α r M Mathematik verstehen Salzger | Bachmann | Germ | Riedler | Singer | Ulovec Arbeitsheft
Mathematik verstehen 4, Arbeitsheft + E-Book Schulbuchnummer: 185144 Mathematik verstehen 4, Arbeitsheft E-Book Solo Schulbuchnummer: 211390 Mit Bescheid des Bundesministeriums für Bildung vom 25. Jänner 2017, GZ BMB-5.018/0115-IT/3/2016, gemäß §14 Absatz 2 und 5 des Schulunterrichtsgesetzes, BGBl. 472/86, und gemäß den derzeit geltenden Lehrplänen als für den Unterrichtsgebrauch für die 4. Klasse an Mittelschulen und für die 4. Klasse an allgemein bildenden höheren Schulen – Unterstufe im Unterrichtsgegenstand Mathematik geeignet erklärt. Dieses Schulbuch wurde auf Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Liebe Schülerin, lieber Schüler, du bekommst dieses Schulbuch von der Republik Österreich für deine Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Umschlagfoto: Steven Swinnen / EyeEm / Getty Images; öbv, Wien Bildnachweis: S. 32.1: Peter Franc / öbv, Wien; S. 32.2: Jasmin Awad / Thinkstock; S. 32.3: Robby Schenk / Fotolia; S. 32.4: yamix / Fotolia; S. 32.5: Colourbox.com; S. 32.6: jeff giniewicz / iStockphoto.com; S. 32.7: Martina Draper, Wördern / öbv, Wien; S. 33.1: kai-creativ / Fotolia; S. 51.1: generalfmv / Fotolia; S. 53.1: senoldo / Fotolia; S. 57.1: nmann77 / Fotolia; S. 61.1: fefufoto / Fotolia; S. 73.1: Catherine Yeulet / iStockphoto.com 1. Auflage (Druck 0001) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2023 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Redaktion: Dr.in Helene Ranetbauer, Wien; Mag.a Daniela Auer-Seitz, Wien Herstellung: Ing. Bianca Mannsberger, Wien Umschlaggestaltung: Jens-Peter Becker, normaldesign GbR, Schwäbisch Gmünd Layout: Jens-Peter Becker, normaldesign GbR, Schwäbisch Gmünd Illustrationen: Mag. Adam Silye, Wien Technische Zeichnungen: Ing. Mag. Dr. Herbert Löffler, Wien Satz: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig Druck: Gerin Druck GmbH, Wolkersdorf ISBN 978-3-209-11152-4 (Mathematik verstehen AH 4 + E-Book) ISBN 978-3-209-13086-0 (Mathematik verstehen AH 4 E-Book Solo) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Mathematik verstehen Arbeitsheft Prof. Mag. Dr. Bernhard Salzger Prof.in Mag.a Judith Bachmann, MPOS Prof.in Mag.a Andrea Germ Prof.in Mag.a Barbara Riedler HS-Prof.in Mag.a Dr.in Klaudia Singer MMag. Dr. Andreas Ulovec 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Inhaltsverzeichnis I1: Zahlen und Maße 1 Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I2: Variablen, funktionale Abhängigkeiten 2 Variablen, Terme, Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3 Gleichungen und Gleichungssysteme in zwei Variablen . . . . . . . . . . 21 4 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Lösungen zum Herausnehmen I3: Geometrische Figuren und Körper 5 Die pythagoräische Satzgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 6 Die Kreiszahl π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 7 Rotationskörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 I4: Statistische Darstellungen und Kenngrößen 8 Zentralmaße und Streuungsmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Abschlussrätsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Die Handlungsbereiche sind links neben der Aufgabennummer ersichtlich. … Darstellen, Modellbilden … Interpretieren … Operieren, Rechnen … Argumentieren, Begründen D I O A 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
1 Reelle Zahlen 1 Was trifft für jede dieser Zahlen zu? Kreuze an! 3 9 __ 9 _ 25 8,004 27 _ 3 ‒1,5 ‒ 9 __ 64 3,52 ‒9,˙ 9 0 natürliche Zahl ganze Zahl rationale Zahl 2 Schreibe die Zahl – wenn möglich – in Bruchdarstellung an! Kreuze Zutreffendes an! a) 3,7 möglich: nicht möglich b) ‒12 möglich: nicht möglich c) 9_ 5 möglich: nicht möglich d) ‒0,˙ 4 möglich: nicht möglich e) 9__ 49 möglich: nicht möglich f) 0 möglich: nicht möglich 3 Schreibe die Zahl in der endlichen bzw. in der periodischen Dezimaldarstellung an! a) 1 _ 8= c) 9 __ 1 _ 16= e) ‒ 10 _ 11= g) 9 __ 81 _ 100 = b) ‒ 1 _ 9= d) ‒ 9 _ 1 _ 9= f) 7 _ 20= h) 9 __ 100 _ 81 = 4 Ein Quadrat hat die Seitenlänge a = 3 cm. Schreibe die Länge d der Diagonalen des Quadrats 1) als Wurzel aus einer reellen Zahl an: cm 2) in Dezimaldarstellung auf Hundertstel gerundet an: cm 3) in Dezimaldarstellung auf Zehntausendstel gerundet an: cm 5 Ein Rechteck hat die Seitenlängen a = 5 cm und b = 7cm. Schreibe die Länge d der Diagonalen des Rechtecks 1) als Wurzel aus einer reellen Zahl an: cm 2) in Dezimaldarstellung auf Hundertstel gerundet an: cm 3) in Dezimaldarstellung auf Zehntausendstel gerundet an: cm I D I D D O D O 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum d s Verlags öbv
6 Schreibe die Zahl 9 _ 17in Dezimaldarstellung 1) auf Hundertstel gerundet an: 2) auf Zehntausendstel gerundet an: 7 Vervollständige die Tabelle! Runde gegebenenfalls auf Hundertstel! n2 75 1 000 2n 6 14 n 1 6 n _ 2 6 24,5 9_ n 2 5,5 8 Schreibe alle Zahlen 9_ 0, 9_ 1, 9 __ 2, 9_ 3, …, 9__ 20in das jeweils zutreffende Feld! rationale Zahlen irrationale Zahlen 9 Ergänze die beiden fehlenden Zahlen korrekt und achte darauf, dass diese verschieden sind! a) 2 = 16 ( )2 = 16 d) “ § 2 = 121 _ 144 “ § 2 = 121 _ 144 b) 2 = 81 ( )2 = 81 e) 2 = 6,25 ( )2 = 6,25 c) “ § 2 = 4 _ 25 “ § 2 = 4 _ 25 f) 2 = 108,16 ( )2 = 108,16 10 Begründe, dass es keine reelle Zahl x mit x2 = ‒100 gibt! Begründung: 11 Berechne, wenn möglich, im Kopf! a) 9_ 4+ 3 9 __ 8= d) 9___ 324+ 4 9 __ 81= b) 9__ 49– 3 9 __ 27= e) 9 _ 1 _ 4 + 3 9 _ 1 _ 8= c) 3 9 ___ 729– 9__ 196= f) 6 9 __ 64– 6 9 _ 1= D O D I O A O 4 Reelle Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
12 Berechne: 4 9 _________ 3 9 _____ 9 __ 16777216= 13 Berechne im Kopf! a) 9_ 2· 9_ 8= d) 9_ 8· 9____ 15,125= b) 9_ 3· 9__ 27= e) 9__ 32· 9__ 4,5= c) 9_ 5· 9__ 9,8= f) 9__ 3,2· 9__ 125= 14 Berechne im Kopf! a) 9__ 12 _ 9_ 3 = d) 9___ 200 _ 9_ 2 = b) 9__ 45 _ 9_ 5 = e) 9___ 405 _ 9_ 5 = c) 9__ 50 _ 9_ 2 = f) 9___ 1 440 _ 9__ 10 = 15 Sind die folgenden Aussagen richtig oder falsch? Kreuze an! richtig falsch Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten werden addiert, indem man die Wurzel aus der Summe der Radikanden zieht. Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten werden multipliziert, indem man die Wurzel aus dem Produkt der Radikanden zieht. Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten werden subtrahiert, indem man die Wurzel aus der Differenz der Radikanden zieht. Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten werden dividiert, indem man die Wurzel aus dem Quotienten der Radikanden zieht. 16 Forme den Term durch partielles Wurzelziehen um! a) 9_ 8= d) 9__ 9n= b) 9__ 63= e) 9 ____ 18a2 b= c) 9__ 275= f) 9 _____ 252 c 4d 6= 17 Beschreibe für die Umformung 9 ____ 3888= 2 9 ___ 972= 4 9 ___ 243= 12 9 __ 27= 36 9 __ 3jeden einzelnen Schritt mit eigenen Worten! O O O I D O I 1 5 Reelle Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
18 Zeichne in das gegebene Rechteck eine Diagonale d ein und gib ohne zu messen deren Länge mit Hilfe einer Wurzel an! a) c) d = d = b) d) d = d = 19 Stelle die Zahl 9 __ 13mit Hilfe der grafischen Vorgabe als Punkt auf der Zahlengeraden dar! 20 Stelle die Zahl 2 9 __ 10mit Hilfe der grafischen Vorgabe als Punkt auf der Zahlengeraden dar! 21 Ermittle die Dezimaldarstellung der Zahl 3 9 __ 3auf eine Nachkommastelle gerundet und begründe, dass diese Zahl als Maßzahl im nebenstehend abgebildeten rechtwinkeligen Dreieck vorzufinden ist! 3 9 __ 3≈ Begründung: O 4 cm 2 cm 5 cm 2 cm 6 cm 3 cm 2 cm 3 cm D O 0 1 2 3 4 5 6 D O 0 1 2 3 4 5 7 8 6 I A 6 Reelle Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
22 Runde das Ergebnis sinnvoll und erkläre, warum du gerade so gerundet hast! a) Ein rechteckiger Garten hat einen Flächeninhalt von 327m2. Der Garten ist 21m lang. Berechne die Breite des Gartens! Rechnung und gerundetes Ergebnis: Erklärung: b) Die Länge der Strecke Steyr – Graz ist in einem Straßenatlas mit 194 km angegeben. Die Strecke Steyr – Gmunden beträgt nur ca. ein Drittel dieser angegebenen Länge. Berechne die Länge der Strecke Steyr – Gmunden! Rechnung und gerundetes Ergebnis: Erklärung: c) Für ein Holzregal soll ein zwei Meter langes Holzbrett in sieben gleich lange Teile für die Einlagebretter gesägt werden. Berechne die Länge eines solchen Einlagebretts! Rechnung und gerundetes Ergebnis: Erklärung: d) Haare können je nach Farbe und Erdregion verschiedene Durchmesser haben. Menschen in Asien haben meist schwarze Haare mit einem Durchmesser bis zu 0,14mm. Menschen in Europa hingegen können feine Haare mit einem Durchmesser von nur 0,021mm haben. Berechne das arithmetische Mittel aus diesen beiden Maßen für die Angabe der durchschnittlichen Dicke eines Menschenhaares! Rechnung und gerundetes Ergebnis: Erklärung: 23 Ergänze den Text durch korrektes Zuordnen der Begriffe! Ist eine Zahl , so sie gerundet werden, wenn man sie in angeben möchte. Ist eine Zahl , so kann sie keine Nachkommastellen aufweisen oder gerundet werden, wenn man sie in angeben möchte; sie kann aber auch eine haben und daher besser in angeschrieben werden. Dezimaldarstellung muss Periode Bruchdarstellung rational kann Dezimaldarstellung irrational 24 Stelle durch Erweitern oder partielles Wurzelziehen die Zahl so dar, dass der Nenner rational ist! a) 1 _ 9_ 2 = d) 9_ 3 _ 9__ 12 = b) 5 _ 9_ 3 = e) 9__ 18 _ 9__ 32 = c) 10 _ 2 9_ 5 = f) 49 _ 9_ 7 = O A I D 1 7 Reelle Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
25 Gib c in der Form x ± y an! a) 29 ª c ª 31 d) 0,12 ª c ª 0,38 b) 75 ª c ª 80 e) 5,8 ª c ª 5,9 c) 3,7 ª c ª 4,3 f) 14,005 ª c ª 14,0055 26 Gib d in Form einer Ungleichungskette an! a) d = 9 ± 0,5 d) d = 0,4 ± 1,9 b) d = 14 ± 1,12 e) d = 20,01 ± 5,67 c) d = 52,1 ± 0,15 f) d = 99,999 ± 10,001 27 Sind die Aussagen richtig oder falsch? Kreuze an! richtig falsch Die Zahl 3 ist eine untere Schranke der Zahl 9__ 15. Die Zahl 5 ist die kleinste obere Schranke der Zahl 9__ 24. Die Zahl 9_ 2hat keine untere Schranke, die kleiner als 0 ist. Jede Zahl, die größer als 10000 ist, ist obere Schranke der Zahl 9___ 1 000. Die einzige obere Schranke der Zahl 4 9_ 5ist 9. 28 Wähle für die gekennzeichnete Zahl eine untere und eine obere Schranke aus, markiere diese Teilmenge auf der Zahlengeraden und vervollständige sowohl die Ungleichungskette als auch die Intervallschreibweise! a) ª 9 _ 7ª 9 _ 7* [ ; ] b) ª 9__ 53ª 9 __ 53* [ ; ] c) ª 9__ 0,2ª 9 ___ 0,2* [ ; ] d) ª ‒ 13 _ 14ª ‒ 13 _ 14 * [ ; ] e) ª ‒2,˙ 3ª ‒2,˙ 3* [ ; ] f) ª 1 _ 7ª 1 _ 7 * [ ; ] D D I D 0 -1 1 2 3 4 5 6 7 √7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √53 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 √0,2 -1,4 -1,2 -1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 13 14 ‒ -2,38 -2,4 -2,36 -2,34 -2,32 -2,3 - 2,3 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 1 7 8 Reelle Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
29 Überprüfe, ob für die beiden reellen Zahlen 9 __ 5und ‒ 2 _ 7das Kommutativgesetz 1) der Addition, 2) der Multiplikation gilt! 1) 2) 30 Überprüfe, ob für die drei reellen Zahlen 9 __ 3, ‒ 3 _ 2und 8,25 das Assoziativgesetz 1) der Addition, 2) der Multiplikation gilt! 1) 2) 31 Gegeben sind die reelle Zahl r und vier Elemente aus den Gesetzmäßigkeiten für reelle Zahlen. Ordne jedes Element dem jeweils entsprechenden Begriff zu, indem du den zutreffenden Buchstaben einträgst! neutrales Element bezüglich der Addition A 1 neutrales Element bezüglich der Multiplikation B ‒r inverses Element bezüglich der Addition C 1 _ r inverses Element bezüglich der Multiplikation D 0 32 Überprüfe, ob für die drei reellen Zahlen 9 __ 5, ‒ 9 __ 6und 9 _ 7das Distributivgesetz gilt! 33 Berechne geschickt! a) 9 __ 18· 9 __ 2– “ 1 _ 3 + 5 2 _ 9 § 6 __ 3· 9 ____ 5 – 1 = b) 1 _ 8· “ 5 9 _ 3– 9__ 75 § + 9_ 2+ 9_ 2 __ 2 · 3 9 _ 2= c) “ 9__ 64 _ 9_ 8 § 2 · 5 _ 12 – 9__ 80 _ 9_ 5 · 1 _ 4= d) 2,25· “ 2 _ 3– 1,˙ 3 § 2 – 8 “ 9 _______ 202 – “ 14 9 2 § 2 § 2 = O A O A I O A O 1 9 Reelle Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
34 Ergänze in der Abbildung die Bezeichnungen der beiden fehlenden Zahlenmengen! 35 Welcher Zahlenmenge gehört das Ergebnis der Rechnung an? Berechne und kreuze danach die zutreffende(n) Menge(n) an! a) 7,5 + 8,2 – 16,7 = N Z Q R b) 9,25 – 13 3 _ 4+ 6,5 = N Z Q R c) 3· 5 _ 9· “ 9 __ 56– 2 9__ 14 §= N Z Q R d) 2 9 __ 2+ 3 9 __ 3+ 4 9 __ 4= N Z Q R e) 2 _ 3 – 5 _ 3 – 4, 3˙ + 1 = N Z Q R f) 2·3·42·5· 9__ 17= N Z Q R 36 Frau Sinnreich besitzt einen Acker, der 84,6m lang und 27,2m breit ist. Da in diesem Bereich eine neue Straße gebaut werden soll, soll ihr von der Gemeinde in einiger Entfernung ein flächeninhaltsgleicher quadratischer Acker zur Verfügung gestellt werden, der eine Seitenlänge von 48m hat. 1) Kann Frau Sinnreich diesem Tausch guten Gewissens zustimmen? Ja. Nein. 2) Wer profitiert von diesem Tausch etwas mehr, Frau Sinnreich oder die Gemeinde? Begründe die Antwort! 3) Rechne ganz genau: Welcher Zahlenmenge bzw. welchen Zahlenmengen gehört die Maßzahl des Flächeninhalts des rechteckigen Ackers an? Trifft das auch für die errechnete Seitenlänge des quadratischen Ackers zu? 37 Herr Prokesch beschleunigt mit seinem Motorrad annähernd konstant vom Stand weg. Die Beschleunigung ist mit a ≈ 4,63m/s2 gegeben. Berechne seine Geschwindigkeit v zu dem Zeitpunkt in km/h, an dem er bereits s = 83,˙ 3m zurückgelegt hat, und runde sinnvoll! Verwende dazu die Formel v = 9____ 2·a·s! Q N D O I O I A D O 10 Reelle Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
2 Variablen, Terme, Gleichungen Termstrukturen 38 Ordne die angegebenen Terme gemäß ihrer Grobstruktur zu! a3 – 27 a + 3 _ b – 2 (3 a – 5 b ) · b (x + y) 2 – z2 c _ 3 + d _ 4 “ 1 _ x – 1 _ y §· (x + y) a 4 – b 2 _ 36 a 2(a – b) + b2 (b – a) 5 x : 3 x _ y 4 (a – b c) (2 a) 3 · 2 a 24 x : 16 a 5 a + 3 b 3 (a + b) 2 x _ 3 6 + a b m2 – 2 n a r – a s 3 a b + 4 c x _ 3– 1 Summe Differenz Produkt Quotient 39 Schreibe zu der angegebenen Termstruktur zwei Beispiele an! a) A·B b) A·B + C c) A + B·C d) A·(B + C) e) (A – B)·C f) A _ B– C g) A + B _ C 40 Führe den Term der Grobstruktur A·B + A·C durch Herausheben in die Struktur A·(B + C) über! a) 12a + 6b e) 16 x + 16 b) 16 x2 – 24 f) 8 – 6 t c) 2ab – 6b g) 18 x2 – 18 x d) 14 x2 – 21 x h) 12a3 + 12a I D I D 11 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
41 Gib den Faktor an, der herausgehoben worden ist! a) 20 + 15a = ·(4 + 3a) e) ‒6 x – 3 y = ·(2 x + y) b) 2ab – a c = ·(2b – c) f) ‒18b2 – 9b = ·(2b + 1) c) 1 _ 2x – y = ·(x – 2 y) g) 4 _ 3 m – 1 _ 3n = ·(4m – n) d) x + 1 _ 3= ·(3 x + 1) h) ‒ 5 _ 6x 2 – 5 _ 6= ·(x 2 + 1) 42 Jeder dieser Terme hat die Struktur A·B + C. Gib für A, B und C mögliche Terme an, welche die angeführte Termstruktur ergeben! a) 3ab + 5 A: B: C: b) 2 x y – z _ 2 A: B: C: c) m _ 3 – n _ 2 A: B: C: d) 2 x _ 3 + 4,5· y _ z A: B: C: 43 Welche Terme sind zu dem angegebenen Term gleichwertig? Kreuze an! a) 2 (a + b) + 4 c 2a + 2b + 4 c 2 (a + b + 2c ) 2 (a + b + 4 c) b) x y + z + x z x (y + z + 1) x (y + z) + z x y + z (x + 1) c) 10 + 5a _ 2 10 + 5a __ 2 5 “ 2 + a _ 2 § 10 “ 1 + a _ 4 § d) p _ 10 – 2q 1 _ 10(p – 20q) p “ 1 _ 10– 2 § – 1 _ 5 “ 10q – p _ 2 § Terme addieren und subtrahieren 44 Vereinfache den Term so weit wie möglich! a) 5a – 3a + 7a – a = c) x2 + 3 x2 – 7x2 + x2 = b) 4ab – 8ab + 3ab – 2ab = d) e f – 3e f + 6e f + 7e f = 45 Vereinfache den Term so weit wie möglich! a) x2 + 4 x2 + (16 x2 – 3 x2 + 23 x2) = b) 16a2 b – (24a2 b + 8a2 b – 6a2 b + 12a2 b) = c) 1 _ 2x y 2 – “ 3 _ 2x y 2 + 5 _ 2x y 2 – 7 _ 2x y 2 + x y2 §= d) 0,14e f – 0,96e f + (e f – 0,23e f – 0,17e f) = e) 9 c3 d + 1 _ 2c 3 d – (0,25 c3 d – 2 c3d ) = f) (pq4 – 3pq4) + (8pq4 + 3pq4) – (7pq4 + 5pq4) = g) 0,˙ 3r5 – (1,˙ 6r5 + 0,˙ 9r5 – 2,˙ 3r5) = O I D I I D O D O 12 Variablen, Terme, Gleichungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
46 Vereinfache den Term so weit wie möglich! a) 2ab c – 4abd + 8ab c + 4abd = b) 3u2 v + 4u v2 – 6u2 v + 6u v2 = c) 1 – (x2 – y2 – 29 x2 – 59 y2) = d) ‒ 1 _ 2x 2 + 1 _ 2 “ x 2 – y2 + 3 _ 2y 2 §= 47 Gib einen möglichst einfachen Term für den Umfang u und den Flächeinhalt A der abgebildeten Figur an! a) b) u = u = A = A = Terme multiplizieren 48 Welche Umformung ist korrekt? Kreuze an! a) 4 x·x 5 x 4 x2 2 x2 4 x + 1 b) 4a·2b2 8ab2 6ab2 8a2 b2 8 (ab)3 c) 4 x3·3 x2 7x5 7x6 12 x6 12 x5 d) ‒ 1 _ 4e·16 f 4e f ‒4e f 4 (e f) 2 (‒4e f)2 49 Stelle als eine einzige Potenz dar! a) a 5· a 7= d) (‒4)2·(‒a)2 = b) 4·(3a2) = e) a3·(‒b)2 = c) (‒b)·b2 = f) 4a2·5a = 50 Stelle als ein Monom (als einen eingliedrigen Term) dar! a) x2·(‒x)·y = d) 1 _ 2a 3·4a = b) 5·x2·(‒y)2 = e) 3 _ 4s·(‒s) 2 = c) 24 x2· 1 _ 2y 2 = f) “ ‒ 2 _ 5b § 2· b = D O D I x x 2 x 4 x 2x 4x I D D 2 13 Variablen, Terme, Gleichungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
51 Stelle als Summe bzw. Differenz dar! a) 2 (a + 3b) + 4 (2a – 7b) + 6 (a + b) = b) 1 _ 2(x 2 + x) + 2 (x2 – x) + 1 _ 2 (x + 1) – 3 _ 2(x 2 + 1) = c) 2 _ 5 x (x + 1) – 1 _ 5 x (x – 1) – 3 _ 5(x 2 + x) = 52 Multipliziere und fasse, wenn möglich, zusammen! a) (2a + 3)(4a + 1) = c) (2b – 3)(4b – 4) = b) (3 x + 1)(4 x – 2) = d) (x2 + x)(x3 – 1) = Die binomischen Formeln 53 Stelle als Summe bzw. Differenz dar! a) (a + 4)2 = c) (2 x – 3 y)2 = e) (a + 3)(a – 3) = b) (2 x + 1)2 = d) (3 x2 – 1)2 = f) (2b + 1)(2b – 1) = 54 Stelle als Summe bzw. Differenz dar! a) “ x _ 2+ 1 § 2= c) “ 2 x _ 3 – 1 _ 3 § 2= e) “ x + 1 _ 2 §· “ x – 1 _ 2 §= b) “ 2a _ 3 + 3 § 2= d) “ b _ 2 – 1 _ 2 § 2= f) “ 2 _ 3 a – 1 _ 3b §· “ 2 _ 3 a + 1 _ 3b §= 55 Stelle den Term als Produkt dar! a) x2 + 2 x y + y2 = c) a2 – 8a + 16 = b) b2 + 2b + 1 = d) 4 x2 + 12 x + 9 = 56 Stelle den Term als Produkt dar! a) x2 – y2 = c) 100a2 – 64b2 = b) x2 – 81 y2 = d) 16 x 4– 9 y2 = 57 Ergänze die Gleichung unter Beachtung der binomischen Formeln! a) ( + y)2 = + 2 x y + b) (2a – )2 = – + 16b2 c) ( + 3)2 = + 12b + d) (a – )2 = – + 1 _ 4b 2 D D O D O D O D O D O O I 14 Variablen, Terme, Gleichungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Mit Bruchtermen arbeiten 58 Ermittle, wenn möglich, den Wert jedes Bruchterms für den jeweils angegebenen Wert der Variablen! Bruchterm x = ‒2 x = ‒1 x = 0 x = 1 x = 2 1 _ x 1 _ x – 2 2 x _ x – 2 1 _ x2 2 x _ (x – 2) 2 1 _ 2 + x x _ x2 + 1 3 _ 1 – x2 59 Gib die Zahl(en) an, welche die Variable(n) im Nenner nicht annehmen darf (dürfen)! a) 12a _ a – 4 d) 75e2 __ f2 (e2 – 1) b) 16 x 2 _ x2 – 1 e) 1 _ 3 + x2 c) x + y __ a (a + 2) f) 2 y _ 8 + y3 Erweitern und kürzen 60 Erweitere so, dass sich ein äquivalenter Bruchterm ergibt! Welche Bedingungen muss die Variable (müssen die Variablen) erfüllen? a) 3 _ a = 3b _ c) b c _ 2 = 2ab c ____ e) 8pq _ p2 = 32p2 q2 _____ b) 9 x _ 4 y = _ 4 x y d) 2 x 2 = 16 x2 y z _____ f) 1 _ x + 2 = 2 ___ 61 Welcher der Bruchterme kann durch Erweitern entstehen? Kreuze an! a) 2 _ x 2 x _ x2 2a __ a x 4 _ x2 2 x _ x + 1 2 (x + 1) __ x2 + x b) 3 _ x + 1 6 __ 2 (x + 1) 3 x _ x2 + x 3 (x – 1) __ x2 – 1 6 x _ x 2+ x 3 (x + 1) __ (x + 1)2 c) x + y ___ x – y x2 + y2 _ x2 – y2 (x + y)2 _ x2 – y2 x (x + y) __ x (x – y) x2 – y2 _ (x – y) 2 2 x + y _ 2 x – y d) 4 x 2 – 1 _ 4 x2 8 x 2 – 1 _ 8 x2 8 x 2 – 2 _ 8 x2 4 x 3 – x _ 4 x3 4 x 2 – 4 _ 8 x2 4 x 2 – 4 _ 4 x2 O O I D O I 2 15 Variablen, Terme, Gleichungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
62 Kürze so, dass sich ein äquivalenter Bruchterm ergibt! Welche Bedingungen muss die Variable (müssen die Variablen) erfüllen? a) 2a _ a2 = 2 ___ c) 3a 2 b c _ abd = 3a c ___ e) 3 x + 6 _ 4 x + 8= 3 ___ b) 6 x _ 9 y = _ 3 y d) 12 x y _ 6 x = 2 y ___ f) a x + a y _____ a v + aw = ____ v + w 63 Welcher der Bruchterme kann durch Herausheben oder Kürzen entstehen? Kreuze an! a) 4 x2 y _ 8 x2 y z x2 y _ 2 x2 y z y _ 2 y z 1 _ 2 z y _ 2 z x2 y _ x2 y z b) 2 x + 2 _ 3 x + 3 2 (x + 1) __ 3 (x + 1) 2 _ 3 x + 2 _ x + 3 x _ x + 1 2 x + 1 _ 3 x + 1 c) 4a 2 + 4a __ 2a2 + 2a 4 (a2 + a) __ 2 (a2 + a) 2 2a 4a _ 2a 2 2 (a + 1) __ a + 1 d) x 3 – x __ x (x + 1)2 x – 1 _ x + 1 x + 1 _ x – 1 1 _ x + 1 x (x – 1) __ x (x + 1) x (x2 – 1) __ x (x + 1)2 Bruchterme addieren und subtrahieren 64 Berechne, vereinfache das Ergebnis so weit wie möglich und beachte, welche Bedingung(en) gelten muss (müssen)! a) 4 x _ x – 1 + 8 x2 _ x – 1 = b) 4a + 3 _ a2 – 1 – 2a – 3 _ a2 – 1 = c) 4 _ 3 x + 5 _ 2 x – 7 _ 6 x= d) 2 _ x – 2 + 4 _ (x – 2)2 = 65 Katharina schreibt folgende Termumformung an: 3 _ a – 1 – 5 _ a – 2 = 3 (a – 2) __ (a – 1)(a – 2) – 5 (a – 1) __ (a – 1)(a – 2) = 3a – 6 – 5a – 5 ___ (a – 1)(a – 2) = ‒2a – 11 __ (a – 1)(a – 2) Begründe durch genaue Angabe des Fehlers, dass diese Termumformung falsch ist! 66 Alexander schreibt folgende Termumformung an: n _ n2 – 1 + 3n _ n – 1 = n (n + 1) __ (n – 1)2 + 3n (n – 1) __ (n – 1)2 = n 2 + n + 3n2 – 3n ___ (n – 1)2 = 4n 2 – 2n __ (n – 1)2 Begründe durch genaue Angabe des Fehlers, dass diese Termumformung falsch ist! D O I D O A A 16 Variablen, Terme, Gleichungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Bruchterme multiplizieren und dividieren 67 Berechne, kürze das Ergebnis so weit wie möglich und beachte, welche Bedingung(en) gelten muss (müssen)! a) 2 x· y _ 3 x= b) ‒ 21 x 2 _ y · y2 _ 3 x= c) 3 x + 6 y __ a – 4b · 2a – 8b __ x + 2 y = d) ab __ (a + b)2 · a 2 – b2 _ a = 68 Stelle den Term als Produkt dar! a) 7t _ 6 k – 9 8 k __ 6 t + 7k = c) 2 _ c2 d + c c d 2 – d _ d3 = b) g2 h __ 6g2 + h g – h _ h2 = d) r 2 + s2 _ r2 – s2 s 2 – r2 _ r2 = 69 Victor schreibt folgende Termumformung an: b _ 3b + 6 5b + 10 __ b2 = b __ 3 (b + 2) 5 (b + 2) __ b2 = 1 _ 3 5 _ b = 1 _ 3· b _ 5 = b _ 15 Begründe durch genaue Angabe des Fehlers, dass diese Termumformung falsch ist! Alle vier Grundrechenarten bei Bruchtermen verbinden 70 Vereinfache den Bruchterm so weit wie möglich! “ a + b _ ab – a – b _ ab § “ 1 _ ab– a §= 71 Gegeben ist der Term 3 _ x2 · “ 1 _ x – 1 – 1 _ x + 1 §. Was trifft für diesen Term zu? Kreuze an! Ein möglicher gemeinsamer Nenner für den Term in Klammern ist x2 – 1. Die Grobstruktur des angegebenen Terms ist eine Differenz. Der Wert des gesamten Terms ist 0, da der Term in Klammern den Wert 0 hat. Die Bedingungen für die Variable x sind: x ≠ ‒1, x ≠ 0, x ≠ 1. Der Term kann in der Form 3 _ x3 – x2 – 3 _ x3 + x2 dargestellt werden. D O D A D O I 2 17 Variablen, Terme, Gleichungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
72 Stelle in möglichst einfacher Form dar! Beachte dabei alle notwendigen Regeln! a) “ 5 _ p2 + 7 ___ p + q – 2 ___ p – q § 3p + 7q __ p 4– p2 q2 = b) 4 _ 3a – b + 9a2 + 6ab + b2 ___ 9a + 3b · 6 __ 9a2 – b2 = Gleichungen und Formeln umformen 73 Gib die Umformungsschritte an, welche die Gleichung in die jeweils nächste überführen! a) 3 = 4 _ x ! b) 12 = 4 _ a ! c) 4 = 3 _ x – 1 ! d) 1 = 4 _ x – 2 _ x ! 3 x = 4 ! 12·a = 4 ! 4 (x – 1) = 3 ! x = 4 – 2 ! x = 4 _ 3 a = 0, ˙ 3 4 x – 4 = 3 ! x = 2 4 x = 7 ! x = 7 _ 4 74 Gib die Umformungsschritte an, welche die Gleichung in die jeweils nächste überführen! a) 11 = 5 _ x + 6 _ x ! b) 1 = 5 _ 2 x – 3 _ 2 x ! c) 3 _ 2 – 2 _ x = 1 _ 4 + 1 _ 2 x ! 11 x = 5 + 6 ! 2 x = 5 – 3 ! 6 x – 8 = x + 2 ! 11 x = 11 ! 2 x = 2 ! 5 x = 10 ! x = 1 x = 1 x = 2 75 Schreibe die Gleichung an, die nach der Umformung entsteht! a) a _ b + 1 = c _ d !·b b) a _ b + 1 = c _ d !·d c) a _ b + 1 = c _ d !·bd d) a _ b + 1 = c _ d !a 76 Welche Umformungen sind korrekt? Kreuze an! a) 2 _ a(b + 4) = c a c = 2 (b + 4) 2 _ c(b + 4) = a 2 (b + 4) _____ a c = 0 2 _ c = a _ b + 4 b) 2 x __ y – z = w 2 x – z ____ y = w 2 x __ y = w + z 2 x = y (w + z) 2 x ____ w + z= y c) a = 10 + 5b __ c a – 10 = 5b __ c a c + 10 c = 5b c = 5b _ a – 10 c _ 5(a – 10) = b d) y = x· a _ b+ x y _ x = a _ b+ 1 b y = x (a + b) y = b _ x(a + b) y _ x + 1 = a _ b D O O I O I D O I 18 Variablen, Terme, Gleichungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Bruchgleichungen lösen 77 Löse die Bruchgleichung! Welche Bedingung muss gelten? a) 24 __ x = 6 c) 5 _ 2a= 15 b) 5 _ x= 25 d) 7 _ x + 1 = 3 78 Löse die Bruchgleichung! Welche Bedingung(en) muss (müssen) gelten? a) 2 x + 6 _ x – 3 = 4 c) x + 1 _ x – 1= x + 2 _ x – 2 b) 5a – 5 _ a + 2 = 8 d) a + 4 _ 2 = a2 _ 2a + 1 79 Löse die Bruchgleichung! Welche Bedingungen müssen gelten? a) a + 2 _ a – 1– a _ a – 2 = 4 __ (a – 1)(a – 2) b) x _ x + 1 – 1 _ x – 1 = x2 _ x2 – 1 O O O 2 19 Variablen, Terme, Gleichungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Bruchgleichungen aufstellen und lösen 80 Stelle zu dem folgenden Zahlenrätsel eine entsprechende Gleichung auf und löse sie! Beachte, welche Zahl(en) die Variable nicht annehmen darf! a) 12 geteilt durch eine unbekannte Zahl x ergibt 3. Gleichung: x ≠ Lösung: b) 12 geteilt durch eine unbekannte Zahl x ergibt dasselbe wie 16 geteilt durch die um 1 verminderte Zahl. Gleichung: x ≠ Lösung: c) 4 geteilt durch die um 3 vergrößerte Zahl x ergibt dasselbe wie 6 geteilt durch die um 5 vergrößerte Zahl x. Gleichung: x ≠ Lösung: d) Die Differenz des Doppelten einer Zahl x und 8 geteilt durch die Zahl x ergibt 6. Gleichung: x ≠ Lösung: e) Der Quotient aus 4 und x, vergrößert um 4, ergibt den Quotienten aus 16 und x. Gleichung: x ≠ Lösung: f) Zwei aufeinanderfolgende Zahlen, von deren Summe der Kehrwert gebildet wird, ergeben dasselbe wie der Kehrwert der Zahl. Gleichung: x ≠ Lösung: D O 20 Variablen, Terme, Gleichungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
3 Gleichungen und Gleichungssysteme in zwei Variablen 81 Der Umfang eines Parallelogramms mit den Seitenlängen x und y sei 60. 1) Stelle eine Gleichung in den beiden Variablen x und y auf, welche alle möglichen Seitenlängen des Parallelogramms beschreibt! 2) Schreibe vier mögliche Lösungen der Gleichungen aus 1) in Form von Zahlenpaaren (x 1 y) an! ( 1 ), ( 1 ), ( 1 ), ( 1 ) 3) Führe Argumente dafür an, dass das Zahlenpaar (40 1 ‒10) Lösung der Gleichung ist, aber dennoch keine sinnvolle Lösung im gegebenen Zusammenhang darstellt! 4) Gib für x und y sinnvolle Schranken an! < x < < y < 5) Stelle alle zweckmäßigen Lösungen im nebenstehenden Koordinatensystem dar! Skaliere die Achsen! 6) Ergänze die fehlenden Koordinaten! (2,5 1 ), (12 1 ), ( 1 10,4), ( 1 20,2) 82 Herr Moro und Frau Schloffer haben einen Altersunterschied von 15 Jahren. Dabei ist Herr Moro u Jahre und Frau Schloffer ist v Jahre alt. 1) Stelle eine Gleichung in den Variablen u und v auf, welche alle Möglichkeiten des Alters der beiden Personen beschreibt! 2) Gib für u und v sinnvolle Schranken an und begründe die Wahl! < u < < v < Begründung: 3) Schreibe vier mögliche Lösungen der Gleichungen aus 1) in Form von Zahlenpaaren (u 1 v) an! ( 1 ), ( 1 ), ( 1 ), ( 1 ) 4) Stelle alle sinnvollen Lösungen im nebenstehenden Koordinatensystem dar! Skaliere die Achsen! 83 Frau Veit und ihre Urenkelin haben einen Altersunterschied von 83 Jahren. Dabei ist Frau Veit a Jahre und die Urenkelin ist b Jahre alt. 1) Stelle eine Gleichung in den Variablen a und b auf, welche alle Möglichkeiten des Alters der beiden Personen beschreibt! 2) Gib für a und b sinnvolle Schranken an und begründe die Wahl! < a < < b < Begründung: D O A y x D O A v u D A 21 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
84 Lisa baut für ihren kleinen Bruder Olaf im Garten ein kleines Schwimmbecken auf. Die beiden Kinder wollen es mit Wasser befüllen. Dazu holen sie mit Kübeln Wasser aus der Küche. Lisas Kübel fasst zehn Liter und Olaf hilft mit einem kleinen Kübel mit, in den zwei Liter Wasser passen. Das Schwimmbecken ist 60 cm lang, 120 cm breit und soll 30 cm hoch mit Wasser befüllt werden. 1) Berechne, wie viel Liter Wasser in das Becken gefüllt werden müssen! Das Becken fasst ® Wasser. 2) Lisa füllt ihren Kübel x-mal und Olaf seinen y-mal. Stelle eine Gleichung in den beiden Variablen x und y auf, welche alle Möglichkeiten dafür beschreibt, wie oft die Kinder die Kübel füllen müssen! 3) Schreibe drei der möglichen Lösungen in Form von Zahlenpaaren (x 1 y) an! Runde sinnvoll! ( 1 ), ( 1 ), ( 1 ) 4) Führe Argumente dafür an, dass Zahlenpaare, deren Koordinaten (gerundete) natürliche Zahlen sind, in diesem Zusammenhang einen Sinn haben! 5) Gib für x und y sinnvolle Schranken an! < x < < y < 6) Stelle mindestens drei zweckmäßige Lösungen im nebenstehenden Koordinatensystem dar! Skaliere die Achsen! 7) Ergänze bei (0 1 ) die fehlende Koordinate und interpretiere die Lösung! Interpretation: 85 Die Summe aller Kantenlängen des dargestellten Quaders mit den Kantenlängen a, 2a und b sei 64. 1) Stelle eine Gleichung in den beiden Variablen a und b auf, welche alle möglichen Werte beschreibt! 2) Stelle alle zweckmäßigen Lösungen im nachstehenden Koordinatensystem dar! 3) Ergänze die beiden Lösungen der Gleichung korrekt! (2,5 1 ), (5 1 ) Deute die beiden Zahlenpaare in Bezug auf die Kantenlängen des Quaders! 4) Führe Argumente dafür an, dass das Zahlenpaar (0 1 16) Lösung der Gleichung ist, aber dennoch keine sinnvolle Lösung im gegebenen Zusammenhang darstellt! D O I A y x D I A b a 2a O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 b a 22 Gleichungen und Gleichungssysteme in zwei Variablen Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv
86 Elvira zahlt für zwei Paar Würstel und drei Softdrinks 13,80€. Ein Paar Würstel kostet x€ und jeder Softdrink y€. 1) Stelle eine Gleichung in den beiden Variablen x und y auf, welche alle möglichen Preise beschreibt! 2) Wähle ein Zahlenpaar, das du in diesem Sinnzusammenhang für eine vernünftige Lösung erachtest! ( 1 ) 87 Gegeben ist eine lineare Gleichung. 1) Schreibe vier der möglichen Lösungen in Form von Zahlenpaaren an! 2) Ermittle alle Lösungen der Gleichung und stelle sie in einem Koordinatensystem dar! a) x + 2 y = 8 b) 3 x – y = 4 c) x – 4 y = 4 ( 1 ), ( 1 ), ( 1 ), ( 1 ), ( 1 ), ( 1 ), ( 1 ), ( 1 ) ( 1 ), ( 1 ) ( 1 ), ( 1 ) 88 In der Grafik sind alle Lösungen einer linearen Gleichung in zwei Variablen dargestellt. 1) Vervollständige die dazu passende Gleichung! 2) Die angegebenen Zahlenpaare (x 1 y) seien Lösungen. Ergänze Fehlendes! a) b) c) Gleichung: Gleichung: Gleichung: + y = 200 y = x – = 0 (0 1 ) (0 1 ) (0 1 ) (‒500 1 ) (‒500 1 ) (‒500 1 ) ( 1 0) ( 1 0) ( 1 10) D I D I D I y x O 500 500 -500 -500 1000 1000 -1000 y x O 500 500 -500 -500 1000 1000 -1000 y x O 2 2 -2 -4 -2 4 6 8 4 -4 3 23 Gleichungen und Gleichungssysteme in zwei Variablen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
89 Kreuze jene linearen Gleichungen an, für die das Zahlenpaar (‒1 1 1) eine Lösung darstellt! x – y = 0 0,5 x – 0,5 y = 2 0,5 x + 0,5 y = 0 ‒3 x + 2 y = ‒5 2 x + 3 y = ‒5 90 Die in der Tabelle angegebenen Zahlenpaare (x 1 y) sind Lösungen einer linearen Gleichung in zwei Variablen. Zeichne die Zahlenpaare als Punkte in ein Koordinatensystem ein, beschrifte und skaliere beide Achsen und gib eine passende Gleichung an! a) Gleichung: b) Gleichung: 91 Kreuze jene beiden Sachverhalte an, die durch die Gleichung 10 x – 4 y = 0 beschrieben werden könnten! Clarissa hat 2,5-mal so viele rote wie gelbe Gummibärchen. Zehn Flaschen eines Softdrinks kosten gleich viel wie vier Dosen eines Energydrinks. Anke ist um 40% größer als ihr Bruder. Wenn ich mir zehn Lutscher und vier Eisbecher kaufe, habe ich kein Geld mehr. Anke ist um 40% kleiner als ihr Bruder. 92 Gib drei lineare Gleichungen an, welche das Zahlenpaar (2 1 ‒3) als Lösung haben und zeichne alle drei in ein Koordinatensystem ein! Begründe, dass es unendlich viele lineare Gleichungen gibt, welche diese Lösung haben! Gleichung 1: Gleichung 2: Gleichung 3: Begründung: I D O I x y ‒4 12 1 2 3 ‒2 5 ‒6 x y ‒2 ‒200 0 0 1 100 2 200 I D A 24 Gleichungen und Gleichungssysteme in zwei Variablen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
93 Ermittle alle Zahlenpaare (x 1 y) mit x, y * Z –, die folgende Bedingung erfüllen: Addiert man zu 100 das Neunfache von x und das Fünffache von y, erhält man null. Gleichung: Zahlenpaare: 94 Subtrahiert man vom Doppelten einer Zahl z1 eine andere Zahl z2, so erhält man 64. Subtrahiert man vom Doppelten der Zahl z1 das Dreifache der Zahl z2, so erhält man null. 1) Stelle eine Gleichung in z1 und z2 zur ersten gemeinsamen Bedingung auf und ermittle zwei Zahlenpaare als Lösungen! “ 1 §, “ 1 § 2) Stelle eine Gleichung in z1 und z2 zur zweiten gemeinsamen Bedingung auf und ermittle zwei Zahlenpaare als Lösungen! “ 1 §, “ 1 § 3) Veranschauliche die Lösungsmengen beider Gleichungen im nebenstehenden Koordinatensystem und interpretiere das Ergebnis! 95 In zehn Jahren werden Vater und Sohn zusammen 64 Jahre alt sein. Wird das heutige Alter des Vaters durch 8 dividiert und mit 3 multipliziert, erhält man das heutige Alter des Sohnes. 1) Stelle zwei Gleichungen auf, die diese Sachverhalte beschreiben! Wähle selbst geeignete Variablennamen! Gleichung 1: Gleichung 2: 2) Veranschauliche die Lösungsmengen beider Gleichungen im nebenstehenden Koordinatensystem und interpretiere das Ergebnis! 96 Marion und Asra haben bei einem Computerspiel zusammen 78 virtuelle Figuren gesammelt. Eine Stunde zuvor hatten beide um je vier Figuren weniger, da hatte Marion sechsmal so viele wie Asra. Es sei s1 die Anzahl von Marions Figuren und s2 die Anzahl von Asras Figuren. 1) Stelle eine Gleichung in s1 und s2, auf, die beschreibt, wie viele Figuren Marion und Asra jetzt haben und ermittle zwei Zahlenpaare als Lösungen! “ 1 §, “ 1 § 2) Stelle eine Gleichung in s1 und s2 auf, die beschreibt, wie viele Figuren Marion und Asra eine Stunde zuvor hatten, und ermittle zwei Zahlenpaare als Lösungen! “ 1 §, “ 1 § 3) Veranschauliche die Lösungsmengen beider Gleichungen im nebenstehenden Koordinatensystem und interpretiere das Ergebnis! D O D O I O 10 20 30 40 50 10 20 30 40 z2 z1 D O I O 10 20 30 40 10 20 30 40 D O I O 20 40 60 80 10 30 50 70 20 40 60 80 10 30 50 70 s2 s1 3 25 Gleichungen und Gleichungssysteme in zwei Variablen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
97 Welche der Zahlenpaare sind Lösungen des linearen Gleichungssystems? Ringle den Buchstaben bei der richtigen Antwort ein! Die Buchstaben ergeben von unten nach oben gelesen das Lösungswort. Gleichungssystem Lösung Ja. Nein. Lösungswort: { 2 x – 3 y = 11 x + 2 y = 2 (7 1 1) O A { x = 2 x + y = 3 (2 1 1) R L { ‒x + 5 y = 13 y = 7 – 2 x (2 1 3) B E { 3 x = 6 y – 12 x – 2 y = 4 (2 1 ‒1) H E { 3 x – 6 y = 12 x = 2 y + 4 (6 1 1) G T { ‒3 x + 6 y = 9 ‒x + 2 y = 6 (7 1 4) A L { 2 x – 3 y = 2 3 x – 5 y = 1 (‒4 1 ‒2) M A 98 Gregor hat das folgende lineare Gleichungssystem grafisch gelöst und gibt als Lösung das Zahlenpaar (1,4 1 2) an. { 30 x – 39 y = ‒38 51 x + 15 y = 98 Sein Klassenkollege Florian erklärt ihm, dass dieses Ergebnis falsch sei. Wer hat Recht? Begründe! 99 Welche Lösungsmenge gehört zu welcher Gleichung? Ordne die Bezeichnungen L1, L2, L3 und L4 korrekt zu! 3 x – 6 y = 18 4 x + 6 y = 24 3 x + 5 y = ‒15 4 x – 5 y = ‒20 O I y x O 1 1 -1 -1 2 3 2 3 O I A y x O 2 2 -2 -4 -2 -4 4 6 4 6 L1 L2 L3 L4 I 26 Gleichungen und Gleichungssysteme in zwei Variablen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
100 Gegeben sind jeweils zwei Zahlenpaare. (‒1,5 1 ‒2), (5,5 1 5) (‒2 1 2), (0 1 ‒1) (‒3 1 1), (3 1 ‒3) 1) Diese Zahlenpaare sind Lösungen linearer Gleichungen. Ordne den Zahlenpaaren von den folgenden sechs Gleichungen die jeweils entsprechende zu! 2 x + 3 y = –3 2 x – 2 y = 1 3 x + 2 y = –2 2 x + 2 y = 1 2 x – 3 y = 3 3 x – 2 y = 2 2) Zeichne die Lösungsmengen der drei zutreffenden Gleichungen in das obenstehende Koordinatensystem ein! 3) Ermittle die Lösung des Gleichungssystems der beiden Gleichungen in den färbig unterlegten Tabellenfeldern grafisch und rechnerisch! Lösung: ( 1 ) 101 Die Zahlenpaare (‒2 1 7) und (4 1 ‒5) sind Lösungen der ersten Gleichung eines linearen Gleichungssystems. Zeichne die Lösungsmenge der ersten Gleichung in das Koordinatensystem ein! Ermittle, wenn möglich, die Lösung des Systems, wenn die zweite Gleichung folgendermaßen lautet: a) 3 x + y = 6 b) 2 x + y = 4 c) x + y = 4 102 Formuliere ein Zahlenrätsel, das zu folgendem linearen Gleichungssystem passt, und löse es! { x + y = 8 10 x + y = 10 y + x + 18 y x O 1 2 -1 -2 -3 -1 2 3 4 4 1 3 -2 -3 D O I y x O 1 2 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -1 2 3 4 5 6 7 4 5 6 7 1 3 -6 -5 -4 -3 -2 D I D I 3 27 Gleichungen und Gleichungssysteme in zwei Variablen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
103 Löse das lineare Gleichungssystem mit einer der drei rechnerischen Lösungsmethoden und trage das Ergebnis in die untenstehende Tabelle ein! a) { ‒x + 3 y = ‒13 2 x + y = 3 _ 2 c) { 10 x – 4 y = 6 ‒7x – 1,5 y = ‒ 9 _ 4 e) { ‒x + 3 y = 0 2 x – 6 y = 1 g) { 24 x + 17y = 36 ‒10 x + 5 y = ‒15 b) { y = 1 x – y = 4 d) { x = 2 y – 1 y = 1 f) { 3 y = 9 x + 3 y = 8 h) { y = 3 x – 4 3 x = 12 Nebenrechnungen: a) b) c) d) e) f) g) h) 104 Vervollständige die beiden Gleichungen, die hinter dem grafisch gelösten Gleichungssystem stehen, und überprüfe die grafische Lösung rechnerisch! a) b) c) Nebenrechnungen: { ‒x + = 1 + y = 3 { + y = 5 3 x + = 3 { x + = ‒4 ‒2 x + y = Lösung: Lösung: Lösung: O O I y x O 1 1 -1 -1 -2 2 3 2 3 4 Gleichung 2 Gleichung 1 y x O 1 1 -1 -2 2 -3 2 3 4 5 Gleichung 1 Gleichung 2 y x O 1 1 -1 -2 -1 -2 -3 -4 -5 -6 2 3 4 Gleichung 1 Gleichung 2 28 Gleichungen und Gleichungssysteme in zwei Variablen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
105 Finde drei Gleichungssysteme, von denen eine Information zur Lösung bekannt ist! a) Lösung: (2 1 2) { { { b) keine Lösung { { { c) unendlich viele Lösungen { { { Anwendungen bunt gemischt 106 Lea sagt zu ihrem Cousin Tom, der drei Jahre jünger ist: „In vier Jahren bin ich genau doppelt so alt wie du jetzt.” Erstelle ein passendes Gleichungssystem und ermittle durch Lösung des Gleichungssystems Leas und Toms Alter! Lea ist Jahre alt und Tom ist Jahre alt. 107 Von einer zweistelligen Zahl weiß man, dass die Zehnerziffer das 2,5-Fache der Einerziffer beträgt. Vertauscht man die beiden Ziffern, dann ist die ursprüngliche Zahl um 2 größer als das Doppelte der neuen Zahl. Erstelle ein zu dieser Situation passendes Gleichungssystem und verwende die Lösung zum Ermitteln der beiden Zahlen! erste zweistellige Zahl: Zahl mit vertauschten Ziffern: 108 Peter kauft zehn Becher Joghurt. Er hat acht Pfandflaschen dabei, deren Pfandwert ihm an der Kassa abgezogen werden, und er bezahlt dann noch 1,90€. Für sieben Pfandflaschen könnte er vier Becher Joghurt gratis mitnehmen. Ermittle mit Hilfe eines Gleichungssystems, wie viel ein Becher Joghurt kostet und wie viel Pfand Peter für eine Flasche erhält! Ein Becher Joghurt kostet € und das Flaschenpfand beträgt €. D I D O D O D O 3 29 Gleichungen und Gleichungssysteme in zwei Variablen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
109 „Nimmst du einem mit gleich schweren Sandsäcken beladenen Pferd einen Sack weg, so ist das Pferd so schwer wie fünf Säcke. Gibst du zum beladenen Pferd einen Sack dazu, so ist das Pferd so schwer wie mein Pferd, das 560 kg wiegt.“ Ermittle mit Hilfe eines Gleichungssystems, wie schwer das beladene Pferd ist und wie viel ein Sandsack wiegt! Das beladene Pferd ist kg schwer und ein Sack ist kg schwer. 110 Bildet man die Summe aus einer Zahl, der Hälfte der Zahl, dem Drittel der Zahl und dem Viertel der Zahl, so ist das Ergebnis eine zweite Zahl. Die Differenz aus der ersten Zahl und dieser zweiten Zahl beträgt 169. Ermittle mit Hilfe eines Gleichungssystems die beiden Zahlen! erste Zahl: zweite Zahl: 111 Karl-Heinz sagt zu Kelim: „Wenn du zwei Jahre lang jedes Jahr um 30% deiner aktuellen Körpergröße wächst, bist du so groß, wie ich jetzt bin. Wenn du drei Jahre lang jeweils um 30 cm wächst, bist du in drei Jahren um 21 cm größer, als ich jetzt bin.” Ermittle mit Hilfe eines Gleichungssystems die Größen der beiden! Karl-Heinz ist cm groß und Kelim ist cm groß. 112 Fiola fährt um 8 Uhr mit dem Moped von der Schule weg. Ihre durchschnittliche Geschwindigkeit beträgt 36 km/h. Um 8.30 Uhr folgt ihr Vater ihr mit seinem Auto. Er fährt mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 56 km/h. Wann und in welcher Entfernung von der Schule kann der Vater damit rechnen, Fiola einzuholen? Sie treffen sich um Uhr km von der Schule entfernt. 113 Anina hat zwei Kredite in einer Gesamthöhe von 40000€ aufgenommen. Für den ersten bezahlt sie 2,5% Zinsen pro Jahr, für den zweiten 4%. An Zinsen bezahlt sie pro Jahr 1 375€. Ermittle die Höhe der beiden Kredite! (Rechne hier vereinfacht mit den beiden angegebenen Jahreszinssätzen!) Kredit 1: Kredit 2: D O D O D O D O D O 30 Gleichungen und Gleichungssysteme in zwei Variablen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum es Verlags öbv
4 Funktionen 114 Vervollständige den Satz durch Einsetzen der Ausgangsgröße und der zugeordneten Größe! a) Eine Flasche wird mit Öl befüllt, wobei sich die Höhe des Ölstandes mit der Zeit verändert. wird genau zugeordnet. b) Je kleiner die Seitenlänge eines Quadrats, desto kleiner ist dessen Flächeninhalt. wird genau zugeordnet. c) Ein Baum wächst, wobei sich der Umfang des Stammes mit der Zeit vergrößert. wird genau zugeordnet. d) Ein Barometer an einem Ort gibt den Luftdruck zu jedem Zeitpunkt an. wird genau zugeordnet. e) Je größer die Anzahl der Säcke, die man auf einen LKW lädt, desto größer ist die Lademasse. wird genau zugeordnet. 115 Gegeben sind vier Wertetabellen, in denen einer Größe 1 eine Größe 2 zugeordnet wird. Kreuze jene Wertetabelle(n) an, in der (denen) keine Funktion dargestellt wird. Begründe die Entscheidung! Begründung: 116 Kreuze jene Zuordnungen an, die keine Funktion darstellen! Begründe jede Entscheidung! Jeder Zahl x wird die um zwei verminderte Zahl y zugeordnet. Bei einem See wird an einer Stelle jeder Tiefe h die Temperatur T zugeordnet. Jeder Katalognummer n im Klassenbuch wird die Köpergröße g der entsprechenden Person zugeordnet. Jeder Hausnummer h in Österreich wird die Anzahl a der Personen in dem Haushalt zugeordnet. Jedem Alter a einer bestimmten Person wird deren Körpergröße g zugeordnet. Jeder Seitenlänge x eines Rhombus wird ihr Umfang u zugeordnet. Jeder Telefonnummer n wird ein Volumen V zugeordnet. Begründungen: I I A Größe 1 1 5 7 Größe 2 1 2 ‒3,5 Größe 1 ‒5 1 2 Größe 2 2 2 2 Größe 1 1 3 1 Größe 2 0 1 2 Größe 1 2 2 2 Größe 2 ‒5 1 2 I A 31 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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