auf den ersten Blick nur schwer ansieht, wurden sie zur besseren Übersicht entsprechend ausgewiesen: Man erkennt sie durch den entsprechenden Hinweis im Schnellzugriff, aber auch bereits durch das Symbol « direkt an der Aufgabe. Potenzial zur Sprachförderung Im Gegensatz zum traditionellen Rechenunterricht, der eher auf die Vermittlung von prozeduralem Wissen ausgerichtet war, legt der moderne Mathematikunterricht viel Wert auf die Durchdringung mathematischer Muster und Strukturen. Hierzu ist die Sprache ein notwendiges Hilfsmittel, denn die Darstellung von mathematischen Zusammenhängen ist prinzipiell sprachlicher Natur. Aus diesem Grunde ist die Erarbeitung von Mustern und Strukturen immer auch eine Situation, in der die Nutzung der Sprache inhaltsgebunden thematisiert werden kann und muss. Damit dieses Potenzial zur Sprachförderung transparent wird und bei der Unterrichtsvorbereitung sofort auffällt, wurden die zu- gehörigen Aufgaben ebenfalls im Schnellzugriff ausgezeichnet. Zudem werden die Kinder explizit aufgefordert und herangeführt, Zusammenhänge zu versprachlichen. Themenblöcke Die arithmetischen Inhalte sind so aufbereitet, dass sie in einem in sich geschlossenen Themenblock bearbeitet werden können. Dies bietet den Kindern die Möglichkeit, selbstständig innerhalb des Themenblocks voran zu schreiten und grundlegende Übungen zu bearbeiten. Jeder Themenblock schließt einerseits mit einem Rückblick auf die essentiellen Grundlagen. Dieser Rückblick soll Lehrkräften und Kindern transparent aufzeigen, welche Ziele sie in den thematischen Lernprozessen erreicht haben. Andererseits bietet immer eine Seite zum Forschen und Finden herausfordernde neue Problemfelder, um mit den Kindern auf mathematische Entdeckungsreise zu gehen. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
8 Im Folgenden werden die für das ZAHLENBUCH 2 in Frage kommenden Arbeits- und Demonstrationsmittel beschrieben. Welche davon jeweils benötigt werden und welche Materialien sonst noch bereitgestellt werden müssen, ist bei den Hinweisen zu den Doppelseiten unter der Rubrik „WAS WIRD BENÖTIGT?“ angegeben. Arbeitsmittel Für die Arbeit mit dem Band 2 werden benötigt: – Hunderterfeld (dem Schulbuch beiliegend und als Kopiervorlage, für die Grundideen „Rechnen“ und „Zehnersystem“) – Zahlwinkel und Einmaleinswinkel (beiliegend, für die Grundideen „Rechnen“ und „Zehnersystem“) – Zehnerstreifen und Wendeplättchen (beiliegend, rot/blau, für die Grundidee „Zehnersystem“) – Einmaleins-Plan im Format DIN A3 (beiliegend, für die Grundideen „Zahlenreihe“ und „Rechnen“) – Einmaleins-Tafel (beiliegend, für die Grundideen „Rechnen“ und „Zahlenmuster“) – Rechengeld (Münzen und Scheine in Cent und Euro, dem Schulbuch der 1. Klasse beiliegend, für die Grundidee „Zahlen in der Umwelt“) – Tangram-Spiel (beiliegend, für die Grundidee „Formen legen“) Diese Arbeitsmaterialien wurden so ausgewählt, dass sie die arithmetischen Grundideen für den zweiten Band voll abdecken (bis auf die Grundidee „Rechenverfahren“, die bei den ersten Bänden noch keine Rolle spielt). Ferner sind folgende Arbeitsmaterialien erhältlich (Bestellnummern und Preise finden Sie unter www.klett.de): – Arbeitsmittel (Zahlwinkel, Einmaleinswinkel, Tangram, Zehnerstreifen und Wendeplättchen, Einmaleins-Plan, Einmaleins-Tafel, großes Hunderterfeld), im Fünfer-Pack (zur Nachbestellung) – Wendeplättchen, Klassensatz mit 1 500 Stück, aus dickem Karton – Magnetische Wendeplättchen in Metallbox mit Zwanzigerfeld – Der Hunderterrahmen (10 Zehnerschiffchen mit 100 Wendeplättchen aus Holz im Holzrahmen) Das Holzmaterial erlaubt einen erheblich besseren haptischen Zugang zum Rechnen als Materialien aus Karton, was für manche Kinder sehr wichtig ist. Demonstrationsmittel Die Unterrichtsarbeit wird erleichtert, wenn einige oder im Idealfall alle Arbeitsmittel auch als Demonstrationsmittel im Großformat zur Verfügung stehen. Kinder können dann Arbeitsaufträge, Aufgabenstellungen und Erklärungen, die von der Lehrkraft am Demonstrationsmaterial verdeutlicht werden, sofort am eigenen Material nachvollziehen und auch ihre am eigenen Material erarbeiteten Lösungswege und Überlegungen mithilfe des Demonstrationsmaterials der ganzen Klasse vorstellen. Dies ist effektiver als eine rein verbale Präsentation. Hierzu werden für das 2. Schuljahr folgende auf die Arbeitsmittel der Kinder abgestimmte Demonstrationsmaterialien angeboten: – Einmaleins-Tafel (Poster, 84 cm x 119 cm (A0), stabiles Kunststoffpapier) – Einmaleins-Plan (Poster, 84 cm x 119 cm (A0), stabiles Kunststoffpapier) Diese Materialien sind sehr haltbar und können jahrelang verwendet werden. Die Einmaleins-Tafel kann auch auf einem großen Bogen Tonpapier aufgezeichnet werden, wobei man die Farbgebung der Felder durch die Farbe der eingetragenen Aufgaben ersetzen kann (rote Felder rot beschriften, blaue blau, …, weiße Felder schwarz). Nach Möglichkeit sollte man die Kinder an der Herstellung beteiligen. Arbeits- und Demonstrationsmittel im Band 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
9 Dieser Abschnitt ist folgendermaßen aufgebaut: Jedem Themenblock ist eine Doppelseite vorangestellt, auf der die mathematischen und didaktischen Grundlagen erklärt werden. Anschließend werden Praxishinweise zu den einzelnen Seiten des Themenblocks gegeben. In der Fußzeile wird verwiesen auf anschließende Seiten im Arbeitsheft, im Förderheft, in den Heften „Verstehen und Trainieren“, „Probieren und Kombinieren“, „Vernetzen und Automatisieren“, die Rechenkartei bzw. die App „Blitzrechnen“ sowie auf weitere Zusatzmaterialien (z. B. „Die Denkschule“). Es sei an dieser Stelle noch einmal angemerkt, dass die Aufgabenstellungen im Arbeitsheft und auch die Aufgaben im Heft „Verstehen und Trainieren“ im Schulbuch erarbeitet werden. Daher eignen sich diese Hefte gut für Hausaufgaben. Hinweise zu den Doppelseiten im Schulbuch Übersicht über die Werkteile Das ZAHLENBUCH für das 2. Schuljahr Schulbuch Kopiervorlagen Arbeitsheft Förderkommentar Lernen Förderheft Förderkommentar Sprache Begleitband Arbeitsmittel (Beilagen) im 5er-Pack Weitere Materialien für das 2. Schuljahr Übungsmaterialien Arbeitshefte zum Fördern und Fordern Software Verstehen und Trainieren 2 Blitzrechensoftware 1/2, Einzelplatzversion Probieren und Kombinieren 2 Blitzrechensoftware 1/2, Netzwerkversion Vernetzen und Automatisieren 2 Blitzrechnen 2-App für I.OS Igel-Übungsheft 2 – Sicher im Zahlenraum bis 100 Igel-Übungsheft 2 – Sicher rechnen Igel-Übungsheft 2 – Forschen und Finden Karteien Lernspiele Blitzrechnen 2 – Basiskurs Zahlen (bis 100) Spiegeln mit dem Spiegel Sachrechnen im Kopf 1/2 – Basiskurs Größen Die Denkschule 1/2 1×1-Karten Arbeits- und Demonstrationsmaterial Wendeplättchen, 1 500 Stück, Klassensatz Einspluseins-Tafel, Poster (84 cm x 119 cm), Kunststoffpapier Wendeplättchen (Metallbox) Einmaleins-Tafel, Poster (84 cm x 119 cm), Kunststoffpapier Wendeplättchen, magnetisch (Metallbox) Einmaleins-Plan, Poster Wendeplättchen, Demonstrationsmaterial, magnetisch Hunderterrahmen aus Holz Digitale Unterrichtshilfen Digitales Kopiervorlagen-Paket Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
10 2 Inhalt Wiederholung und Vertiefung AH ■ Plus und Minus 6 3 ■ Einspluseins und Einsminuseins 8 4 ■ Muster legen 10 6 ■ Kraft der 10 12 7 ■ Mit Geld rechnen 14 8 ■ Zahlen zerlegen in Zehner und Einer 16 9 ■ Rückblick 18 10 ■ Forschen und Finden: Zufallsexperimente 19 11 Körper ■ Figuren unterscheiden und legen 20 12 ■ Körper in der Umwelt 22 13 Orientierung im Hunderterraum ■ Die Zahlen bis 100 24 14 ■ Das Hunderterfeld 26 15 ■ Die Zahlenreihe bis 100 28 16 ■ Der Rechenstrich 30 17 ■ Ergänzen bis 100 32 18 ■ Rückblick 34 19 ■ Forschen und Finden: Die Hundertertafel 35 Geld und Längen ■ Geldwerte 36 21 ■ Meter, Dezimeter und Zentimeter 38 22 Plusaufgaben im Hunderterraum ■ Einfache Plusaufgaben 40 23 ■ Verdoppeln und Halbieren 42 24 ■ Schwierige Plusaufgaben 44 25 ■ Aufgaben am Rechenstrich 48 27 ■ Rückblick 50 28 ■ Forschen und Finden: Zahlenmauern 51 29 Figuren und Körper ■ Falten - Schneiden - Legen 52 ■ Würfelgebäude 54 30 Minusaufgaben im Hunderterraum ■ Einfache Minusaufgaben 56 31 ■ Schwierige Minusaufgaben 58 32 ■ Aufgaben am Rechenstrich 62 34 ■ Abziehen und Ergänzen 64 35 ■ Rückblick 66 36 ■ Forschen und Finden: Rechenketten 67 37 Symmetrie ■ Spiegeln 68 38 Einführung der Malaufgaben ■ Malaufgaben in der Umwelt 70 39 ■ Malaufgaben legen und erklären 72 42 ■ Tauschaufgaben und Quadrataufgaben 74 43 ■ Einfache Malaufgaben 76 44 ■ Einfache und schwierige Malaufgaben 78 45 ■ Schwierige Malaufgaben 80 47 ■ Rückblick 82 48 ■ Forschen und Finden: Zahlenraupen 83 49 Sachaufgaben ■ Einkaufen und bezahlen 84 50 ■ Mit Geld rechnen 86 51 Inhalt des Schulbuchs Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
11 3 Malreihen AH ■ Zweier-, Fünfer und Zehnerreihe 88 52 ■ Dreier- und Sechserreihe 90 54 ■ Vierer- und Achterreihe 92 56 ■ Neuner- und Siebenerreihe 94 58 ■ Die Einmaleins-Tafel 96 60 ■ Rückblick 98 61 ■ Forschen und Finden: Maltabellen 99 62 Sachaufgaben ■ Skizzen erstellen 100 63 Einführung der Geteiltaufgaben ■ Messen und Teilen in der Umwelt 102 64 ■ Umkehraufgaben 104 66 ■ Teilen an Malreihen 106 68 ■ Rückblick 108 70 ■ Forschen und Finden: Rechenketten 109 71 Sachaufgaben ■ Sachrechnen 110 72 ■ Legen und Überlegen 112 73 Pläne ■ Sitzpläne 114 74 ■ Straßenpläne 116 75 Aufgaben vergleichen ■ Gleichungen 118 76 ■ Rechenwege bei Plusaufgaben beschreiben 120 77 ■ Rechenwege bei Minusaufgaben beschreiben 122 78 ■ Rechendreiecke 124 79 ■ Teilen mit Rest 126 80 ■ Rückblick 128 81 ■ Forschen und Finden: Zahlenmuster 129 82 Sachaufgaben, Daten und Darstellungen ■ Maße im Alltag und in der Natur 130 ■ Zahlen in der Klasse 132 83 ■ Maße am Körper 134 84 ■ Stunden, Minuten und Sekunden 136 85 Ausblick auf den Tausenderraum ■ Die Zahlen bis 1 000 138 86 Miniprojekte Bald ist Weihnachten 140 Bald ist Ostern 142 87 Kennzeichnung für Lehrkräfte Zentrale fachliche Konzepte: ■ Zahlen und Daten ■ Operationen ■ Größen ■ Ebene und Raum AH weist auf Seiten im Arbeitsheft hin. In den Fußzeilen ausgewiesene prozessbezogene Kompetenzbereiche: M Modellieren O Operieren K Kommunizieren und Begründen P Problemlösen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
12 Nach den Ferien werden sich gewiss viele Kinder nicht an alle Einsichten und Kenntnisse erinnern, die im ersten Schuljahr grundgelegt wurden. Daher müssen die wesentlichen Grundlagen aus dem ersten Schuljahr zu Beginn der zweiten Klasse wiederholt werden. Aufgrund der heterogenen Lernvoraussetzungen der Kinder ist es wichtig, dass sich der Unterricht dabei auf wenige mathematische Grundideen konzentriert und damit die wesentlichen fachlichen Grundlagen zugleich aufrecht erhält und stetig vertieft. Aus dieser Perspektive kann es sogar förderlich sein, wenn sich die Kinder nicht an jedes Detail der ersten Klasse erinnern können, weil sie nun mit etwas Distanz und auf die wesentlichen Strukturen der Arithmetik des ersten Schuljahres konzentriert ihr Zahl- und Operationsverständnis aufarbeiten und vertiefen können. Genau das ist die Intention dieses Abschnitts, wobei im Mittelpunkt zwar das Einspluseins und seine Umkehrung stehen, die anderen wesentlichen Grundlagen aber nicht ausgeklammert werden sollen. Der Zahlbegriff In der zweiten Klasse wird der Zahlenraum bis 100 erarbeitet. Auch, wenn sich viele Kinder in den zweistelligen Zahlen schon zu Beginn des zweiten Schuljahres überraschend sicher bewegen können, bereitet der Übergang anderen Kindern Schwierigkeiten. Das liegt daran, dass die Erweiterung des Zahlenraums mit einer Vertiefung des Zahlbegriffs einhergeht: Während man die ersten 20 natürlichen Zahlen noch mit der Idee der Zahlenreihe allein bewerkstelligen kann, ist eine Orientierung im Hunderterraum ohne ein Verständnis vom dezimalen Stellenwertsystem zum Scheitern verurteilt. Aus diesem Grund wurde in der ersten Klasse wiederkehrend betont, dass die Zerlegung einer zweistelligen Zahl in Zehner und Einer wesentlich ist (etwa bei den verwandten Aufgaben). Zur Vorbereitung des Sprungs in den Hunderterraum wird diese Idee hier bereits ausgeführt, wobei der Zwanzigerraum vorsichtig und ganz bewusst überschritten wird: Erstens werden größere Zahlen untersucht und die Kinder können feststellen, dass man für ihre Erfassung in Zehnerbündeln bereits ausreichende Zahlkenntnisse in der ersten Klasse erworben hat. 12 1 Zehner als neue Einheit (geordnete Darstellung von 10 Einern, Zehnerpack) herausstellen. 2 Schnelles Sehen von Anzahlen hervorheben. Unterschied zwischen 1 Zehner und 10 Einern bewusst machen. 3 Zahlen gemeinsam lesen. ■ (K, O) Kraft der 10 Beschreibt. 1 Wie viele Zehner sind es? Wie viele Einer sind es? 2 3 f) Wie viel sind 10 Zehner? Zeichne. zehn zwanzig dreißig vierzig fünfzig sechzig siebzig achtzig neunzig hundert 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Zählt vorwärts und rückwärts. c) b) a) e) d) 2a) 2 Zehner = 2 0 Einer Buch_Zahlenbuch_SB2.indb 12 24.10.2023 20:41:25 13 4 Zehner mit Zehnerstreifen nachlegen. 4 – 6 Analogie zwischen dem Rechnen mit Einern und mit Zehnern aufzeigen, „zig“ als Kürzel für „zehn“ bewusst machen (z. B. fünfzig = fünf Zehner). 7 Auf zusammengehörige Zahlen achten, möglichst lange Aufgaben zu einer Ergebniszahl finden. ■ (K, O) Arbeitsheft, Seite 7 Mit Zehnern rechnen. Wie viele sind es zusammen? Lege und rechne. 4 5 6 Rechne geschickt. 7 d) Finde solche Aufgaben mit Zehnern und rechne geschickt. 5a) 3Z+4Z=7Z 3 0 + 4 0 = 7 0 7a) 40+50−40=50 a)40+50−40 40+50−50 40+60−50 a) 9Z−4Z 90−40 a) 3Z+4Z 30+40 b) 8Z−3Z 80−30 b) 2Z+7Z 20+70 c) 7Z−5Z 70−50 c) 5Z+2Z 50+20 d) 8Z−4Z 80−40 d) 6Z+4Z 60+40 e) 10Z−5Z 100−50 c)80+20−60 70+20−20 70+30−20 b)80+ 40−40 30+ 90−30 70+100−70 c) b) a) Das sind 3 Zehner plus 2 Zehner. Das ist einfach. Ich rechne wie mit Einern. Max Karim e) 3Z+2Z 30+20 4a) 3Z+2Z=5Z 3 0 + 2 0 = 5 0 Buch_Zahlenbuch_SB2.indb 13 24.10.2023 20:41:27 4 Zehner mit Zehnerstreifen nachlegen. 4 – 6 Analogie zwischen dem Rechnen mit Einern und mit Zehnern aufzeigen, „zig“ als Kürzel für „zehn“ bewusst machen (z. B. fünfzig = fünf Zehner). 7 Auf zusammengehörige Zahlen achten, möglichst lange Aufgaben zu einer Ergebniszahl finden. ■ (K, O) Arbeitsheft, Seite 7 Mit Zehnern rechnen. Wie viele sind es zusammen? Lege und rechne. Rechne geschickt. d) Finde solche Aufgaben mit Zehnern und rechne geschickt. 3 0 + 4 0 = 7 0 a) 9Z Z a) 3Z Z b) 8Z Z b) 2Z Z c) 7Z Z c) 5Z Z d) 8Z Z d) 6Z Z e) 10Z Z c) b) a) Das sind 3 Zehner plus 2 Zehner. Das ist einfach. Ich rechne wie mit Einern. Max Karim e) 3Z Z 3 0 + 2 0 = 5 0 Buch_Zahlenbuch_SB2.indb 13 24.10.2023 20:41:27 Schulbuch 2, S. 12 Schulbuch 2, S. 13 Zweitens werden bereits Additionen und Subtraktionen von glatten Zehnerzahlen durchgeführt und den Kindern mithilfe von verschiedenen Materialien bewusst gemacht, dass man mit Zehnern rechnen kann wie mit Einern. Diese Erkenntnis beruht auf der Einsicht, dass sich Zahlen auf beliebige Einheiten beziehen lassen und ist fundamental: 4 + 3 = 7 kann bedeuten: 4 Einer + 3 Einer = 7 Einer 4 Kinder + 3 Kinder = 7 Kinder 4 Klassen + 3 Klassen = 7 Klassen 4 Meter + 3 Meter = 7 Meter 4 Zehner + 3 Zehner = 7 Zehner Auf diese Weise wird der Zahlbegriff aus der ersten Klasse aufgegriffen und behutsam weiter entwickelt. Das Einspluseins und seine Umkehrung Wie im Begleitband 1 zum Themenblock „Einführung der Addition“ ausgeführt, beruht die Addition lediglich auf zwei Rechengesetzen: – Vertauschungsgesetz (Kommutativgesetz) a + b = b + a, – Verbindungsgesetz (Assoziativgesetz) a + (b + c) = (a + b) + c. Diese beiden Gesetze erlauben es, schwierigere Plusaufgaben auf folgende Typen einfacher Plusaufgaben zurückzuführen: – Addition von Zahlen im Fünferraum, – Addition von 1, 10 (und 0) , – Ergänzen bis 10 , – Addition von 5 , – Verdopplungsaufgaben . In der Einspluseins-Tafel sind diese einfachen Aufgaben farblich hervorgehoben, wie in Klammern angegeben. Die Zurückführung von schwierigeren Aufgaben auf einfache ist eine Grundstrategie der Mathematik, die den Kindern hier erstmals begegnet. Was sie dabei lernen, hat also grundsätzliche Bedeutung für das mathematische Arbeiten. Einige Kinder erkennen den Nutzen dieser Strategie selbst, andere Kinder müssen hingeführt werden, sie zu nutzen. Die zugrunde liegende Idee der Förderung wird im Förderkommentar Lernen ausführlich dargestellt. Im ZAHLENBUCH 1 wurde die Subtraktion zunächst als eigene Rechenart eingeführt, aber sofort im Anschluss wurde der Zusammenhang zur Addition aufgezeigt: Eine Plusaufgabe und ihrer beiden Umkehrungen bedingen einander. Wenn man die Tauschaufgabe einbezieht, hat man also eine „Familie“ von vier Aufgaben (z. B. 8 + 6, 6 + 8, 14 − 6, 14 − 8). Dies kann man so interpretieren, dass die drei Zahlen 6, 8 und 14 in zwei Plus- und zwei Minusbeziehungen stehen. Wenn die Kinder diese Beziehungen verstanden haben, können sie aus 8 + 6 = 14 die Ergebnisse der zwei Minusaufgaben 14 − 6 = 8 und 14 − 8 = 6 ableiten, ohne dazu rechnen zu müssen. Dies ist der Grund dafür, dass das Einspluseins beim Lernen und bei der Automatisierung Vorrang erhält. Die Beziehung zwischen Addition und Subtraktion zu verinnerlichen, dauert einige Zeit. Erinnert werden muss auch daran, dass es bei der Subtraktion zwei Aspekte gibt: das Abziehen und das Ergänzen. Beim Ergänzen wird das Ergebnis additiv bestimmt. Zum Beispiel ist 13 − 9 = 4, da 9 + 1 = 10 und 10 + 3 = 13 sowie 1 + 3 = 4 ist. Solche Überlegungen zu verinnerlichen, dauert ebenfalls einige Zeit. Hier sollten ggf. die Blitzrechnenübungen aus dem ersten Schuljahr weiter eingesetzt werden. Da diese operativen Beziehungen aber im Hunderter- und Tausenderraum erneut angesprochen werden, haben die Kinder noch mehrfach Gelegenheit zum Verinnerlichen. Daten, Zufall und Wahrscheinlichkeit Auf der Seite „Forschen und Finden“ werden die Erfahrungen zum qualitativen Umgang mit Zufallsprozessen aus der ersten Klasse aufgegriffen und vertieft. Hierzu wird das Würfeln mit zwei Würfeln thematisiert, weil es besonders gut an die Erfahrungen mit dem Plättchenwerfen der ersten Klasse anknüpft: Während das Werfen eines Würfels zu sechs gleichwahrscheinlichen Ereignissen führt, führt die Beobachtung der Augensumme beim Werfen Themenblock Wiederholung und Vertiefung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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