A B C 2 Mathematik verstehen Salzger | Bachmann | Germ | Riedler | Singer | Ulovec Arbeitsheft
Mathematik verstehen 2, Arbeitsheft Schulbuchnummer 180069 Mit Bescheid des Bundesministeriums für Bildung und Frauen vom 19. Dezember 2015, GZ 5.018/0056B/8/2015, gemäß § 14 Absatz 2 und 5 des Schulunterrichtsgesetzes, BGBl. Nr. 472/86, und gemäß den derzeit geltenden Lehrplänen als für den Unterrichtsgebrauch an allgemein bildenden höheren Schulen und Neuen Mittelschulen für die 2. Klasse im Unterrichtsgegenstand Mathematik geeignet erklärt. Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Liebe Schülerin, lieber Schüler, du bekommst dieses Schulbuch von der Republik Österreich für deine Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Umschlagfoto: nazar_ab / Getty Images - iStockphoto Fotos: S. 17: M.studio / Fotolia; S. 76: Markus Mainka / Fotolia 1. Auflage (Druck 0001) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2022 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Redaktion: Dr.in Helene Ranetbauer, Wien; Mag.a Daniela Auer-Seitz, Wien Herstellung: Pia Moest, Wien; Ing. Bianca Mannsberger, Wien Umschlaggestaltung: Jens-Peter Becker, normaldesign GbR, Schwäbisch Gmünd Layout: Jens-Peter Becker, normaldesign GbR, Schwäbisch Gmünd Illustrationen: Mag. Adam Silye, Wien Technische Zeichnungen: Ing. Mag. Dr. Herbert Löffler, Wien; Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig Karten: Freytag-Berndt u. Artaria KG, Wien Satz: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig Druck: Ferdinand Berger & Söhne Ges.m.b.H., Horn ISBN 978-3-209-11150-0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Mathematik verstehen Arbeitsheft Prof. Mag. Dr. Bernhard Salzger Prof.in Mag.a Judith Bachmann, MPOS Prof.in Mag.a Andrea Germ Prof.in Mag.a Barbara Riedler HS-Prof.in Mag.a Dr.in Klaudia Singer MMag. Dr. Andreas Ulovec 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Inhaltsverzeichnis I1: Zahlen und Maße 1 Teiler und Teilbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Zahlen in Bruchdarstellung und Dezimaldarstellung . . . . . . . . . . . . . 9 3 Relative Anteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 I2: Variablen, funktionale Abhängigkeiten 4 Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 5 Proportionalitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Lösungen zum Herausnehmen I3: Geometrische Figuren und Körper 6 Bekanntes und Neues aus der Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 7 Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 8 Vierecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 9 Vielecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 10 Das Prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 I4: Statistische Darstellungen und Kenngrößen 11 Häufigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Abschlussrätsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Die Handlungsbereiche sind links neben der Aufgabennummer ersichtlich. … Darstellen, Modellbilden … Interpretieren … Operieren, Rechnen … Argumentieren, Begründen D I O A 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
1 Teiler und Teilbarkeit Teiler, Vielfache und Teilbarkeit 1 Es sollen 30 Fahrräder so in Reihen aufgestellt werden, dass in jeder Reihe gleich viele Fahrräder stehen. Wie viele Möglichkeiten gibt es? Schreibe sie auf! Es gibt Möglichkeiten: eine Reihe, 30 Fahrräder; Reihen, Fahrräder; 2 Kreuze nur richtige Aussagen an! 2 | 56 3 | 173 4 | 46 5 ! 553 6 ! 294 9 ! 486 2 ! 87 3 ! 951 4 ! 108 5 ! 710 6 ! 801 9 ! 993 3 Kreuze an, ob die Aussagen richtig oder falsch sind, und gib jeweils ein Beispiel bzw. ein Gegenbeispiel an! richtig falsch Jede Zahl, deren Ziffernsumme durch 9 teilbar ist, ist auch durch 3 teilbar. Beispiel oder Gegenbeispiel: Jede Zahl, die durch 2 teilbar ist, ist auch durch 4 teilbar. Beispiel oder Gegenbeispiel: Jede Zahl, die durch 3 teilbar ist, ist auch durch 6 teilbar. Beispiel oder Gegenbeispiel: Jede Zahl, die an der Einerstelle 0 oder 5 hat, ist durch 5 teilbar. Beispiel oder Gegenbeispiel: 4 a) Schreibe die Teilermenge der Zahl 32 an: T32 = { } b) Schreibe die Teilermenge der Zahl 45 an: T45 = { } c) Schreibe die Teilermenge der Zahl 67 an: T67 = { } d) Schreibe die Teilermenge der Zahl 94 an: T94 = { } D O I I A D O 3 Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv
5 a) Schreibe die ersten zehn Elemente der Vielfachenmenge der Zahl 5 an: V5 = { , …} b) Schreibe die ersten zehn Elemente der Vielfachenmenge der Zahl 12 an: V12 = { , …} c) Schreibe die ersten zehn Elemente der Vielfachenmenge der Zahl 16 an: V16 = { , …} d) Schreibe die ersten zehn Elemente der Vielfachenmenge der Zahl 19 an: V19 = { , …} 6 Moritz hat in einer Schachtel 42 Spielkarten, in einer anderen 63 Spielkarten. Kann er alle Spielkarten in Stößen zu je sieben Karten stapeln, ohne dass eine Spielkarte übrigbleibt? Ja. Nein. Begründung: 7 Leonie besitzt 30 Buntstifte. Seit einer Woche malt sie damit gemeinsam mit ihren vier Freundinnen ein großes Bild, wobei jedes Mädchen gleich viele Buntstifte zur Verfügung hat. Heute entdeckt Leonie, dass sie fünf Stifte in der Schule vergessen hat. Haben alle fünf Mädchen trotzdem gleich viele Buntstifte zum Malen zur Verfügung? Ja. Nein. Begründung: 8 Eric stellt fest, dass jede Zahl, die genau aus den fünf Ziffern 4, 7, 8, 2 und 3 besteht, durch 3 teilbar ist, zB die Zahl 78324 oder die Zahl 37842 usw. Begründe diese Tatsache! 9 Ergänze den Text durch Zuordnen der Begriffe! Nur jede Zahl ist durch 2 teilbar. Nur jede Zahl mit der Einerziffer ist durch 10 teilbar. Nur jede Zahl, deren Ziffernsumme durch teilbar ist, ist durch 9 teilbar. Nur jede gerade Zahl, deren Hälfte auch eine gerade Zahl ist, ist durch teilbar. Nur jede gerade Zahl, die durch teilbar ist, ist auch durch 6 teilbar. Jede Zahl, die größer als 1 ist, hat sich selbst und die Zahl 1 als Teiler. 3 natürliche 9 gerade 4 0 D O O A O A A I 4 Teiler und Teilbarkeit Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
10 Ist es möglich, dass sich 18 Kinder in vier gleich große Gruppen einteilen lassen? Ja. Nein. Begründung: 11 Karoline hat den folgenden Text zur Teilbarkeit von Zahlen verfasst. Dabei sind ihr drei Fehler unterlaufen. Streiche die fehlerhaften Textteile durch und schreibe sie daneben richtig hin! Wenn ich eine gerade Zahl vor mir habe, weiß ich, dass diese stets durch 2 teilbar ist. Ist deren Hälfte auch noch gerade, so ist die Zahl sogar durch 8 teilbar. Ist diese gerade Zahl durch 3 teilbar, dann ist sie auch durch 6 teilbar. Ist deren Ziffernsumme durch 9 teilbar, dann ist die Zahl auch durch 9 teilbar. Wenn ich eine ungerade Zahl vor mir habe, weiß ich, dass diese nicht durch 3 teilbar sein kann. Ist an deren Einerstelle aber die Ziffer 5, so ist die Zahl durch 5 und durch 10 teilbar. Auch für ungerade Zahlen gilt: Ist deren Ziffernsumme durch 9 teilbar, dann ist die Zahl auch durch 9 teilbar. 12 Lisa hat in ihrem Sparschwein lauter 2-€-Münzen. Bevor sie das Geld zur Bank bringt, zählt sie das Ersparte. Es geht sich aus, dass sie lauter gleich hohe Münztürmchen aus jeweils fünf 2-€-Münzen baut. Wie viel Euro könnte sie demnach in ihrem Sparschwein gespart haben? 1) Kreuze alle möglichen Antworten an! 60€ 68€ 70€ 74€ 75€ 80€ 2) Erkläre, warum du gerade diese Geldbeträge angekreuzt hast! 13 Christof hat eine Sammlung von 110 Comic-Heften. Wie viele Hefte muss er noch bekommen, damit er alle Hefte in gleicher Anzahl in zwei Regalreihen oder in drei Regalreihen oder in vier Regalreihen oder in fünf Regalreihen oder in sechs Regalreihen schlichten kann? Nebenrechnungen: Antwort: Er muss noch Comic-Hefte bekommen. O A I A I A D O 1 5 Teiler und Teilbarkeit Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches 14 Ermittle den größten gemeinsamen Teiler als größte gemeinsame Zahl aus zwei Teilermengen! a) T56 = { }, T24 = { } ggT(56; 24) = b) T105 = { }, T45 = { } ggT(105; 45) = c) T119 = { }, T50 = { } ggT(119; 50) = 15 Entnimm der folgenden grafischen Darstellung, von welchen beiden Zahlen der größte gemeinsame Teiler ermittelt worden ist und wie dieser lautet! a) b) ggT( ; ) = ggT( ; ) = 16 Ermittle den größten gemeinsamen Teiler rechnerisch! a) ggT(84; 48) = Nebenrechnungen: b) ggT(147; 111) = Nebenrechnungen: D O I 144 80 80 64 64 64 16 16 16 16 16 99 36 36 36 27 27 27 9 9 9 9 O 6 Teiler und Teilbarkeit Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
17 Eine Wand in Elisabeths Kinderzimmer soll vollständig mit möglichst großen quadratischen Motiv-Postern beklebt werden. Die Wand ist 6,30m lang und 2,80m hoch. 1) Ermittle die Seitenlänge eines quadratischen Posters! 2) Wie viele Poster haben an der Wand Platz? 18 Für welche Zahlen 4 ª n ª 20gilt ggT(n; 4) = 1? 19 Ermittle das kleinste gemeinsame Vielfache als kleinste gemeinsame Zahl aus zwei Vielfachenmengen! a) V12 = { , …}, V5 = { , …} kgV(12; 5) = b) V16 = { , …}, V6 = { , …} kgV(16; 6) = c) V32 = { , …}, V8 = { , …} kgV(32; 8) = 20 Ermittle das kleinste gemeinsame Vielfache mit Hilfe des größten gemeinsamen Teilers! a) kgV(25; 15) = Nebenrechnungen: b) kgV(38; 37) = Nebenrechnungen: D O O D O I 1 7 Teiler und Teilbarkeit Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
21 Paul und Laurenz sind begeisterte Tischfußballspieler. Aber auch Kathi und Nina wollen einmal spielen. Nun dürfen die beiden Buben nur zusehen. Leicht verärgert nimmt sich Paul vor, nur bei jedem sechsten gelungenen Schuss zu jubeln, Laurenz nur bei jedem achten. Bei welchem gelungenen Schuss jubeln sie gemeinsam? Primzahlen 22 Schreibe alle Primzahlen an, die kleiner als 50 sind! 23 Kreuze nur korrekte Aussagen an! Die kleinste Primzahl ist 1. Es gibt keine geraden Primzahlen. Zwischen 89 und 97 gibt es keine einzige Primzahl. Es gibt unendlich viele Primzahlen. Jede zusammengesetzte Zahl lässt sich eindeutig als Produkt von Primfaktoren darstellen. 24 Führe die Primfaktorenzerlegung für die angegebene Zahl durch! a) 75 b) 86 c) 100 d) 128 e) 131 25 Ermittle mit Hilfe von Primfaktorenzerlegungen! a) ggT(124; 72; 12) = b) kgV(16; 12; 8) = O D I D O O 8 Teiler und Teilbarkeit Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
2 Zahlen in Bruchdarstellung und Dezimaldarstellung 26 In wie viele etwa gleich große Teile ist das abgebildete Obst geteilt? a) Mandarine b) Scheibe c) Apfel d) Sternfrucht Zuckermelone (ohne Kerngehäuse) (Karambole) 27 Welcher Bruchteil des Obstes enthält Kerne? a) Zitrone b) Sternfrucht c) Apfel d) Orange (Karambole) 28 Markiere je einen der Bruchteile 3 _ 5, 3 _ 4, 5 _ 9, 4 _ 7, 7 __ 12in der geometrischen Figur mit der passenden Unterteilung! 29 Markiere je einen der Bruchteile 5 _ 6, 3 _ 8, 7 __ 12 , 11 __ 16, 9 __ 10in der geometrischen Figur mit der passenden Unterteilung! 30 Ergänze den Bruchteil auf ein Ganzes! a) b) c) d) e) I I D D D 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 9 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
31 Gib an, in welchem Bruchteil des Regals Bücher aufgestellt sind! a) b) c) d) e) 32 Gib als Bruchteil an! 1) In der 2A sind 12 Schülerinnen und 13 Schüler. Schülerinnen: , Schüler: 2) Beim Schikurs werden verschiedene Sportarten angeboten. Zwölf Schülerinnen und Schüler haben sich für Schifahren, neun für Snowboarden und vier für Langlaufen angemeldet. Schifahren: , Snowboarden: , Langlaufen: 33 Gib als Bruchteil an! 1) In der 2B sind 14 Schülerinnen und 9 Schüler. Schülerinnen: , Schüler: 2) Außer der deutschen Sprache haben die Schülerinnen und Schüler folgende Sprachkenntnisse: drei arabisch, vier bosnisch-serbisch-kroatisch, zwei französisch, drei polnisch, zwei tschetschenisch, fünf türkisch, zwei ungarisch. arabisch: , bosnisch-serbisch-kroatisch: , französisch: , polnisch: , tschetschenisch: , türkisch: , ungarisch: 34 Welcher Bruchteil ist markiert? Kreuze alle richtigen Zahlen an! a) 3 _ 9 1 _ 2 d) 4 _ 8 2 _ 5 g) 0,5 6 __ 12 0,6 3 _ 6 4 __ 10 0,5 1 _ 2 3 _ 6 0,5 0,4 2 _ 4 b) 2 _ 8 6 __ 16 e) 5 _ 8 4 _ 8 h) 3 _ 7 0, • 3 3 _ 8 0,3 0, • 6 0,6 3 _ 8 0,3 0,375 0,625 0,375 c) 0, • 3 0, • 6 f) 4 _ 8 2 _ 3 i) 4 _ 8 0,5 4 _ 6 8 __ 12 0, • 6 0,6 1 _ 2 2 _ 4 2 _ 3 4 _ 6 0,4 I D O D O D I 10 Zahlen in Bruchdarstellung und Dezimaldarstellung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
35 Gib die Obstmenge in Bruchdarstellung und in gemischter Form an! a) Melone b) Zitrone c) Äpfel d) Kiwi = = = = 36 Schreibe die Zahlen in Bruchdarstellung und in gemischter Form an! a) fünf Viertelliter Saft: = d) neun Achtelliter Wasser: = b) elf Achtel Kuchenstücke: = e) fünf 1 _ 4 ®-Packungen Kakao: = c) sieben Mangohälften: = f) acht 1 _ 5kg-Packungen Nüsse: = 37 Fabians Mutter bäckt Minipizzas zu dessen Geburtstag. Wie viele Minipizzas haben Fabian und seine Freunde gegessen? Gib die Zahl in Bruchdarstellung an! a) Fabian: 3 2 _ 3= c) Christoph: 2 1 _ 2= e) Ahmed: 3 1 _ 3= b) Daniel: 4 1 _ 4= d) Jakob: 2 3 _ 4= f) Marcello: 3 1 _ 2= 38 1) Stelle die Zahlen in Bruchdarstellung auf dem Zahlenstrahl dar! 2) Ordne die Zahlen in einer Kleiner-Kette! a) 1 1 _ 2 2 2 _ 5 7 __ 10 1 1 _ 5 2 9 __ 10 < < < < b) 7 3 _ 5 9 1 __ 10 6 1 _ 2 8 4 _ 5 6 9 __ 10 < < < < c) 6 1 _ 4 4 1 _ 2 5 3 _ 4 6 3 _ 5 5 3 __ 10 < < < < D I D D D 0 1 2 3 6 7 8 9 4 5 6 7 2 11 Zahlen in Bruchdarstellung und Dezimaldarstellung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
39 1) Stelle die Zahlen auf allen möglichen Ausschnitten des Zahlenstrahls dar! 75 ___ 100 1 1 __ 10 47 ___ 100 3 _ 5 7 __ 10 1 3 ___ 100 1 _ 2 93 ___ 100 4 _ 5 7 ___ 100 2) Welche Zahlen können einmal bzw. zweimal auf den Zahlenstrahlen dargestellt werden? einmal: zweimal: 40 Stelle die Zahlen auf den drei Zahlenstrahlen mit jeweils derselben Farbe dar! 1 1 __ 10 1 1 _ 4 13 __ 10 1 1 _ 5 115 ___ 100 41 Setze „<“, „=“ oder „>“ ein! Die zutreffenden Buchstaben ergeben in der richtigen Reihenfolge die Bezeichnung eines Planeten! 4 __ 10 0,5 E 0,04 3 __ 10 T 0,9 89 ___ 100 K 0,56 65 ___ 100 U 24 ___ 100 0,24 A 27 ___ 100 3 ___ 100 R 0,03 3 ___ 100 M 0,3 35 ___ 100 N 7 ___ 100 6 ___ 100 R 3 ___ 100 2 __ 10 S 0,9 9 __ 10 M 0,7 71 ___ 100 S 0,36 4 __ 10 V 33 ___ 100 0,3 E 0,8 75 ___ 100 M 42 ___ 100 0,4 P 0,04 4 ___ 100 R 67 ___ 100 0,66 U 0,77 7 __ 10 A 0,15 1 __ 10 I 0,75 8 __ 10 A 35 ___ 100 0,4 N 96 ___ 100 0,96 S 7 __ 10 67 ___ 100 E < = > D 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 D 0 1 2 1 1,1 1,2 1,3 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 D O 12 Zahlen in Bruchdarstellung und Dezimaldarstellung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
42 Gegeben sind unterschiedliche Darstellungen einer Zahl. Trage die Buchstaben der verschiedenen Darstellungen in die untenstehende Tabelle bei der jeweils zutreffenden Bruchdarstellung ein! Kreise jene Zahl ein, von der es nur vier Darstellungen gibt! A 0, • 6 B rund 0,714 C 0, • 5 D 0,75 E 0,625 F 0,6 G 0 1 H 0 1 I 0 2 1 J 0 2 1 K 1 L 1 M 1 N 1 O P Q R S T U V W X Y Z Ä Ö Ü 3 _ 4 2 _ 3 5 _ 7 3 _ 5 5 _ 8 5 _ 9 43 Gib die Zahl in Bruchdarstellung, in gemischter Form, in Dezimaldarstellung, mit dekadischen Einheiten und grafisch an! a) 2 4 __ 10= = = c) 172h = = = b) 17 __ 10= = = d) 2 27 ___ 100 = = = D I D 2 13 Zahlen in Bruchdarstellung und Dezimaldarstellung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
44 Kreuze die richtige Begründung an! Es handelt sich um dieselbe Zahl, wenn… … man den Zähler und den Nenner eines Bruches durch einen gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner dividiert. … bei verschiedenen Rechtecksdarstellungen der Anteil der färbig markierten Fläche gleich groß ist. … der Zähler und der Nenner eines Bruches mit drei multipliziert werden. … der Zähler des Bruches mit drei multipliziert wird und der Nenner gleich bleibt. … der Zähler durch den Nenner dividiert wird. 45 Welche Begründung für die Aussage 3 _ 8 < 2 _ 5ist richtig? Kreuze an! Drei von acht gleich großen Teilen eines Ganzen sind weniger als zwei von fünf gleich großen Teilen eines Ganzen. Die Erweiterung der beiden Brüche auf den Nenner 1 000 zeigt: 3 _ 8 < 2 _ 5 , weil 375 ___ 1 000 < 400 ___ 1 000 . Auf dem Zahlenstrahl liegt die Darstellung von zwei Fünftel rechts von drei Achtel. Die Erweiterung der beiden Brüche auf den Nenner 100 zeigt: 3 _ 8 < 2 _ 5 , weil 37 ___ 100 < 40 ___ 100. Die Division „Zähler durch Nenner“ zeigt: 3 _ 8 < 2 _ 5, weil 0,375 kleiner als 0,4 ist. 46 1) Berechne und kürze das Ergebnis, wenn möglich! 2) Gib das Ergebnis in Dezimaldarstellung an! Trage bei den untenstehenden Zahlen den Buchstaben der passenden Aufgabe ein! A 1 1 _ 2 – 3 _ 4= D 1 1 _ 2 + 1 1 _ 6= B 5 1 _ 3 – 2 3 _ 5= E 2 1 _ 6 – 1 3 _ 5 = C 2 3 _ 5 + 1 1 _ 2= F 1 3 _ 4 + 1 1 _ 3= 0,75 4,1 2,7 • 3 2, • 6 3,08 • 3 0,5 • 6 47 Einem Vorrat von 3 1 _ 2 kg Obst werden folgende Mengen entnommen: 3 _ 8 kg, 2 _ 5 kg, 1 _ 4 kg und 5 _ 8kg. 1) Welche Menge Obst wurde entnommen? 2) Welche Menge Obst ist noch vorrätig? 48 Marie plant den Nachmittag: Um 13.30 Uhr endet der Unterricht. Sie benötigt eine Viertelstunde für die Busfahrt nach Hause. Für Essen und Ausrasten plant sie eine Dreiviertelstunde. Je eine halbe Stunde wird sie für Hausübungen in Englisch und Deutsch verwenden, eineinhalb Stunden für das Lernen auf den Biologietest. Dazwischen macht sie zweimal eine Viertelstunde Pause. Danach wird sie ihre Freundin Alice treffen. Um wie viel Uhr wird Marie voraussichtlich ihre Freundin treffen? Rechnung: Antwort: I A I A O O O 14 Zahlen in Bruchdarstellung und Dezimaldarstellung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
49 1) Ermittle das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Zahlen! a) kgV (12; 10) = c) kgV (20; 15) = e) kgV (14; 6) = b) kgV (18; 4) = d) kgV (16; 6) = f) kgV (15; 9) = 2) Erweitere beide Brüche auf das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner! a) 5 __ 12= 3 __ 10= c) 11 __ 15= 7 __ 20= e) 5 _ 6= 3 __ 14= b) 7 __ 18= 3 _ 4= d) 1 _ 6= 13 __ 16= f) 7 __ 15= 2 _ 9= 3) Berechne, kürze und gib das Ergebnis, wenn möglich, in gemischter Form an! a) 5 __ 12 + 3 __ 10= c) 11 __ 15– 7 __ 20= e) 5 _ 6 – 3 __ 14= b) 7 __ 18 + 3 _ 4= d) 1 _ 6 + 13 __ 16= f) 7 __ 15 – 2 _ 9= 50 Berechne, kürze und schreibe das Ergebnis, wenn möglich, in gemischter Form an! a) 7·3 __ 10= b) 3· 7 _ 6 = c) 5 _ 3·15 = d) 5 _ 8· 5 = 51 1) Berechne und schreibe das Ergebnis in gemischter Form an! a) 5 Packungen zu je 3 _ 4kg = = c) 5 Kisten zu je 2 1 _ 2kg = = b) 3 Dosen zu je 2 _ 5Liter = = d) 3 Flaschen zu je 1 1 _ 2Liter = = 2) Begründe, dass bei dieser Aufgabe die Multiplikation als verkürzte Addition gedeutet wird! 52 a) Florian hat vier Packungen mit je 2 _ 5Liter Fruchtsaft getrunken. Wie viel Liter sind das? b) Nicole hat zehn Packungen Aufstrich zu je 1 _ 8kg gekauft. Wie viel Kilogramm sind das? 53 1) Berechne und kürze! a) 2 __ 10von 810 kg = c) 4 _ 3von 42 Minuten = b) 3 _ 5von 105m = d) 5 _ 4von 36€ = 2) Begründe, dass bei dieser Aufgabe die „Von-Deutung“ der Multiplikation vorliegt! 54 Berechne, kürze und schreibe das Ergebnis, wenn möglich, in gemischter Form an! a) 2 _ 3· 4 _ 5= c) 2 1 _ 2· 5 _ 6= b) 3 _ 4· 1 1 _ 6= d) 1 1 _ 3· 3 1 _ 4= D O O O A O O A O 2 15 Zahlen in Bruchdarstellung und Dezimaldarstellung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
55 Berechne, kürze und schreibe das Ergebnis, wenn möglich, in gemischter Form an! a) 4 _ 52 = c) 2 1 _ 45 = b) 1 1 _ 33 = d) 3 4 _ 53 = 56 Frau Sperl hat eineinhalb Kilogramm Lavendel geerntet. Sie packt die Lavendelernte in zwölf Packungen mit jeweils derselben Menge ab. Wie viel wiegt eine Packung? Rechnung: Antwort: 57 Berechne, kürze und schreibe das Ergebnis, wenn möglich, in gemischter Form an! a) 2 _ 3 5 _ 9= c) 5 _ 61 2 _ 3= b) 1 1 _ 2 4 _ 5= d) 3 1 _ 21 2 _ 5= 58 In einem Krug befinden sich eineinhalb Liter Orangensaft. Wie viele Gläser mit dem Fassungsvermögen von 2 _ 5Liter können damit gefüllt werden? Rechnung: Antwort: 59 a) Wie verändert sich das Ergebnis der Division a _ b c _ d, wenn c verdoppelt wird und die anderen Größen gleich bleiben? Kreuze an! Das Ergebnis wird doppelt so groß. Das Ergebnis ändert sich nicht. Das Ergebnis wird halb so groß. Das Ergebnis wird viermal so groß. b) Wie verändert sich das Ergebnis der Division a _ b c _ d, wenn a und c verdreifacht werden? Kreuze an! Das Ergebnis wird größer. Das Ergebnis ändert sich nicht. Das Ergebnis wird kleiner. Es kann keine Aussage gemacht werden. 60 1) Gegeben ist die Zahl 10 __ 14. Gegeben ist die Zahl 4 __ 20. Gegeben ist die Zahl 6 __ 15 . Kürze durch 2: Kürze durch 4: Kürze durch 3: Dividiere durch 2: Dividiere durch 4: Dividiere durch 3: Erweitere mit 2: Erweitere mit 4: Erweitere mit 3: Multipliziere mit 2: Multipliziere mit 4: Multipliziere mit 3: 2) Erkläre den Unterschied zwischen dem Erweitern von Brüchen und dem Multiplizieren einer Zahl in Bruchdarstellung mit einer natürlichen Zahl n! O O O O A O A 16 Zahlen in Bruchdarstellung und Dezimaldarstellung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
61 Berechne, kürze und gib das Ergebnis, wenn möglich, in gemischter Form an! a) 1 3 _ 4· 5 + 2 1 _ 2 1 _ 4 = c) “ 2 1 _ 2 – 2 _ 5 §· “ 1 1 _ 3 + 2 _ 5 §= b) 3 7 __ 10+ “ 2 _ 3· 3 _ 5 – 2 __ 15 § 1 _ 3= d) “ 2 3 _ 5 – 1 1 _ 4 §· 3 + 3 3 __ 10= 62 Löse folgende Aufgaben! Kontrolliere die Lösung mithilfe der unten angeführten Zahlen und Maßeinheiten bzw. Mengenbezeichnungen! a) Vanessa und ihre Mutter haben 7 1 _ 2kg Ribiseln geerntet. Ein Fünfzehntel der Ernte verzehren sie als Nachspeise. Vier Fünftel davon werden zu Marmelade verarbeitet und die restlichen Ribiseln werden an Nachbarn verschenkt. 1) Wie viel Gramm Ribiseln gibt es als Nachspeise? 2) Aus wie viel Kilogramm Ribiseln wird Marmelade hergestellt? 3) Wie viel Gramm Ribiseln erhalten die Nachbarn? 4) Welcher Anteil der Ernte wird verschenkt? b) Mareike und ihr Vater pflücken Erdbeeren: Mareike hat 3 1 _ 2 kg und ihr Vater 4 3 _ 4kg gesammelt. 1) Wie viel Kilogramm haben Mareike und ihr Vater insgesamt geerntet? 2) Die Erdbeerernte wird in Portionen zu je einem Viertelkilogramm tiefgekühlt. Wie viele Portionen können tiefgekühlt werden? 3) Im letzten Jahr hatten Mareike und ihr Vater nur zwei Drittel der heurigen Ernte gepflückt. Wie viel Kilogramm Erdbeeren waren es im letzten Jahr? 4) Vor zwei Jahren war die Witterung für Erdbeeren besonders günstig. Mareike und ihr Vater hatten insgesamt 13 kg Erdbeeren geerntet. Wie viel Kilogramm haben sie vor zwei Jahren mehr geerntet als heuer? c) Lisa pflückt 1 _ 4 kg Heidelbeeren, Eli 3 __ 4 kg Himbeeren und Daniel 4 _ 5kg Brombeeren. 1) Wie viel Kilogramm Beeren haben die drei Freunde insgesamt gepflückt? 2) Die geernteten Beeren werden auf die drei Freunde zu gleichen Teilen aufgeteilt. Wie viel Gramm Beeren erhält jeder der drei Freunde? 3) Daniel füllt die Beeren in Päckchen zu je 100g ab. Für wie viele Päckchen reicht sein Anteil an den Beeren? 4) Lisa und Eli teilen ihren Anteil mit zwei Freundinnen. Wie viel Gramm Beeren erhält jedes der vier Mädchen? O O 5 1 __ 2 1 000 500 6 8 600 250 33 1 4 __ 5 8 1 __ 4 2 __ 15 4 3 __ 4 g g g g kg kg kg kg kg Portionen Päckchen 2 17 Zahlen in Bruchdarstellung und Dezimaldarstellung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
3 Relative Anteile Eins von hundert 63 B emale die Hälfte der Kästchen mit roter Farbe, ein weiteres Viertel der Kästchen mit blauer Farbe und noch sieben Kästchen mit roter Farbe. G ib den Anteil der roten Kästchen in Prozent- und in Bruchdarstellung an! W ie viel Prozent der Kästchen bleiben weiß? 64 Einige der folgenden Aussagen sind richtig, andere falsch. 1) Kreuze an und stelle Falsches richtig! 2) Setze in der vorletzten Zelle der ersten Spalte „<“, „>“ oder „=“ so ein, dass eine falsche Aussage und in der letzten Zelle der ersten Spalte eine richtige Aussage entsteht! richtig falsch Richtigstellung 3 _ 10< 20% 75% = 3 _ 4 1 von 5 = 20% 1 _ 33 = 33% 1,4 > 100% 1 _ 25 25% 1 _ 4 2 von 8 65 Schreibe in Prozentdarstellung! a) 0,3 = c) 0,45 = e) 1 _ 5= g) 3 _ 2= b) 34 _ 100= d) 2,04 = f) 1,99 = h) 3 _ 4= 66 Schreibe in Bruchdarstellung! a) 0,1 = c) 22% = e) 8% = g) 1,25 = b) 3 vH = d) 240% = f) 2,5% = h) 12 vH = D I D D 18 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
67 Schreibe in Dezimaldarstellung! a) 188% = b) 3 _ 5= c) 1 _ 5 = d) 4% = 68 Schreibe die angegebene Zahl in Bruchdarstellung an und färbe einen dazu passenden Teil der Figur! 25% = 30% = 25% = 10% = 80% = 69 Von einer Figur ist der angegebene relative Anteil dargestellt. Zeichne die ganze Figur! 50% 1 _ 3 40% 70 Gegeben sind Zahlen in unterschiedlichen Darstellungen. Verbinde jeweils gleiche Zahlen! 25 % 20 % 3 _ 4 1 _ 25 1 _ 100 75 % 105 % 1 % 4 % 0,5 0,25 1 von 5 1,05 1 _ 2 71 Fülle die Tabelle wie in der ersten Spalte vorgeführt aus! Bruchdarstellung 3 _ 5 4 _ 10 3 _ 5 3 _ 2 Dezimaldarstellung 0,60 1,2 0,005 0,32 Prozentdarstellung 60% 125% 2% D D D D D 3 19 Relative Anteile Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
72 Kopfrechnung: Berechne den Prozentsatz! Prozentsatz % von 400€ sind 4€ % von 22€ sind 11€ % von 210€ sind 105€ % von 1 500€ sind 150€ % von 160€ sind 40€ 73 Johanna vergleicht vor Antritt ihres Urlaubs die Bewertungen zweier Hotels, die für sie in die engere Wahl kommen. Beim Hotel „Sun Beach“ sind 6 von 250 Bewertungen sehr negativ und beim Hotel „Holiday“ sind es 7 von 280. 1) Bei welchem Hotel sind die Bewertungen verhältnismäßig schlechter? 2) Wie viel Prozent sehr negative Bewertungen hat das Hotel „Sun Beach“? 3) Wie viel Prozent sehr negative Bewertungen hat das Hotel „Holiday“? 4) Wären diese Ergebnisse für dich in diesem konkreten Fall ein Kriterium, dich für eines der beiden Hotels zu entscheiden? Begründe! Nebenrechnungen: Antworten: 1) Das Hotel „Sun Beach“ hat verhältnismäßig sehr negative Bewertungen als das Hotel „Holiday“. 2) Das Hotel „Sun Beach“ hat sehr negative Bewertungen. 3) Das Hotel „Holiday“ hat sehr negative Bewertungen. 4) 74 Kreuze nur richtige Aussagen an! Stelle Falsches richtig! 10 _ 1 000= 1% 200% von 300 sind 600 40 von 10 sind 25% Jede dritte Person bedeutet von 100 Personen durchschnittlich 30. 4 _ 50= 8% 1 = 2·50% 4% = 1 _ 4 8% von 8000 = 1 2 von 3 < 3 von 5 O O I A O I 20 Relative Anteile Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Prozentaufgaben lösen 75 Kopfrechnung: Berechne den Anteil! Anteil 10% von 880€ sind 1% von 2300 Kindern sind 50% von 23300€ sind 25 % von 80 kg sind 2% von 60€ sind 76 Kopfrechnung: Berechne den Grundbetrag! Grundbetrag 3% von sind 3€ 50% von sind 25 Kinder 25% von sind 34 kg 10% von sind 85dag 5% von sind 40€ 77 In einer Abfüllfirma werden wöchentlich 2350000 Flaschen abgefüllt. Bei sieben Prozent der Flaschen ist die Abfüllmenge nicht korrekt. Wie viele Flaschen sind das? Es sind Flaschen. 78 Die Wahl des Lieblingsfaches der Schülerinnen und Schüler der Klasse 2C führte zu folgenden Ergebnissen: Fach Bewegung und Sport Englisch Biologie Mathematik Sonstige Anteil 20% 24% 30% 5% 1) Ergänze die fehlende Zahl in der Tabelle! 2) Stelle die prozentuelle Verteilung in folgendem Streifendiagramm dar! Achte auf eine geeignete Beschriftung! O O O D I 3 21 Relative Anteile Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
79 Auf einer 200g Tafel Schokolade steht zu lesen, dass der Kakaoanteil 75% ist. Wie viel Gramm Kakao ist in der Schokoladentafel enthalten? Es sind Gramm. 80 In einem Sportverein sind 260 Mitglieder. Die Vereinsstatistik weist folgende Altersverteilung auf: 0 –10 Jahre: 78 Personen; 11 – 20 Jahre: 65 Personen; 21 – 30 Jahre: 26 Personen Der Rest der Mitglieder ist alter als 30 Jahre. 1) Gib die Altersverteilung in Prozent an! Altersklassen in Jahren 0–10 11 –20 21 –30 > 30 Anzahl der Personen Prozentdarstellung 2) Veranschauliche die Altersverteilung in folgendem Kreisdiagramm! Prozentdarstellung 81 Eine Großstadt hat heute um 6000 Einwohner mehr als vor zehn Jahren. Das entspricht einem Wachstum von 3%. Wie viel Einwohner hatte die Stadt vor zehn Jahren? Welche beiden folgenden Rechnungen liefern das richtige Ergebnis? Begründe die Entscheidung! A 60003·100 B 6000·0,03 C 60000,03 D 6000100·3 Zu richtigen Ergebnissen führen die Rechnungen: Begründung: O I D O I A 22 Relative Anteile Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
82 Versuche so weit wie möglich durch Überschlagsrechnungen im Kopf sinnvolle Ergebnisse den zugehörigen Texten in der linken Spalte durch Linien zuzuordnen! 7% von Hannas Gespartem entsprechen 35€. Wie viel hat sie gespart? 432 € Laurin hat 240€ gespart. Davon will er 96€ für sein Hobby ausgeben. 600 € Von einem Guthaben in Höhe von 1 200€ werden 12% für die Anschaffung einer HiFi-Anlage ausgegeben. 384 € Toni kauft für 48€ ein. Insgesamt hat er 75€ im Geldbeutel. 64 % 36% des Geldes aus der Vereinskassa werden für Flyer ausgegeben. Das entspricht 99€. 20 % Tom möchte 315€ ausgegeben. Insgesamt besitzt er 900€. 35 % 270€ kostet ein Flugticket. Das entspricht 45% der gesamten Kosten des Urlaubs. 510 € Heidi hat in ihrer Spardose 96€. Das entspricht 25% ihrer gesamten Ersparnisse. 500 € Von 900€ wurden bereits 46% ausgegeben. 414 € In der Klassenkassa befinden sich 960€. 45% davon werden für das Schulfest benötigt. 275 € Oma Maier verteilt 720€ an ihre Enkel. Jeder bekommt 144€. 40 % Von 850€ hat Lilo bereits 60% ausgegeben. 144 € 83 Ergänze die fehlenden Zahlen! a) 50% von 50 sind . b) 90% von 90 sind . 50% von sind 50. 90% von sind 90. % von 50 sind 50. % von 90 sind 90. I O 3 23 Relative Anteile Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
84 In der untenstehenden Tabelle ist angegeben, welchen Betrag und welchen Prozentsatz seines Gehaltes Josef für verschiedene Belange ausgibt. Darunter sind die Anteile in Prozent in einem Kreisdiagramm dargestellt. Nenne mindestens einen Grund, warum das Kreisdiagramm nicht richtig dargestellt wurde! Begründung: Lebensmittel Wohnen/ Versicherungen Auto Kleidung und Persönliches Diverses gesamt Betrag in Euro 400,00 1 000,00 150,00 250,00 200,00 2000,00 Prozentsatz 0,2 0,5 0,075 0,125 0,1 85 Ohne Behandlung mit einem speziellen Spritzmittelzusatz bekommen 0,4% einer Pflanzenart innerhalb eines Jahres eine bestimmte Pilzerkrankung. Mit Behandlung sind es nur 0,3%. Wie viele von 1 000 Pflanzen können durch das Spritzmittel vor der Krankheit bewahrt werden? Rechnung: Antwort: Vermehrung und Verminderung 86 Wie viel Prozent betragt die Vermehrung/Verminderung des Preises? a) Ein Preis wird verdreifacht: Vermehrung um %. b) Ein Preis ist auf das Doppelte erhöht: Vermehrung um %. c) Ein Preis wird um die Halfte erhoht: Vermehrung um %. d) Ein Preis wird um die Halfte reduziert: Verminderung um %. e) Ein Preis ist auf drei Viertel gesunken: Verminderung um %. I A Lebensmittel Wohnen/Versicherungen Auto Kleidung und Persönliches Diverses O I 24 Relative Anteile Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
87 Ein Mantel wird wegen eines Webfehlers um 20% billiger verkauft. Der ursprüngliche Preis betrug 140€. 1) Wie groß ist der Preisnachlass? 2) Was kostet der Mantel jetzt noch? Rechnung: 1) Der Nachlass beträgt €. 2) Der Mantel kostet nun €. 88 Ordne den Aufgabenstellungen durch Linien die entsprechenden Rechnungen zu! Der Nettopreis eines Taschenrechners beträgt 25€. Ermittle den Bruttopreis (20% Mehrwertsteuer)! 20 _ 100 ·25 Der Nettopreis einer Ware beträgt 25€. Ermittle den Betrag der Mehrwertsteuer (20% Mehrwertsteuer)! 25 – 25·0,2 Der Bruttopreis von Arbeitsmitteln ist 25€. Berechne deren Nettopreis (20% Mehrwertsteuer)! 25·1,20 Ein Gesellschaftsspiel kostete bisher 25€. Der Preis wird um 20% gesenkt. Was kostet das Spiel nun? (2580)·100 Der Preis einer Hose wird um 20% reduziert. Sie kostet jetzt 25€. Wie viel kostete sie ursprünglich? 0,825 251,2 89 B entspricht 40% einer Länge. Schätze die Anteile von A, C, D und E! A: B: C: D: E: 90 Eine neue Wohnzimmergarnitur kostet eigentlich 1 600€. Der Anbieter gewährt jedoch 25% Rabatt und ist bei Sofortkauf sogar bereit, auf den Restbetrag noch einmal 10% Nachlass zu geben. Reichen 1 050€ für den Einkauf? Begründe die Entscheidung! Rechnung: Antwort: Begründung: O I D I 40 % O A 3 25 Relative Anteile Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
91 Eine Ware kostet 100€. Sie wird erst um 10% teurer. Später wird der Preis um 10% gesenkt. Kreuze an, welche beiden der folgenden Aussagen stimmen! Die Ware kostet wieder 100€. neuer Preis = 100·1,1·0,9 neuer Preis = 100·1,1 – 10% Man kann nicht sagen, ob der neue Preis höher oder niedriger als 100€ ist. neuer Preis = 100·1,1 – 110·0,1 92 Ergänze den Text! Ein Prozent ist ein , ein Tausendstel ist ein . Wird eine Zahl a um 3% vermehrt, so wird a mit dem Faktor multipliziert. Wird eine Zahl b mit dem Faktor 0,8 multipliziert, so wird b um vermindert. Wird eine Zahl von 35% auf 80% vergrößert, so steigt sie um 45 . 93 Evelyn gewinnt 1 000000€ im Lotto. Die Lottomillionarin verschenkt jedem ihrer drei Geschwister ein Fünftel ihres noch vorhandenen Gewinns. Ihre Schwester Isabella wird zuerst beschenkt, dann ihr Bruder Paul und zum Schluss ihre Schwester Lea. 1) Wie viel Prozent des Gewinns verschenkt Evelyn an Isabella? 2) Wie viel Prozent des Gewinns verbleiben Evelyn nach zwei „Schenkungen“? 3) Wie viel Geld bekommt Lea? Rechnungen: Eins von tausend 94 Schreibe in der Promilledarstellung! a) 0,009 = c) 22 _ 1 000 = e) 3 von 200 = g) 20% = b) 3% = d) 1 _ 500= f) 0,034 = h) 1,025 = I D I O D 26 Relative Anteile Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
4 Gleichungen Mit Variablen Sachverhalte beschreiben 95 In einer Firma gibt es b Beschäftige. Die Anzahl der in der Firma beschäftigten Frauen ist f. Die Anzahl der in der Produktion beschäftigten Frauen ist p, die in der Verwaltung beschäftigten Frauen v. Insgesamt sind 23 Personen in der Verwaltung und 204 Personen in der Produktion tätig. Stelle für den angeführten Sachverhalt nur unter Verwendung der angegebenen Variablen und Zahlen einen Term auf! a) Anzahl der in der Firma beschäftigten Männer: b) Anzahl der Beschäftigten, die nicht in der Produktion und nicht in der Verwaltung tätig sind: c) Anzahl der in der Produktion tätigen Männer: d) Anzahl der in der Firma beschäftigten Frauen, die nicht in der Produktion tätig sind: 96 Gib einen Term für den Umfang u der gesamten Figur an! u = 97 Formuliere den Term zu folgender Rechenanweisung! a) Vermindere das Siebenfache einer Zahl y um 4 und dividiere das Ergebnis durch 3! b) das vierfache Produkt der Zahlen z und u: c) der Quotient der Zahlen a und 6: d) Verdopple u, addiere dann 100 und multipliziere das Ergebnis mit v! e) Bilde die Differenz von x und der Summe von y und z! D D a a a a a a a a a a b c D I 27 Nur zu Prüfzwe ken – Eigentum des Verlags öbv
98 Eine Kerze brennt gleichmäßig ab und zwar z Zentimeter in zehn Minuten. Ordne den Termen für die Länge der Kerze durch Verbindungslinien passende Uhrzeiten zu, wenn die Kerze um 12:20 Uhr a Zentimeter und um 13:00 Uhr 8 cm lang ist! a – 3·z 8 – z 5·z + 8 a + 5·z a + 10·z 11:30 12:50 13:10 14:00 12:10 10:40 99 Elvira kauft im Papiergeschäft fünf gleichartige Notizbücher für je 4,75€. Sie berechnet den Gesamtpreis mit 5·4,75€. Die Notizbücher gefallen auch ihren Freunden Kai, Tanja, Marko usw. Nun notiert Elvira x·4,75€. Erkläre, was sie sich dabei gedacht haben könnte! Erklärung: Gleichungen aufstellen, Gleichungen lösen 100 Handelt es sich um Terme oder um Gleichungen? Kreuze an! Term Gleichung 5·x = x·7 – 2 4(z + 3) = 100 0,02·u 15 4 + v _ 100 = v – 99 _ 200 101 Die Länge des rechts abgebildeten Streckenzuges beträgt 17,5 cm. 1) Gib eine Gleichung an, die obigen Sachverhalt beschreibt! 2) Löse die Gleichung! 102 Der Wert des Terms soll 40 sein. Ermittle den passenden Wert der Variablen v! Term Wert der Variablen v 75 – v v5 v·5 + 20 I I A I D O 5 cm x x x x x 5 cm O 28 Gleichungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
103 Löse die Gleichung durch schrittweises Umformen und mache die Probe! a) 2·x – 14 = 10 b) 23 – 5·x + 17 = 20 c) x 3 _ 4 = 1 _ 2 Probe: Probe: Probe: 104 Wie viele Kugeln sind so schwer wie z? z = 105 Ist 2 die Lösung der Gleichung 100 – 2·x = x·48? Ja. Nein. Begründung: 106 Finde eine Lösung für die gegebene Gleichung durch Probieren und kreuze sie an! a) 40 – 3·x + 7·x = 56 x = 4 x = 5 x = 6 x = 7 x = 8 b) 4·x – 7 = 41 x = –12 x = –7,5 x = 7,5 x = 12 D O O I O A O 4 29 Gleichungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Textgleichungen 107 Erstelle zu folgendem Text eine passende Gleichung und beschreibe, was die verwendete Variable bedeutet! a) Benny kauft Getränke, insgesamt bezahlt er 19,50€. Er kauft zehn Mineralwasserflaschen zu je 45 Cent, fünf Flaschen Orangensaft zu je 1,35€ und noch Getränke zu je 55-Cent. Wie viele solcher 55-Cent-Getränke hat er gekauft? Variablenname und Bedeutung: passende Gleichung: b) Für die Dekoration eines Festes hat Christopher 95€ für Blumen zur Verfügung. Er kauft drei Sorten zu folgenden Preisen: Sorte 1: 1,50€ Sorte 2: 2,25€ Sorte 3: 1,75€ Von Sorte 3 kauft er 20 Stück und von Sorte 1 und 2 kauft er jeweils die gleiche Stückzahl. Wie viele Blumen kauft er von Sorte 1 und 2? Variablenname und Bedeutung: passende Gleichung: Terme und Formeln interpretieren 108 1) Kreuze an, welche der folgenden Formeln den Flächeninhalt A der nebenstehenden Figur angeben! A = w·v – r·s A = 2·r·(q + s) – r·s A = q·r + s·r A = v·q + s·r A = q·r + q·r A = 2·r·s + v 2) Erkläre, warum die nicht angekreuzten Formeln falsch sind! 3) Gib zwei Formeln für den Umfang u der Figur an! u = u = 4) Wie groß ist u, wenn r = 1m, s = 2,5m und w = 6m sind? u = 109 Bei einer gleichförmigen Bewegung gilt für die Geschwindigkeit v die Formel v = s _ t. Der Weg s soll in Meter, die Zeit t in Sekunden angegeben werden. Berechne jeweils die Geschwindigkeit! a) s = 1 000m und t = 50 s b) s = 72 km und t = 3600 s c) s = 30000m und t = 10min v = v = v = D O A v q s r r w O 30 Gleichungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
110 1) Ordne jedem Satz einen passenden Term zu! Gib jeweils an, was die Variablen bedeuten! Term Bedeutung der Variablen Meine Schwester Ulrike ist vier Jahre jünger als ich. Meine Oma Irmgard ist doppelt so alt wie ich. Ich bin 21 Jahre älter als mein Sohn Patrick. Oliver ist acht Jahre alt. Wenn man sein Alter verfünffacht und 2 Jahre addiert, erhält man mein Alter. 2·g u – 4 x3 p + 21 8·5 + 2 n + 3 2) Kannst du das Alter der Personen berechnen? Begründe! 111 Für eine Tennisausrüstung gelten folgende Preise: Ein Schläger kostet 89,90€, ein Ball 2,50€, ein Shirt 24,90€, eine Hose 18,50€ und ein Paar Socken 10,50€. 1) Was bedeutet a·89,90€ + b·2,50€ + a·24,90€ + a·18,50€ + c·10,50€? 2) Welche Werte würdest du für a, b und für c einsetzen, wenn du den Preis für die Ausstattung eines Spielers berechnen würdest? Begründe! 3) Was bedeutet 2·(a·89,90€ + b·2,50€ + a·24,90€ + a·18,50€ + c·10,50€)? 112 Kreuze an, wenn Text und Term zusammenpassen! Text Term ja nein Die Hälfte des Fünffachen von a wird zur Summe von b und c addiert. 5·a2·(b + c) Aus der Summe von a und b und der Differenz von 15 und 12 wird das Produkt gebildet. (a + b)·(15 – 12) Das Vierfache der Summe von x und y wird durch das Dreifache von z dividiert. 4·(x + y)3·z I A I I A 4 31 Gleichungen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum de Verlags öbv
5 Proportionalitäten 113 Finde den passenden Ausdruck und setze so ein, dass direkte Proportionalität ausgedrückt wird! a) Wenn ich doppelt so viele Schokoriegel kaufe, zahle ich so viel. b) Wenn ich statt einer Flasche Apfelsaft drei Flaschen kaufe, dann zahle ich so viel. c) Wenn Herr Meier das Auto nur halb voll tankt, dann zahlt er nur der Kosten einer ganzen Tankfüllung. d) Wenn ich statt einer Torte vier backe, brauche ich so viele Zutaten. e) Wenn ein Auto mit konstanter Geschwindigkeit halb so weit fährt, dann braucht es so viel Benzin. f) Wenn ich fünfmal so viel Taschengeld bekomme, kann ich so viel Geld ausgeben. 114 Finde eine sinnvolle Ergänzung, um direkte Proportionalität auszudrücken! a) Je mehr Freizeit ich habe, desto . b) Je langsamer ich gehe, desto . c) Je mehr Karten für ein Konzert verkauft werden, desto . d) Je mehr Euro ich in Pfund tausche, desto . e) Je wärmer es im Sommer ist, desto . f) Je niedriger die Temperaturanzeige ist, desto . 115 Ergänze die Tabelle! a) Anzahl der Flaschen 1 4 5 10 25 Preis in Euro 2,50 5 15 30 b) Euro 1 2 5 10 80 Britisches Pfund 0,79 39,50 47,40 790 D D O 32 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
116 Ergänze die Zahl in der Tabelle so, dass direkte Proportionalität entsteht! a) 1 Größe 2 Größe 1 24 2 c) 1 Größe 2 Größe 2 24 6 e) 1 Größe 2 Größe 2 24 5 b) 1 Größe 2 Größe 1 2 12 d) 1 Größe 2 Größe 12 9 36 f) 1 Größe 2 Größe 45 12 108 117 In einem Supermarkt kostet 1 kg Bananen 1,80€. a) Felix kauft drei Kilogramm Bananen und bezahlt dafür €. b) Frau Müller kauft für einen Bananenkuchen 5kg und bezahlt dafür €. c) Eine Eisdiele bestellt für die Produktion von Bananeneis 12 kg und bezahlt €. d) Herr Rosner kauft ein halbes Kilogramm und bezahlt €. e) Rosa kauft nur eine Banane, die 180g wiegt. Sie bezahlt dafür €. f) Anton nimmt einen Bund Bananen, legt ihn auf die Waage, sieht, dass es 1 080g sind, und bezahlt dafür €. 118 An der Feinkosttheke eines Supermarktes kosten 10dag eines besonderen Schinkens 2,20€. a) Herr Jukic kauft 40dag und bezahlt €. b) Frau Leder kauft 35dag und bezahlt dafür €. c) Die Jausenstation benötigt für eine Wandergruppe 1,5 kg und bezahlt dafür €. d) Mario kauft für eine Jausensemmel 5dag und bezahlt €. e) Herr Frühwirth lässt sich eine größere Menge aufschneiden. Gewogen sind das dann 1,28 kg, für die er bezahlt. f) Zwei Schinkenblätter wiegen 25g. Sie kosten €. D O O I O I 5 33 Proportionalitäten Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
119 Finde den passenden Ausdruck und setze so ein, dass indirekte Proportionalität ausgedrückt wird! a) Je mehr Kinder von einer Pizza essen, desto bekommt jeder. b) Wenn die Anzahl der Personen, auf die ein Gewinn aufgeteilt wird, kleiner wird, dann bekommt jede Person . c) Je langsamer die Mutter mit ihrem Kind um den Teich spaziert, desto braucht sie. d) Wenn die Feuerwehr das Wasser aus dem Keller mit der doppelten Leistung abpumpt, braucht sie nur Zeit. e) Je mehr Fensterputzer sich das Putzen einer Glasfront teilen, desto bleibt für den Einzelnen. f) Je schneller du eine bestimmte Strecke läufst, desto Zeit brauchst du. 120 Finde eine sinnvolle Ergänzung, um indirekte Proportionalität auszudrücken! a) Die Fülldauer des Schwimmbeckens verlängert sich, wenn . b) Wenn doppelt so viele Bagger eine Grube ausheben, dann . c) Je höher die Downloadgeschwindigkeit, desto . d) Je schneller ein Flugzeug fliegt, desto . e) Je mehr Vögel vom Futter fressen, desto . f) Je breiter die Tapete, desto . 121 Ergänze die Tabelle! a) Anzahl der Arbeiter 1 4 8 10 Arbeitstage insgesamt 96 48 32 8 1 b) Gewinnsumme pro Gewinner in Euro 120000 60000 1 200 Anzahl der Gewinner 1 4 10 24 D D O 34 Proportionalitäten Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
122 Familie Büchler möchte eine Eigentumswohnung kaufen. Zwei Angebote liegen vor: Wohnung A hat 80m² und kostet 96000€, Wohnung B hat 85m² und kostet 105400€. 1) In welcher der beiden Wohnungen ist der Preis für einen Quadratmeter günstiger? 2) Wie soll sich Familie Büchler entscheiden? Worauf ist sonst noch zu achten? 123 „Eine Stadt mit 50000 Einwohnern hat zehnmal so viele Gebäude wie eine Stadt mit 5000 Einwohnern.“ Warum ist diese Aussage mit ziemlicher Sicherheit falsch? 124 Ergänze die Werte in der Tabelle so, dass indirekte Proportionalität entsteht! a) 1 Größe 2 Größe 1 24 2 c) 1 Größe 2 Größe 2 24 6 e) 1 Größe 2 Größe 2 20 5 b) 1 Größe 2 Größe 1 2 14 d) 1 Größe 2 Größe 12 9 36 f) 1 Größe 2 Größe 54 12 108 125 Welche möglichen Zusammenhänge bestehen zwischen den Größen? Kreuze an! direkte Proportionalität indirekte Proportionalität keine Proportionalität Stromverbrauch – Kosten Totogewinn – Anzahl der Gewinner Körpergewicht – Intelligenz Heuvorrat – Anzahl der Kühe Anzahl der Rosen – Preis Temperatur – Schneefall Dollarkurs – Pfundkurs Höhe eines Dreiecks – Flächeninhalt Seitenlänge eines Quadrats – Umfang des Quadrats Stufenhöhe – Anzahl der Stufen einer Stiege O I A A I A I 5 35 Proportionalitäten Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
126 a) Eine Flasche Apfelsaft kostet im Bioladen 1,80€. Wie viel kosten sieben Flaschen? Rechnung: Antwort: b) Im Supermarkt bekommt man vier Schokoriegel um 4,80€. Wie viel bezahlt man für zehn Schokoriegel? Rechnung: Antwort: 127 a) Frau Lechners altes Auto hat auf 100 km 5 ø Diesel verbraucht. Ihr neues Auto verbraucht nur 4 ø auf 100 km. Der Tank beider Autos fasst 50 ø. Wie viele Kilometer kann sie mit vollem Tank im neuen Auto mehr zurücklegen als im alten? Rechnung: Antwort: b) Anna, Barbara und Claudia malen eine Wand ihrer Klasse aus. Sie brauchen dazu sechs Stunden. Wie lang würde es dauern, die Wand zu bemalen, würden ihnen Adam, Bernhard und Claudio helfen? Rechnung: Antwort: 128 Welche Art der Proportionalität liegt vor? Kreuze an! direkte direkte direkte direkte indirekte indirekte indirekte indirekte keine keine keine keine D O D O I 1 2 3 1 O 2 3 Größe 1 Größe 2 1 2 3 1 O 2 3 Größe 1 Größe 2 1 2 3 1 O 2 3 Größe 1 Größe 2 1 2 3 1 O 2 3 Größe 1 Größe 2 36 Proportionalitäten Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
129 Stelle den proportionalen Zusammenhang grafisch dar! a) b) 130 Setze die Buchstaben der richtigen Aussagen der Reihe nach unten ein! Wenn zwei Liter Milch 1,96€ kosten, dann kosten fünf Liter 4,90€. S Von vier Apfelbäumen erntet Herr Bauer 80kg Äpfel, von sechs Bäumen 100 kg. P Susanne und Robin misten zusammen den Pferdestall aus. Für vier Boxen brauchen sie eine Stunde und 20 Minuten und für sechs Boxen brauchen sie zwei Stunden. O Ein Aufstrich in einem Becher mit einer Mengenangabe von 120g kostet 3,20€. 180g kosten dann 3,80€. N Beim Bau eines neuen Straßenabschnitts werden vier Bagger eingesetzt, welche die notwendigen Arbeiten in acht Stunden erledigen. Dieselben Arbeiten könnten sechs Bagger in fünf Stunden durchführen. L Salami kostet in einer Großpackung mit 500g Inhalt 12,80€. 10dag kosten daher 1,28€. K Der Heuvorrat reicht für acht Pferde 20 Wochen, für zwölf Pferde 16 Wochen. E Auf dem Markt kosten sechs Eier 2,40€. Für ein Ei bezahlt man daher 40 Cent. M Ein Auto braucht auf 100 km 5 ø Benzin. Mit einer Tankfüllung von 50 ø kann es damit 1 000 km fahren. M Im Urlaub könnte eine Familie eine Woche lang von ihrem Urlaubsbudget täglich 68€ ausgeben. Um zehn Tage mit dem gleichen Budget auszukommen kann sie täglich nur 52€ ausgeben. G Herr Gärtner hat in seinem Garten einen neuen Rasen angelegt und auf 100m² 50dag Grassamen gestreut. Für eine Fläche von 250m² benötigt er 125dag. E Eine Seitenlänge eines 240 cm² großen Rechtecks beträgt 12 cm, daher kann die Seitenlänge eines Rechtecks mit doppeltem Flächeninhalt nur 24 cm betragen. K Ein Hotelzimmer kostet für vier Tage 340€, für fünf Tage bezahlt man dann 425€. R D Größe 1 Größe 2 1 2 3 6 Größe 1 Größe 2 2 6 4 3 5 2 4 6 1 3 5 2 1 O 3 4 Größe 1 Größe 2 5 2 4 6 1 3 5 2 1 O 3 4 Größe 1 Größe 2 I 5 37 Proportionalitäten Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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