Lösungswege 4, Arbeitsheft

1. Auflage (Druck 0001) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2026 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Redaktion: Brigitte Jug, Graz Herstellung: Bianca Mannsberger, Wien Umschlaggestaltung: Petra Michel, Gestaltung und Typografie, Amberg Layout: Petra Michel, Gestaltung und Typografie, Amberg Illustrationen: Angelika Citak, Wipperfürth Satz: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig Druck: Ferdinand Berger & Söhne Ges.m.b.H., Horn ISBN 978-3-209-12262-9 (Die Lösungswege US AH 4 + E-Book) ISBN 978-3-209-13059-4 (Die Lösungswege US AH 4 E-Book Solo) Lösungswege 4, Arbeitsheft + E-Book Schulbuchnummer: 225481 Lösungswege 4, Arbeitsheft E-Book Solo Schulbuchnummer: 225484 Mit Bescheid des Bundesministeriums für Bildung vom 09. Dezember 2025, Geschäftszahl: 2025-0.209.674, gemäß § 14 Absatz 2 und 5 des Schulunterrichtsgesetzes, BGBl. Nr. 472/86, und gemäß den derzeit geltenden Lehrplänen als für den Unterrichtsgebrauch für die 4. Klassen an Mittelschulen im Unterrichtsgegenstand Mathematik (Lehrplan 2023) und für die 4. Klassen an allgemein bildenden höheren Schulen – Unterstufe im Unterrichtsgegenstand Mathematik (Lehrplan 2023) geeignet erklärt. Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Liebe Schülerin, lieber Schüler, du bekommst dieses Schulbuch von der Republik Österreich für deine Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Data-Mining-Verbot Die Nutzung der Inhalte dieses Werkes für Text- und Data-Mining im Sinne des § 42h Abs. 6 UrhG ist ausdrücklich vorbehalten und daher verboten. Die Inhalte dieses Werkes dürfen auch nicht zur Entwicklung, zum Training und/ oder zur Anreicherung von KI-Systemen, insbesondere von generativen KI-Systemen, verwendet werden. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Mathias Bortenschlager Andreas Fischer Max Koller Julia Marsik Markus Olf Markus Wittberger Lösungswege Mathematik Arbeitsheft 4 www.oebv.at Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Wiederholung der 3. Klasse_________ 3 A Die reellen Zahlen_______________ 6 Die Menge der rationalen Zahlen___________ 6 Die Menge der reellen Zahlen ___________ 8 Rechnen mit Quadratwurzeln____________ 10 Rechnen mit Kubikwurzeln______________ 12 B Der Lehrsatz des Pythagoras______ 14 Der Lehrsatz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck ________________ 14 Satz des Pythagoras in ebenen Figuren anwenden_________________________ 16 Satz des Pythagoras in Quadern und Würfeln anwenden___________________ 18 Satz des Pythagoras in quadratischen Pyramiden anwenden_________________ 20 C Terme und Bruchterme_ __________ 22 Terme aufstellen und interpretieren _______ 22 Rechnen mit Termen__________________ 24 Faktorisieren von Termen_______________ 26 Bruchterme_________________________ 28 D Statistik_ ______________________ 30 Statistische Kennzahlen und Häufigkeitsverteilungen _______________ 30 Kreuztabellen _______________________ 32 E Gleichungen und Bruchgleichungen_ 34 Lineare Gleichungen in einer Variablen_ ____ 34 Formeln __________________________ 36 Bruchgleichungen _ __________________ 38 Textgleichungen_____________________ 40 F Der Kreis_ ______________________ 42 Der Umfang des Kreises________________ 42 Der Flächeninhalt des Kreises____________ 43 Der Kreisring_ ______________________ 44 Der Kreissektor und der Kreisbogen________ 45 Zusammengesetzte Figuren_____________ 46 G Funktionen_____________________ 48 Zusammenhänge aus dem Alltag_________ 48 Funktionen – Grundbegriffe_____________ 50 Darstellen von Funktionen______________ 52 Lineare Funktionen___________________ 54 Nicht lineare Funktionen_______________ 56 H Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen____________________ 58 Lineare Gleichung mit zwei Variablen_ ______ 58 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen graphisch lösen___________ 60 Rechnerische Lösungsverfahren_ _________ 62 Textaufgaben zu linearen Gleichungs- systemen mit zwei Variablen ____________ 64 I Drehzylinder und Drehkegel _ _____ 66 Das Volumen des Drehzylinders_ _________ 66 Die Oberfläche des Drehzylinders_ ________ 68 Das Volumen des Drehkegels____________ 70 Die Oberfläche des Drehkegels _ _________ 72 Zusammengesetzte Körper _____________ 74 J Wahrscheinlichkeitsrechnung______ 76 Wahrscheinlichkeitsrechnung – Wiederholung und Vertiefung _ __________ 76 Wahrscheinlichkeit bei zweistufigen Zufallsexperimenten _ ________________ 78 K Wiederholung der Inhalte der Sekundarstufe 1_ ___________________ 80 Arbeiten mit Zahlen und Maßen__________ 80 Arbeiten mit Variablen und Funktionen _____ 82 Arbeiten mit Proportionalitäten, Daten und Zufall ____________________________ 84 Arbeiten mit Figuren und Körpern_________ 85 Themenzentrierte Aufgaben_____________ 86 Aufgabe über das gesamte Schuljahr_ _______________________ 88 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 2 Zum Arbeitsheft Dieses Arbeitsheft ergänzt das Schulbuch Lösungswege 4. Es bietet vielfältige motivierende Aufgaben, um den Lehrstoff zu festigen. • Die Wiederholung der 3. Klasse ist ein idealer Einstieg in die 4. Klasse. • Zu allen Abschnitten des Arbeitsheftes werden Aufgaben angeboten, deren Ergebnisse direkt in dieses Buch geschrieben werden können. Zudem gibt es auf allen Seiten Selbstkontrollen für die Schülerinnen und Schüler. Abschnitt K ist ein Bonusangebot – er bietet Aufgaben an, die der Festigung der Inhalte der Unterstufe dienen und dadurch auf die Oberstufe vorbereiten. • Auf der Abschlussseite des Arbeitsheftes findet sich eine vernetzte Aufgabe, die mehrere Themenbereiche des Schuljahres abdeckt. • Die Lösungen zu allen Aufgaben sind in der Mitte des Arbeitshefts beigelegt und können herausgetrennt werden. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Wiederholung der 3. Klasse Zur Selbstkontrolle sind alle Ergebnisse in der Tabelle unten. Markiere die Buchstaben darunter und du erhältst einen englischen Lösungssatz. 1 Vereinfache die Aufgaben und berechne die Ergebnisse. a) [(– 4) + (– 3)] · (+ 15) – (– 6) : (– 4) = b) [(+ 10) · (– 14) – (– 12) : (– 3)] · (+ 3) = c) [(+ 48) : (– 8) – (– 51) : (+ 3)] – (+ 40) = 2 Gegeben ist ein Koordinatensystem. (1 Kästchen entspricht 1 cm2.) a) Zeichne die Punkte A = (– 5 | – 1), B = (2 | – 1) und C = (0 | 3) ein. b) Ergänze einen Punkt D, sodass ein Parallelogramm entsteht. D = c) Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms in cm2 und m2. cm2 = m2 d) Markiere den Punkt E = (– 3 | 4,5). Berechne den Flächeninhalt der Figur ABCE. 3 Löse die Textaufgabe. a) Multipliziere die Summe von (– 3,8) und (– 2,9) mit (– 0,5). b) Dividiere die Differenz von (– 4,5) und (+ 0,9) durch den Quotienten von (– 13,5) und (+ 0,3). 4 Löse die Aufgabe. Beachte dabei die Vorrangregeln für Potenzen. a) 43 + 4 · (– 8) = b) 10 + 42 – (– 2) · 6 = c) (2 + 11)2 + (3 + 1)2 = d) (5 + (– 3))3 – 14 · 2 = 48 33,25 32 4,55 (– 7 | 3) D 28 3 0,0028 – 432 A B A U C H K E T O 0,12 36 (4 | – 4) – 29 38 185 – 20 3,35 – 106,5 2 _ 3 S T U C H O O L ! ? LÖSUNGSSATZ: O M, O, DI 0 x y 1 2 3 4 – 1 – 2 – 3 – 1 – – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 7 – 8 1 2 3 4 M, O O 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Zur Selbstkontrolle befinden sich alle Ergebnisse unten verkehrt im Kästchen. 5 Bei einer Befragung wird 20 Schülerinnen und Schülern die Frage gestellt, wie viele Minuten sie für die letzte Mathematikhausübung benötigt haben. Die Antworten werden in einer geordneten Datenliste dargestellt: 5; 10; 10; 15; 20; 25; 30; 45; 55; 55; 55; 55; 55; 60; 60; 75; 80; 95; 100; 120 (Angaben in Minuten) a) Ermittle das Minimum, das Maximum und die Spannweite r. min: max: r: b) Berechne das arithmetische Mittel und den Median. arithmetisches Mittel: Median: 6 Vereinfache den Term. a) a + b + a + b = b) 2 x2 + 3 x2 + x = c) w (3 w – 5) = 7 Wende die drei binomischen Formeln an und ergänze die Lücken. a) (b + 3 c)2 = b) (a2 – c)2 = c) (e – 2 f) (e + 2 f) = d) (5 i – )2 = – + k2 8 Löse die Gleichung. Mache auch die Probe. a) 25 b – 10 = 24 + 8 b Probe: b) f + 48 = – 2 f – 6 Probe: c) 30 – 5 c = 15 – 9 c Probe: M, O O O O 55 min (5 i – k)2 – 3,75 2 a + 2 b 40 = 40 5 x2 + x e2 – 4 f2 – 18 115 min a4 – 2 a2 c + c2 3 w2 – 5 w 120 min 30 = 30 48,75 = 48,75 2 b2 + 6 bc + 9 c2 51,25 min 5 min 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Zur Selbstkontrolle sind die Ergebnisse der Aufgaben in einem Pfeil unten. Welche Farbe hat der Pfeil? 9 Sonja und Julia sind zusammen 34 Jahre alt. Sonja ist um 4 Jahre jünger als Julia. Berechne das Alter der beiden Jugendlichen. Stelle zu dieser Textaufgabe eine Gleichung auf und löse sie. Sonja: Julia: 10 Bei einem Herbstfest gibt es ein Gewinnspiel mit 150 Spielsteinen, die einer Urne entnommen werden. Diese werden, sobald man sie gelesen hat, wieder in die Urne geworfen. 30 zeigen eine Schokolade, 15 einen Gutschein und einer einen Hubschrauber. Der Rest ist leer. a) Zieht man einen Stein mit einem Gutscheinbild, gewinnt man einen 20 €-Gutschein. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass man bei einmaligem Ziehen diesen Gutschein gewinnt. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass man bei einmaligem Ziehen einen leeren Stein zieht und somit nichts gewinnt. c) Der Veranstalter wirbt mit dem Satz: „Beim Gewinnspiel gewinnt jeder Dritte.“ Stimmt dieser Satz? Begründe deine Meinung mathematisch. d) Das Herbstfest wird von etwa 750 Menschen besucht. Berechne, wie viele Hubschrauberflüge höchstwahrscheinlich als Preis ausgegeben werden, wenn alle Spielsteine wieder zurückgelegt werden. 11 Berechne den Prozentwert. Kreuze das passende Kästchen an. a) 20 % der 30 Mädchen in der 4A tragen eine Zahnspange. A  2 Mädchen B  3 Mädchen C  6 Mädchen D  4 Mädchen E  8 Mädchen b) 40 % von 400 € werden gespart. A  106 € B  166 € C  147 € D  160 € E  153 € 12 Berechne den Oberflächeninhalt und das Volumen des Prismas. O = V = M, O M, O, V M, O 4 cm 2,55 cm 2,5 cm 3,2 cm 2,5 cm 5 cm O NEIN 0,693˙ 0,15 15 71,75 5 37,5 A D 19 NEIN 0,693˙ 0,1 15 71,75 5 37,5 C D 19 NEIN 0,693˙ 0,1 16 63,75 6 27,5 C B 18 5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

A Die reellen Zahlen Die Menge der rationalen Zahlen Zur Selbstkontrolle sind alle Ergebnisse in einem Kästchen unten angegeben. Einige falsche Werte sind auch dabei. Gib an, welche. 13 Kreuze die richtigen Aussagen an. A 2,5 ist eine ganze Zahl.  D 7,1 ist eine endliche Dezimalzahl.  B 6,3˙ ist eine periodische Dezimalzahl.  E 10 ist eine ganze Zahl.  C – 6 ist eine natürliche Zahl.  14 Gegeben sind rationale Zahlen in Bruchschreibweise bzw. Dezimalschreibweise. Ergänze jeweils die fehlende Darstellung. Bruchdarstellung 1 _ 5 3 _ 8 4 _ 5 – 1 _ 9 – 17 _ 100 Dezimaldarstellung 0,35 0,75 7,5 – 0,006 15 Vereinfache die Aufgabe und berechne das Ergebnis. a) (+ 0,8) · (– 3) + (+ 5,1) = b) (– 3,2) · (+ 5,5) – (– 8) : (+ 0,5) = 16 Vereinfache die Aufgabe und berechne das Ergebnis. a) 4 2 – 3 _ 4 3 + 2 – 2 _ 5 3 5 · 2 + 4 _ 10 3 = b) 4 2 – 3 _ 4 3 – 2 – 2 _ 3 3 5 · 2 – 12 _ 15 3 = 17 Setze das passende Zeichen ein. a) – 3,4 ℤ b) – 1 _ 2 Q c) 5,2 ℕ d) – 4 1 _ 2 Q e) – 10,24 ℤ f) 7 ℕ g) 3 _ 4 ℕ h) – 2 ℤ 18 Kreuze jeweils alle Zahlenbereiche an, in denen die gegebene Zahl liegt. 3 – 1,2 2 _ 5 – 24 _ 8 1 _ 8 56 _ 16 9 _ 50 – 6,1˙ – 4 ℕ          ℤ          Q          1 DI DI O O O DI 13 Kreuze * * * * B D – 46 _ 100 1 _ 15 2,7 – 1,6 – 0,17 E 0,2 6 – 0,1˙ 0,375 0,8 + + + + 7 _ 20 3 _ 4 – 6 _ 1 000 7 1 _ 2 6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Zur Selbstkontrolle sind in einem Kästchen unten Hinweise und Ergebnisse angegeben. 19 Gegeben sind einige Zahlen. – 3 _ 4 1 _ 3 – 4 – 7  1 _ 9 – 7,6 – 1 2,4˙ 9 – 8,4 7,6 – 6 2 _ 3 4 1 _ 5 2 _ 9 – 4 8 _ 10 0 Gib die ganzen Zahlen an: Gib die periodischen Dezimalzahlen an: 20 Setze das passende Zeichen * oder + ein, sodass die Aussage richtig ist. a) – 0,01 ℕ b) 1,25 ℤ c) – 5 ℤ d) 3 _ 10 Q e) | – 6,3 | ℤ f) – 13 _ 10 Q g) 0,02 Q h) 83 ℕ i) – 4,11 Q j) 26 _ 10 ℤ k) | – 2,5 | Q l) – 6 _ 8 ℕ 21 Trage die Ergebnisse der Rechnungen an den richtigen Stellen im Diagramm rechts ein. 1) 1 _ 4 + 3 _ 4 = 6) 10 _ 8 · – 4 _ 5 = 2) – 8 · 2 _ 4 = 7) 1 _ 2 – 1 _ 8 = 3) 3 _ 8 + 2 _ 4 = 8) 0 · 7 _ 8 = 4) 1 _ 6 · 9 _ 6 = 9) 6 _ 3 · (– 4) = 5) 2 _ 10 · 1 _ 50 = 10) 4 _ 8 – – 12 _ 8 = 22 Schreibe die Zahlen an die passenden Stellen in der Graphik. a) – 20; 0,2; – 12; – 6 2 _ 10 ; 4; 6,8; – 14 3 _ 5 b) 7; – 2,4; 3,6; – 14; – 1 2 _ 6 ; 4 1 _ 5 ; 2 _ 10 ; 88; – 4 8 _ 10 ; 0 DI O O, DI Q N Z DI N Q Z N Q Z ℤ (ohne N): eine Zahl bzw. zwei Zahlen Q (ohne N bzw. Z): vier Zahlen bzw. sechs Zahlen ganze Zahlen: vier Zahlen + + * * + * * * * + * + periodische Dezimalzahlen: 5 Zahlen ℕ: eine Zahl bzw. drei Zahlen Q N Z 7 A Die reellen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Die Menge der reellen Zahlen Zur Selbstkontrolle befinden sich unten in der Denkblase Hinweise. 23 Ziehe die Quadratwurzel. a) 9 __ 462 = b) 9 ___ 0,152 = c) 9 __ 392 = d) 9 __ 172 = e) 9 __ 36 = f) 9 __ 100 = g) 9 __ 225 = h) 9 __ 64  = 24 Kreuze jeweils alle Zahlenbereiche an, in denen die gegebene Zahl liegt. 2 9 _ 2 3 _ 7 – 30 _ 5 9 __ 0,5 42 _ 14 5 _ 100 – 2,3˙ 9__ 16 ℕ          ℤ          Q          I          ℝ          25 Gegeben sind einige Zahlen. Trage die angegebenen Zahlen richtig in die Grafik ein. a) 9 _ 4 ; 9 _ 5; –2; 5; 8,9; 1 _ 3 ; 7; 0,4; 9 _ 2 _ 5 b) 1 _ 7 ; 5,3; 9; 0; 9_ 6 ; 9 ___ 0,36 ; 9 _ 2 ; 4 _ 9 ; 9 __ 9 _ 64 26 Setzte * oder + ein. a) 9 __ 25 ℝ b) 9 ___ 0,144 I c) 9 __ 0,3 Q d) 9 __ 100 ℝ e) 0, 4˙  Q f) 9 __ 16 Q g) 9 ___ 0,25 I h) 9 __ 0,5 ℝ i) 9 __ 13 I j) 9_ 7 _ 7 I 27 Kreuze die richtigen Aussagen an und begründe diese Zuordnung. Aussage richtig A Alle irrationalen Zahlen sind reelle Zahlen.  B Jede natürliche Zahl ist auch eine irrationale Zahl.  C Jede ganze Zahl ist auch eine reelle Zahl.  D Alle rationalen Zahlen sind ganze Zahlen.  E Jede reelle Zahl ist auch eine irrationale Zahl.  2 O O, DI DI Q I R Q I R O, DI DI, V 23) 9 __ a2 = a 24) N: 3 Zahlen; Z: 4 Zahlen; Q: 7 Zahlen; I: 2 Zahlen R: 9 Zahlen 25) Q: je 7 Zahlen; I: je 2 Zahlen 26) 8 *; 2 + 27) 2 korrekte Lösungen 8 A Die reellen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Zur Selbstkontrolle sind unten im Kästchen Hinweise angegeben. 28 Kreuze jeweils alle Zahlenbereiche an, in denen die gegebene Zahl liegt. 6,4 – 5 9 _ 7 – 30 _ 11 1 _ 2 9__ 50 9 __ 169 – 2,3˙ 3 ℕ          ℤ          Q          I          ℝ          29 Gegeben sind einige Zahlen. Trage die angegebenen Zahlen richtig in die Grafik ein. a) 8; 9 _ 9; –1; 2 _ 3 ; 9__ 17; 21,5; 3 _ 7 ; 8 _ 4 ; 9 ___ 0,25 ; 9 _ 8 b) 9 __ 40 ; 9 __ 36 ; 9 ___ 1,44; 0,8˙ ; 13; 1 _ 12 ; 4 _ 9 ; 7 _ 19 ; 6,6 30 Gegeben ist die „Wurzel-Schnecke“. Zeichne die Schnecke nach (1 entspricht 1 cm) und kontrolliere die Werte der Seitenwände mit Hilfe des Taschenrechners. Im nächsten Kapitel lernst du dann, warum die Hypotenusen der einzelnen Dreiecke diese Längen besitzen. O, DI O, DI Q Z N I R Q Z N I R DI 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9_ 2 9_ 3 9 _ 4 9_ 5 9_ 6 9_ 7 9_ 8 9_ 9 9__ 10 9__ 11 9__ 12 9 __ 13 9__ 14 9__ 15 9__ 16 Anzahl der Zahlen: 28) N: 2; Z: 3; Q: 7; I: 2; R: alle 29) N: 2 bzw. 3; Z: 0 bzw. 1; Q: 4 bzw. 6; I: 1 bzw. 2 Vorschau auf das nächste Kapitel: z. B. 9 ____ 12 + 12 = 9 _ 2 ; 9 _____ 9 __ 13 2 + 12 = 9 __ 14 9 A Die reellen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Rechnen mit Quadratwurzeln Zur Selbstkontrolle sind alle Ergebnisse in einem Aquarium unten. Fische sie heraus! 31 Rechne im Kopf. a 900 10 000 1 600 400 2 500 1 000 000 6 400 640 000 4 900 9_ a 32 Berechne die Aufgabe mit dem Taschenrechner. a) 9 ___ 19,36 = b) 9 ___ 56,25 = c) 9 ____ 334,89 = d) 9 _____ 637,5625= e) 9 _____ 3 080,25 = f) 9 ____ 171,61 = g) 9 ____ 1 354,24 = h) 9 _____ 0,000 001 = 33 Gib an, zwischen welchen beiden benachbarten natürlichen Zahlen die gegebene Quadratwurzel liegt, ohne dabei einen Taschenrechner zu verwenden. a) < 9 __ 21  < b) < 9 __ 30  < c) < 9 _ 7  < d) < 9 __ 45  < 34 Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. (Alle Variablen sind positiv.) 9 __ z81 = z9 9 __ x225 = x15 9 __ y16 = y8 9 __ z125 = z25 9 __ y64 = y32 A  B  C  D  E  35 Kreuze alle zutreffenden Aussagen an. a) A 9 ____ 20+4=9 __ 20 + 9 _ 4  b) A 9 ___ 9–1=9 _ 9 – 9 _ 1  B 9 ___ 36 · 9 = 9 __ 36 · 9 _ 9  B 9 ____ 60+2=9 __ 60 + 9 _ 2  C 9 ___ 100·7= 9 __ 100 · 9 _ 7  C 9 ___ 7–3=9 _ 7  – 9 _ 3  D 9 __ 81 _ 5 = 9 __ 81 _ 9 _ 5  D 9 __ 18 _ 6 = 9 __ 18 _ 9 _ 6  36 Vereinfache durch teilweises Quadratwurzelziehen. Verwende keinen Taschenrechner, sondern zerlege den Radikanden in Faktoren. a) 9 ___ 9 800 b) 9 __ 700 c) 9 ___ 1 000 d) 9 __ 675 e) 9 ___ 4 500 f) 9 __ 120 3 O O O DI DI O 10 A Die reellen Zahlen 36,8 25,25 30 · 9 _ 5 100 4,4 10 · 9 _ 7 13,1 1 000 C 2 · 9 __ 30 80 18,3 0,001 15 · 9 _ 3 30 10 · 9 __ 10 2;3 4;5 50 20 5;6 D 7,5 B,C,D E 800 6;7 70 70 · 9 _ 2 55,5 40 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Zur Selbstkontrolle sind alle Ergebnisse unter den Süßigkeiten zu finden. Nimm sie dir, aber gib acht: Nicht alle gehören dazu! 37 Rechne im Kopf. a 0,25 0,81 1,44 6,25 0,01 0,04 0,36 2,25 1,96 9_ a 38 Berechne die Aufgabe mit dem Taschenrechner. Runde auf zwei Dezimalstellen. a) 9 _ 3 _ 7 = b) 9 __ 5 _ 12 = c) 9 _ 3 _ 5 = d) 9 __ 4 _ 16   = e) 9 __ 10 _ 33 = f) 9 __ 49 _ 64 = g) 9 __ 122 _ 169 = h) 9 __ 25 _ 100 = 39 Gib an, zwischen welchen beiden benachbarten natürlichen Zahlen die gegebene Quadratwurzel liegt, ohne dabei einen Taschenrechner zu verwenden. a) < 9 __ 130  < b) < 9 __ 70 < c) < 9 __ 240 < d) < 9 __ 88 < 40 Vereinfache ohne Verwendung des Taschenrechners den Term durch Quadratwurzelziehen. (Alle Variablen sind positiv.) a) 9 ___ 4 x16 = b) 9 ___ 64 x80 = c) 9 ___ 9 x400 = d) 9 ___ 4 x26 = e) 9 ___ 64 x80 = f) 9 __ x100 = g) 9 ___ 25 x8 = h) 9 ___ 36 x14 = 41 Kreuze an, welche Aussagen zutreffend sind. a) A 9 ____ 0,36 + 4= 9 ___ 0,36 + 9 _ 4  b) A 9 ___ 16–1=9 __ 16 – 9 _ 1  B 9 ____ 0,81 · 9 = 9 ___ 0,81 · 9 _ 9  B 9 ___ 60 · 2 = 9 __ 60 · 9 _ 2  C 9 ____ 0,09·7= 9 ___ 0,09 · 9 _ 7  C 9 __ 7 · 3 = 9 _ 7 · 9 _ 3  D 9 __ 64 _ 5 = 9 __ 64 _ 9 _ 5  D 9 __ 25 _ 9 = 9 __ 25 _ 9 _ 9  42 Vereinfache durch teilweises Quadratwurzelziehen. Verwende keinen Taschenrechner, sondern zerlege den Radikanden in Faktoren. (Alle Unbekannten sind positiv.) a) 9 ___ 48 w 2 _ 20 p2 b) 9 __ 72 r 2 _ 16 t3 c) 9 ___ 108 u 4 _ x9 d) 9 ___ 21 v 12 _ 169 k5 e) 9 ___ 225 u90 _ 44 p f) 9 ___ 162 r 9 _ 75 s6 O O O O O O 6 x7 x50 w · 9__ 12 _ p · 9 _ 5 3 r · 9_ 2 _ 2 t · 9 _ t 6 u 2 · 9 _ 3 _ x4 · 9_ x 2 x 9 _ 8 v6 · 9 __ 21 __ 13 k2 · 9 _ k 15 u 45 _ 2 · 9 __ 11 p 2 q 9 _ 7 9 r 4 · 9 __ 2 r __ 5 s3 · 9 _ 3 B, C, D B, C, D 0,5 11; 12 8; 9 2 x8 x13 15;16 9;10 7;8 x50 x8 13; 14 14; 15 13; 14 3 x200 8 x40 5 x4 0,5 0,9 1,2 2,5 0,1 0,2 0,6 1,5 5 r2 9 _ 2 3 v2 9 _ 2 1,4 0,65 0,65 0,77 0,5 0,55 0,88 0,85 11 A Die reellen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Rechnen mit Kubikwurzeln Zur Selbstkontrolle sind alle Ergebnisse in einem Tier unten. Welches Tier ist es? 43 Ergänze die Tabelle. a 0 3 5 9 13 0,5 0,2 a3 3 9 __ a3 44 Gegeben ist ein Würfel mit V = 15,625 cm3. i) Gib die Seitenlänge des Würfels an. ii) Multipliziere die Seitenlänge mit 2. iii) Berechne das Volumen eines Würfels mit doppelter Seitenlänge. iv) Gib an, um welchen Faktor sich das Volumen verändert hat. v) Ziehe die Kubikwurzel aus diesem Faktor. 45 Ziehe die Kubikwurzel. a) 3 9__ x18 = b) 3 9__ z12 = c) 3 9__ x9 = d) 3 9 __ y24 = e) 3 9__ a36 = f) 3 9 __ y42 = 46 Kreuze die zutreffenden Aussagen an. a) A 3 9 _ 8 · 3 9 _ 1 = 3 9 __ 8 · 1  b) A 3 9 __ 64 : 3 9 _ 8 = 3 9__ 64 _ 8  B 3 9 _ 8 + 3 9 _ 1 = 3 9 ___ 8 + 1   B 3 9 __ 64 – 3 9 _ 8 = 3 9 ____ 64 – 8   C 3 9 _ 8 – 3 9 _ 1 = 3 9 ___ 8 – 1   C 3 9 __ 64 · 3 9 _ 8 = 3 9 ___ 64 · 8  D 3 9 _ 8 : 3 9 _ 1 = 3 9_ 8 _ 1  D 3 9 __ 64 : 3 9 _ 8 = 3 9 ___ 64 · 8  E 3 9 _ 8 : 3 9 _ 1 = 3 9 __ 8 : 1  E 3 9 __ 64 + 3 9 _ 8 = 3 9 ____ 64 + 8   4 O M, O O O 0; 0; 2; 8; 3; 5; 9; 27; 125; 729; 13; 0,5; 0,2; 2 197; 0,125; 0,008 2,5 cm 5 cm 125 cm3 x6 z4 x3 y8 a12 y14 A, A, C, D, D, E 0; 0; 4; 8; 3; 5; 9; 27; 125; 729; 13; 0,05; 0,2; 2 397; 0,125; 0,008 2,5 cm 7,5 cm 125 cm3 x6 z4 x3 y8 a12 y14 A, B, C, D, D, E 12 A Die reellen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Zur Selbstkontrolle sind alle Ergebnisse bei den Buntstiften unten. In welchem sind keine korrekten Werte? 47 Ergänze die Tabelle. a 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 3 9_ a 48 Kreise alle Kubikwurzeln, die eine irrationale Zahl darstellen, ein. 49 Vereinfache durch Wurzelziehen. a) 3 9__ 8 a3 = b) 3 9___ 27 x12 = c) 3 9 ___ 64 y15 = d) 3 9____ 216 z42 = e) 3 9 ___ 125 u9 = f) 3 9____ 1 000 u3 = 50 Ziehe die Kubikwurzel, ohne den Taschenrechner zu verwenden. a) 3 9__ – 8 _ 64 = b) 3 9___ 1 _ – 216 = c) 3 9___ – 125 _ 1 000 = d) 3 9__ 512 _ 729 = e) 3 9___ 64 _ 1 000 = f) 3 9__ – 1 _ – 8 = 51 Vereinfache durch teilweises Wurzelziehen. a) 3 9___ 48 a5 = b) 3 9 ___ 54 x13 = c) 3 9 ___ 54 y17 = d) 3 9___ 80 z40 = e) 3 9 ____ 750 u10 = f) 3 9 _____ 5 000 y17 = O DI 3 9 _ 1 3 9 __ 25 3 9 __ 81 3 9 __ 100 3 9 ___ 8 000 3 9 __ 125 3 9 ___ 1 000 3 9 __ 34 3 9 _ 0 3 9 ___ 27 00 3 9 __ 27 3 9 __ 64 3 9 __ 20 3 9 ____ 27 000 3 9 __ 500 3 9 __ 800 3 9 __ 216 3 9 __ 512 O O O 0 2 a 3 9 __ 6 a2 1 3 x4 3 9 __ 2 x 8 3 y5 3 9 __ 2 y2 27 2 z13 3 9 __ 10z 64 5 u3 3 9 __ 6 u 216 2 a 343 1 _ 2 512 2 _ 5 729 8 _ 9 – 1 _ 2 0 – 1 _ 6 125 10 y5 3 9 __ 5 y2 1 – 1 _ 2 2 3 9__ 25 3 9__ 100 3 9__ 34 3 9___ 2700 3 9__ 20 3 9__ 500 3 9__ 800 3 3 x4 4 4y5 5 6 z14 6 5 u3 7 8 9 10 u 3 x 5 h2 9_ 4 20 y4 2 _3 13 A Die reellen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

B Der Lehrsatz des Pythagoras Der Lehrsatz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck Markiere zur Selbstkontrolle die Ergebnisse in den Tabellen. Du erhältst jeweils ein Lösungswort. 52 Gegeben sind drei Dreiecke. a) Markiere jeweils die Katheten grün und die Hypotenuse rot. b) Vervollständige die Rechenausdrücke. 1) x2 = y2 = z2 = 2) s2 = t2 = v2 = 3) a2 = b2 = c2 = LÖSUNGSWORT: 53 Kontrolliere, ob das Dreieck rechtwinklig ist. Markiere anschließend die Ergebnisse in der Tabelle. Du erhältst als Lösungswort einen Gegenstand, der auf dieser Seite zu sehen ist. a) a = 18 cm, b = 80 cm, c = 82 cm b) a = 12 cm, b = 35 cm, c = 39 cm c) a = 6 dm, b = 8 dm, c = 10 dm d) a = 30 cm, b = 224 cm, c = 226 cm e) a = 9 m, b = 40 m, c = 45 m f) a=8m,b=15m,c=17m 5 O, DI z2 + y2 A b2 – c2 B v2 – t2 L x2 + y2 E z2 + x2 U z2 – x2 I b2 – a2 S v2 + t2 C v2 + s2 H b2 + c2 A z2 – y2 T v2 – s2 I a2 + c2 F s2 + t2 T x y z s t v a c b O, DI a) b) c) d) e) f) R T E A S L S T A E L N Ja Nein Ja Nein Ja Nein Ja Nein Ja Nein Ja Nein LÖSUNGSWORT: 14 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Markiere zur Selbstkontrolle die Ergebnisse in der Tabelle unten. Du erhältst ein Lösungswort. 54 Berechne die Länge der fehlenden Seite des rechtwinkligen Dreiecks. a) c = b) x = 55 Gegeben ist ein Vieleck. Ermittle die Länge der rot markierten Seite. x = 56 Gianni will das Dach des Hauses (siehe nebenstehende Abbildung) reparieren. Er stellt eine fünf Meter lange Leiter in 1,4 m Abstand an die Hauswand. Die Leiter reicht genau bis zum Dach. Berechne die Länge der eingezeichneten Höhe des Hauses. 57 Ein Wohnhaus ist 33,5 m hoch. Bauarbeiter möchten für Dach- arbeiten eine Materialseilbahn bauen. Dazu spannen sie von einer Stelle, die 30 m vom Haus entfernt ist, ein Drahtseil und befestigen es am Hausdach. i) Zeichne zu diesem Sachverhalt eine Skizze. ii) Berechne, wie lang das Drahtseil mindestens sein muss. O 5 cm 8 cm c 2 cm 9 cm x O 39 47 15 x ? 1,4 m 5 m M, O M, O, DI P A N N U S T O T S 41 ~ 30,22 m ~ 7,99 cm ~ 12,63 cm 4,8 m 20 ~ 9,22 cm ~ 45 m 36 ~ 9,43 cm LÖSUNGSWORT: 15 B Der Lehrsatz des Pythagoras Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Satz des Pythagoras in ebenen Figuren anwenden Zur Selbstkontrolle sind alle Ergebnisse in der Tabelle unten. Markiere sie. Was bleibt übrig? Du erhälst ein Lösungswort. 58 Ein Bildschirm ist, wie in nebenstehender Abbildung, 36,1 cm breit und 20,3 cm hoch. Berechne die Länge der Bildschirmdiagonale (Runde auf zwei Dezimalstellen). 59 Gegeben ist das nebenstehende gleichschenklige Dreieck mit a = b = 11,9 cm und c = 11,2 cm. Kreuze die zutreffenden Aussagen an. A Die Höhe hc kann man mit der Rechnung 9 ______ 11,22 + 11,92 = h c ermitteln.  B Im rechtwinkligen Dreieck ist hc die Hypotenuse.  C Die Höhe hc kann man mit der Rechnung 9 _______ 11,92 − 2 11,2 _ 2 3 2 = hc ermitteln.  D Die Höhe hc kann man mit der Rechnung 9 ______ 11,92 − 11,22 = h c ermitteln.  E Im rechtwinkligen Dreieck ist hc eine Kathete.  60 Bei nebenstehendem gleichschenkligen Trapez (a, b, c, d) sind zwei Seiten- längen und die Länge der Höhe gegeben. a) Berechne die Länge der Seite b (b = d). b = b) Ermittle den Flächeninhalt des Trapezes. A = 61 Bei nebenstehender Raute sind die Längen der beiden Diagonalen e und f gegeben. a) Berechne die Länge der Seite a. a = b) Ermittle den Umfang der Raute. u = B R E I U L P E N 21,2 36,9 45,5 B, D 5,3 41,42 2,94 7,43 C, E LÖSUNGSWORT: 6 36,1 cm 20,3 cm d M, O 11,9 cm 11,9 cm 11,2 cm A B C hc M M, O 4 m 9 m 7 m M, O M, O 5,6 cm 9 cm 16 B Der Lehrsatz des Pythagoras Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Zur Selbstkontrolle sind alle Lösungen in einem der Pfeile auf der Seite. Welche Farbe hat der Pfeil mit allen richtigen Ergebnissen? 62 Ein Platz vor einem Rathaus, wie in der Zeichnung rechts, soll neu gepflastert werden. a) Ermittle die Länge der fehlenden Seite. x = b) Berechne den Flächeninhalt des Platzes. A = 63 Eine Hauswand, wie in der Zeichnung rechts, soll neu gestrichen werden. Zur Berechnung des Flächeninhaltes benötigt man die Länge der Höhe des Daches. a) Berechne die Länge der Höhe des Daches. h = b) Ermittle den Flächeninhalt der Hauswand. A = 64 Bei nebenstehendem Parallelogramm sind die Längen der Seite b und der Diagonale f, sowie der Höhe ha gegeben. a) Gib eine Formel zur Berechnung der Längen der Teilstücke x und y an. x = y = b) Gib eine Formel zur Berechnung der Länge der Diagonale f an. Die Ergebnisse für x und y aus a) dürfen dafür verwendet werden. f = 65 Gegeben ist nebenstehende Raute mit den Diagonalen e und f. Berechne die Länge der Seite a. 66 Für ein Kunststück mit dem Skateboard legt Leon ein Holz- brett auf eine Halbkugel aus Stein (d = 0,5 m). Das Brett soll 1,5 m über die Steinkugel herausragen (siehe Abbildung rechts) und 3 m vor der Kugel den Boden berühren. Berechne die Länge des Holzbrettes (Runde auf eine Dezimalstelle). 11,4 m 8,5 m 8 m 4 m x M, O 4,5 2,7 4,92 7 264,55 64,4 9 ____ b2 – h a 2 9 ____ f2 – h x 2 9 ____ y2 + h a 2 11,6 18,5 10,8 11,6 h M, O 4,74 2,7 4,94 7 264,55 85,4 9 ____ b2 – h a 2 9 ____ f2 – h a 2 9 ____ y2 + h a 2 a b b x y f h a M, O 3,2 2,6 4,94 6 329,3 81,4 9 ____ b2 – h a 2 9 ____ f2 – h a 2 9 ____ y2 – h a 2 5 cm 2 cm a M, O 1,5 m x 0,25 m 0,5 m 3 m M, O 17 B Der Lehrsatz des Pythagoras Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Satz des Pythagoras in Quadern und Würfeln anwenden Zur Selbstkontrolle hat eine Jugendliche oder ein Jugendlicher unten alle Ergebnisse. Wie heißt sie oder er? 67 Gegeben ist ein geometrischer Körper. Berechne die Länge der roten Strecke. Ergänze dazu in der unten abgebildeten Zeichnung das rechtwinklige Dreieck, das du verwendest, in grüner Farbe. 68 In einem quaderförmigen Aquarium (l = 50 cm; b = 30 cm; h = 40 cm) schwimmt ein Fisch von vorne oben rechts nach hinten unten links und wieder zurück. Er benützt dazu den kürzest möglichen Weg. i) Berechne die ungefähre Länge der zurückgelegten Strecke. ii) Samuel beobachtet die Fische und sagt: „Ich glaube, der Fisch, der von vorne oben rechts nach hinten unten links schwimmt, legt die gleiche Weglänge zurück, wie der Fisch, der die vordere Scheibe geradlinig entlangschwimmt und der Fisch, der die seitliche Scheibe von links oben nach rechts unten schwimmt, zusammen.“ Gib an, ob diese Aussage stimmt. Begründe dies rechnerisch. Chris Jürgen Simona 7 M, O, DI 14 cm 20 cm 16 cm M, O, V NEIN 29,2 141,42 JA 19,2 161,42 29,2 NEIN 141,42 18 B Der Lehrsatz des Pythagoras Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Zur Selbstkontrolle sind immer zwei Ergebnisse für jede Aufgabe bei den passenden Abbildungen angegeben. Markiere die richtigen Ergebnisse. 69 Markus hat eine Kiste, die 30 cm lang, 20 cm hoch und 20 cm breit ist. Der Bub möchte einen 40 cm langen Stab in der Kiste verstauen. Berechne, ob der Stab in die Kiste passt. 70 Bei einem quaderförmigen Trinkpäckchen ist auf der Seite der Trinkhalm festgeklebt. Das Trinkpäckchen ist 5 cm lang, 3 cm breit und 7cm hoch. i) Berechne, wie lang der Trinkhalm maximal sein darf, wenn er 1,5 mal so lang wie die Seitendiagonale der größten Fläche sein soll. ii) Kiara hat Angst, dass ihr der Trinkhalm schräg in das Trinkpäckchen rutscht und sie ihn nicht mehr hinausbekommt. Berechne, ob dies bei der in i) ermittelten Länge des Trinkhalms möglich ist. 71 Beim rechts abgebildeten Quader sind die Strecken x, y und z nicht bekannt. i) Gib Rechnungen an, um die gesuchten Strecken zu berechnen. x = y = z = ii) Berechne die gesuchten Strecken. x = y = z = iii) Marlin behauptet: „Am leichtesten ist es, wenn man mit der Strecke z beginnt. Dann berechnet man x und dann y.“ Stimmt diese Behauptung? Begründe deine Meinung. M, O M, O, V M, O, DI, V 2 cm 7 cm 5 cm y x z 4 cm Ja (41,23) oder Nein (55,8) 15,75 cm oder 12,90 cm Ja oder Nein 8,06 cm, 8,3 cm, 4,9 cm oder 6,1 cm, 5,2 cm, 2,5 cm 19 B Der Lehrsatz des Pythagoras Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Satz des Pythagoras in quadratischen Pyramiden anwenden Zur Selbstkontrolle hat eine Jugendliche unten das Ergebnis von 73. 72 Gegeben ist eine Pyramide. Drücke jede beschriftete Seite im rechtwinkligen Dreieck durch die anderen aus. a) b) c) ha = hk = hk = s = hb = s = a _ 2 = a _ 2 = f _ 2 = 73 Gegeben ist, wie rechts dargestellt, eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Die Länge der Flächendiagonale _ AC= 224m und die Länge der Seitenkante = 212 m sind bekannt. Berechne die Höhe der Pyramide. Simona 8 O, DI a _ 2 ha s b a _ 2 hb h k s a b f _ 2 hk f s a b B A C D S M M, O 180 20 B Der Lehrsatz des Pythagoras Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Zur Selbstkontrolle sind alle Lösungen in der Tabelle unten. Markiere die Buchstaben über den richtigen Werten und du erhältst ein Lösungswort. 74 Vor dem Louvre in Paris befindet sich eine gläserne quadratische Pyramide. Sie ist 21,6 m hoch und hat eine Grundfläche von 1 254,6 m2. a) Berechne die Länge der Höhe ha der Pyramide. ha = b) Ermittle die Länge der Seitenkante s. s = c) Paris ist eine Hauptstadt in Europa. i) Beschrifte sie in der Abbildung und ergänze auch das Land in dem Paris liegt. ii) Beschrifte auch die anderen rot eingezeichneten Hauptstädte. Verwende dazu einen Atlas. 75 Gegeben ist ein Oktaeder (Doppelpyramide mit quadratischer Grundfläche, siehe nebenstehende Abbildung). Die Oberfläche wird aus acht gleichseitigen Dreiecken gebildet. i) Berechne die Länge der Höhe h, wenn a = 3 cm. ii) Berechne den Oberflächeninhalt des Körpers. S C H A P N U E T 66,52 7,1 4,2 33,07 6,9 30,14 27,93 25,04 31,18 LÖSUNGSWORT: M, O, V a a a h a H E F C A B M D M, O  Interkulturelle Bildung Vgl. https://studyflix.de/erdkunde/hauptstaedte-europa-4372, [23.5.2025] 21 B Der Lehrsatz des Pythagoras Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

C TERME UND BRUCHTERME Terme aufstellen und interpretieren Zur Selbstkontrolle sind alle Ergebnisse in einer Sprechblase unten. Welche/r Jugendliche hat alle richtigen Lösungen? 76 Schreibe als Term. a) Verdopple die Zahl x und ziehe daraus die Quadratwurzel. b) Vermindere die Hälfte der Zahl y um 9 _ 2 . c) Vermehre ein Drittel von a um 88. d) Viertle die Summe von u2 und 6. 77 Stelle einen Term zur Berechnung des Umfangs der geometrischen Figur a bis d auf. a: c: b: d: 78 Familie Geier hat viele Tiere. Sie besitzt x Katzen, y Hunde und z Wellensittiche. a) Stelle einen Term für den beschriebenen Sachverhalt auf. i) Gesamtanzahl der Tiere ii) Gesamtanzahl der Füße der Wellensittiche iii) Gesamtanzahl der Säugetiere iv) Gesamtanzahl der Beine aller Haustiere v) Anzahl der Ohren aller Katzen b) Interpretiere die folgenden Terme. i) 2 z ii) x _ 2 Dion Kai Anna 9 O O c d 12 cm 13 cm 9 cm 8 cm a b x x x x x x x M, O, V 2 x 4 x 9 _ 3 2 x + 22 y _ 2 – 9 _ 2 9_ x x + 8 2 z 4(x + y) + 2 z u2 + 6 _ 4 2 x + 24 9_ 3 y _ 2 – 2 x + 22 9 _ 3 4 x x + 24 9 _ 2 x + y y _ 2 2 x + 8 4(x+y)+2z 9__ 2 x 2 x 2 x + 8 u2 + 6 _ 4 2 x + 22 a _ 3 + 88 4 x 2 x + 24 9 __ 2 x x + y y _ 2 – 9_ 2 2 x 2 x + 8 2 z u2 + 6 _ 4 4(x + y) + 2 z x + y + z 22 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Zur Selbstkontrolle sind alle Ergebnisse in einer Sprechblase unten. Welche/r Jugendliche hat alle richtigen Lösungen? 79 Unterstreiche im Satz unten die Variable. Benenne sie und schreibe den Satz als Term. a) Subtrahiere 8 vom Dreifachen einer Zahl und ziehe die Wurzel aus dem Ergebnis. b) Bilde die Summe von 2 und dem Fünffachen einer Zahl und quadriere das Ergebnis. c) Bilde das Produkt aus der Quadratwurzel einer Zahl und 17. d) Bilde den Kehrwert aus der Summe von 33 und dem Quadrat einer Zahl. 80 Stelle einen Term zur Berechnung des Umfangs des unten abgebildeten Grundstücks (Angaben in m) auf. a) b) 81 Es ist Abverkauf. Tanja kauft mehrere Kleidungsstücke. Sie kauft p Pullover, r Röcke und s Stiefel. Sie zahlt dafür 15,50 ∙ p + 24,90 ∙ r + 59,80 ∙ s in Euro. i) Gib den Preis für ein Paar Stiefel an. ii) Was bedeutet die Zahl 15,50 im Term? iii) Setze p = 2, r = 1 und s = 1 ein und berechne das Ergebnis. iv) Tanja kauft mehr ein, da Abverkauf ist. Ist dies eine gute Strategie? Begründe deine Meinung. Birgit Michaela Tom M, O M, O x x x + 2 2 x 1 1 3 x 2 x 2 x M, O, V 55,60 (2 x + 5)2 x · 17 8 x + 4 2 _ 10 1 _ 33 + x2 120 9 __ 3x 4x+8 9 ____ 3x – 8 59,80 (2 + 5 x)2 9_ x · 17 115,70 4 x + 8 8 x + 8 1 _ 33 + x2 9 ____ 3 x – 8  64,80 (2 x + 5)2 8 x + 8 9_ x · 17 1 _ 31 x2 4 x + 4 104,5  Wirtschafts-, Finanz- und Verbraucher/innenbildung 23 C TERME UND BRUCHTERME Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Rechnen mit Termen Zur Selbstkontrolle sind alle Ergebnisse verkehrt in einem Kästchen unten. Zwei falsche Ergebnisse sind auch dabei. Wie lauten diese? 82 Vereinfache den Term. a) e + e + 0,5 e = b) – 2 m – 3 m + 4 m = c) 12 x – 2 x + 4 x = d) 2 g + 4 g – g = e) 3 r + 5 r – 2 r = f) 15 a + 2 a – a + 2 a = 83 Vereinfache den Term. a) 2 x2 + 3 x2 = b) 7 x3 + 4 x3 = c) 8 b2 + 4 b2 = d) –10 b3 + b3 – b3 = e) 9 f4 – f4 – 4 f4 = f) 4 p2 + 2 p2 – p2 = 84 Löse die Klammer auf. a) 4 f · (3 f – 2) = b) 4 a · (3 a – 2) = c) 6 h · (3 h – 4) = d) 4 z · 4 u + (u – z) = e) 2 · (4 s + r) = f) 5 v · (4 v – 5) = 85 Wende die binomischen Formeln an. a) (b – 4)2 = b) a2 + 10 a + 25 = c) d2 – p2 = d) (7 – t)2 = e) s2 – 14 s + 49 = f) (2 – t) (2 + t) = 86 Bestimme das Produkt. Mache auch die Probe (x = 1; y = 2). a) xy2 (x – 1) – x2y (y + 1) = b) (2 x – 1) (3 x + 1) – 2 x(1 + 3 x) = 10 O O O O O 16 u z + u – z 12 a2 – 8 a b2 – 8 b + 16 – x2 y – x y2 – 6 = – 6 20 v2 – 25 v 6 r 4 – t2 5 x2 12 f2 – 8 f – 3 x – 1 – 4 = – 4 18 a 5 f2; (d – p)2 4 f4 – m 8 s + 2 r 11 x3 2,5 e 12 b2 (d – p) (d + p) 49 – 14 t + t2 5 g 18 h2 – 24 h (s – 7)2 (a + 5)2 14 x 5 p2 – 10 b3 24 C TERME UND BRUCHTERME Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Zur Selbstkontrolle sind alle Ergebnisse verkehrt in einem Kästchen unten. Zwei falsche Ergebnisse sind auch dabei. Wie lauten diese? 87 Löse die Aufgaben. Achte dabei auf die Rechenregeln. Ordne sie der Tabelle rechts zu. 1: – x · (– 3 y) · 3 x · (– 7 y) · 2 y 2: x · (– 3 y) · 3 x · 7 y · y 3: – x · (– 3) y · 3 y · 7 y · 2 y 4: x · (– 3) · 3 x · 7 y · 2 y 88 Vereinfache den Term a) (x – 5 y) (2 y – x) – (y – 3 x) (– 9) = b) (x2 – 3) (x + y) + (x2 + y) (– 8) = c) (– 3 y + x) (y – 6 x) – x2 – y2 = d) (y2 + 6)(–x + y) + 6x –7y(–3) = e) (5 x – y2)2 – (2 y2 – 1) (3 y + 2 x) = f) (x – 3 y)2 + (y – y) (x + y) = 89 Wende die drei binomischen Formeln an und ergänze die Lücken. a) ( + 2 c)2 = a2 + + b) (f2 – )2 = – 2 bf2 + c) ( + 2 e)2 = + 12 ae + d) (7 i – )2 = – + k2 e) ( + )2 = 9 + + c6 f) (5 g – )2 = – 10 go2 + g) (8 r – ) (8 r + ) = – t4 h) (7 a + 3 b) ( – ) = – O A – 63 x2 y2 B – 126 x2 y2 C – 126 x2 y3 D 126 xy4 E – 126 xy3 F – 63 x2 y3 O O y3 – x y2 + 27 y – 7 x2 – 4 y2 + 19 x y x2 + 9 y2 – 6 x y y4 – 6 y3 – 14 x2 y + 25 x2 + 2 x + 3 y 3; c3; 6 c3 3 a; 9 a2; 4 e2 – x2 – 10 y2 +7xy–27x+9y x3 + x2 y – 8 x2 – 3 x – 11 y 25 g2; o2 ; o4 7 a; 3 b; 49 a2; 9 b2 1C, 2F, 3D, 4B a; 4 a c; 4 c2 t2; t2; 64 r2 6 x2 – 3 x y + 4 y2; 2A k; 49 i2; 14 ki b; f4; b2 25 C TERME UND BRUCHTERME Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Faktorisieren von Termen Zur Selbstkontrolle befinden sich alle Ergebnisse in der Tabelle auf der Seite. Markiere die Buchstaben daneben. Dann erhälst du von oben nach unten gelesen einen Lösungssatz. 90 Hebe den gemeinsamen Faktor heraus. a) 2 x + 12 y = b) 7b–14a= c) 3 b – 6 k + 3 c = d) 6 m + 3 n – 9 c = e) – 2 x – 30 y + 4 z = f) 6 u – 18 v + 6 w = g) 10 x + 5 y = h) 2 b – 4 a = i) 3 b – 6 n + 12 m = j) 6 k + 3 c – 12 p = k) – 22 p – 11 h + 11 z = l) 16 u – 4 r + 8 g = 91 Hebe den gemeinsamen Faktor heraus. a) 2 x2 + 5 x3 = b) 6 a3 – 4 a2 = c) 3 b4 – 6 b2 + 12b3 = d) 6 c2 + 3 c3 + 9 c4 = e) – 2 z4 + 3 z3 + 6 z2 = f) 6 u3 + 10u2 + 8 u4 = g) 2 x2 + 12 x = h) 7 a3 – 14a2 = i) 7 b4 – 21b2 + 7 b3 = j) 9 c2 + 30c3 – 18c4 = k) – 2 z2 – 4 z3 + 2 z = l) 6 u3 – 7 u2 + u4 = LÖSUNGSSATZ: 11 A 3 b2 (b2 + 6 + 12 b) D 7(b – 2a) U x2 (2 + 5 x) B 11 (– 2 p – 11 h + z) H z2 (– 2 z2 + 3 z + 6) A 3 (2 m + n – 3 c) U 7(b + 2a) S 3 b2 (b2 – 2 + 4 b) T 6 (u – 3 v + w) D u2 (6 u – 7 + u2) A 3 (b – 2 k + c) U 3 c2 (2 + 3 c + 3 c2) M 2 (x – 6 y) S 11 (– 2 p – h + z) S 2 (b – 2 a) T 3 (b – 12 n + 6 m) E 4 (4 u – r + 2 g) H – 2 (x + 15 y – 2 z) R 2 a2 (3 a – 2) G 3 (2 k + c – 4 p) E 3 c2 (2 c + c + 3 c2) U 3 (b – 2 n + 4 m) T – 2 z (z + 2 z2 – 1) G 3 c2 (2 + c + 3 c2) E 2 x (x + 6) I 3 c2 (3 + 10 c + 6 c2) M 2 x (x + 6) A 7 b2 (b2 – 3 + b) U 2 (b – 2 n + 6 m) S 3 (2 k + c + 4 p) C 5 (2 x + y) H 7 a2 (a – 2) T 3 c2 (3 + 10 c – 6 c2) ! 2 u2 (3 u + 5 + 4 u2) O O 26 C TERME UND BRUCHTERME Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Zur Selbstkontrolle befinden sich alle Ergebnisse in der Tabelle unten. Markiere die richtigen Lösungen. Welche Terme bleiben übrig? 92 Hebe den gemeinsamen Faktor heraus. a) 9 xy + 15 y = b) 20 xy + 15 xz = c) 14ab+21bc–7bd= d) 4 a2 – 2 a = e) x3 – 2 x2 + 2 x = f) 10 x4 + 5 x2 – 20 x = g) 24 a2b – 12 ab2 = h) 18 x3y2 + 30x2y = 93 Hebe den gemeinsamen Faktor heraus. a) 21 xz + 28 yz + 35 z = b) 2 a3b2 – 6 ab2 + 8 ab = c) 50 xz2 + 30 yz + 25 z = d) 25 a3b2 – 10 ab2 + 5 ab = e) 6 xy + 18 y2 z + 30 y = f) 5 ab2 – 20 a2 b2 + 5 a2 b = g) 4 x3 + 28 xz + 40 x2 = h) 9 a2 b2 – 36b2 + 45 ab = 7b(2a + 3c – d) 6 y (x + 3 yz + 5) 2 a (2 a – 1) 4 x (x2 +7z + 10x) 3 y (3 x + 5) 2 ab (a2 b – 3 b + 4) 6 x2 y (3 xy + 5) 7z(3x + 4y + 5) 5 ab (5 a2 b + 2 b + 1) 6 y (x + 3 yz + 5) 12 ab (2 a – b) 5 x (4 y + 3 z) x (x2 – 2 x + 2) 5 z (10 xz + 6 y + 5) 9 b (a2 b – 4 b + 5 a) 5 ab (b – 4 ab + a) 5 x (2 x3 + x – 4) 5 ab (5 a2 b – 2 b + 1) O O 27 C TERME UND BRUCHTERME Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Bruchterme Zur Selbstkontrolle sind in der Denkblase alle Ergebnisse. 94 Markiere alle Bruchterme im Kästchen. 95 Ordne jedem Bruchterm eine passende Definitionsmenge aus A bis F zu. a) b) 1 4 x _ x + 3 A ⅅ = ℝ\{3} 1 x2 _ x + 6 A ⅅ = ℝ\{3} 2 2 _ x + 1 B ⅅ = ℝ\{– 3} 2 2 _ 2 x – 1 B ⅅ = ℝ\{– 3} 3 3 _ 3 – x C ⅅ = ℝ\{0} 3 5 x _ 1 + x C ⅅ = ℝ\{0,5} 4 4 _ 3 x D ⅅ = ℝ\{– 1} 4 4 x _ 2 x + 6 D ⅅ = ℝ\{– 1} E ⅅ = ℝ\{+ 1} E ⅅ = ℝ\{+ 1} F ⅅ = ℝ\{4} F ⅅ = ℝ\{– 6} 96 Kürze den Bruchterm so weit wie möglich. a) 12 x _ 36 y = b) 6 x2 _ 2 x3 = c) 6 y _ 15 xy = d) 12 x2 y _ 18 xy2 = 97 Hebe aus Zähler und Nenner gemeinsame Faktoren heraus und kürze dann den Bruchterm. a) 5 x + 5 _ 9 x + 9 = b) 7 a – 21 _ 5 a – 15 = c) 10 r – 30 __ 15 r – 60 = d) 4 y + 12 _ 2 y + 6 = e) 4 x + 4 y __ 7 x + 7 y = 12 O O O O 4 _ y2 2 _ 5 x 1F, 2C, 3D, 4B 9 _ y 2 x _ 3 y 2 (r − 3) _ 3 (r − 4) 1 _ x y 4 _ x 8 _ 8 x x _ y 7 _ 5 2 x _ 4 x 3 _ x 4 _ 7 x _ 3 y 6 _ 3 x 6 x _ 2 x 5 _ 9 1B, 2D, 3A, 4C 7 _ y 9 _ x y 28 C TERME UND BRUCHTERME 4 _ 2 x _ 4 4 _ x x _ y y2 _ 2 6 _ 3 x 4 _ y2 8 _ 8 x 1 _ xy 10 _ 7 3 _ 2 x _ 4 x 2 5 x _ 4 3 _ 1 7 _ y y _ 5 6 x _ 2 x 5 _ 5 y 9 _ y 9 _ xy x _ 11 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Zur Selbstkontrolle sind alle Ergebnisse in einer Tabelle unten. Zwei falsche Terme sind auch dabei. Wie heißen diese? 98 Gib die Definitionsmenge zum Bruchterm an. a) 15 ___ (2 x + 1) · (x – 4) b) y + 1 __ y3 · (5 – 4 y) c) z + 9 ___ 5 z · (2 z + 8) (3 z – 1) d) (x – 22) ___ (5 x – 1) (2 x + 6) e) 2 · (6 y + 1) __ (2 y – 32) f) z + y ___ 0,5 · (z + 2) (2 z – 1) 99 Vervollständige die Tabelle. Erweitere dazu den Bruchterm mit dem angegebenen Term. a) 5 _ xz b) 3 _ x + 2 c) 4 _ x – 1 d) xy _ y – 2 3 x xy 100 Multipliziere die Bruchterme. Kürze, wenn möglich. a) 3 _ a ∙ 6 _ 9 b = b) 8 c _ a ∙ 5 a _ 2 bc = c) 7 _ 2 m ∙ 8 m _ 28 n2 = d) k 2 _ 6 h2 ∙ 2 h _ 3 k = 101 Berechne den Quotienten und vereinfache das Ergebnis. a) 3 _ a : 27 _ a2 = b) 18 m2 _ 2 n : 6 m _ 4 n2 = c) 8 _ 2 b : 16 _ 4 a2 = d) 2 x 2t _ 10 : t2 _ 6 x = 102 Bringe die Bruchterme auf einen gemeinsamen Nenner und führe dann die Rechenoperation aus. a) 4 + b _ 8 a + 2 b + a _ 16 a = b) 2 – b _ 3 a + a – b _ 6 a = c) 9 _ a – 2 – 5 _ 2 a – 4 = d) 1 + b _ 6 b – 3 – b _ 3 b = a _ 9 D = ℝ\{– 0,5; 4} a + 4 b + 8 __ 16 a D = ℝ\{ – 4; 0; 1 _ 3 } x2 y _ x y − 2 x 20 _ b 9 _ 3 x + 6 6 x3 _ 5 t 15 _ 3 x z 2 _ a b 5 x _ x2 z 5 x y _ x2 y z a − 3 b + 4 __ 6 a 3 x _ x2 + 2 x D = ℝ\{0; 1,25} 3 x y _ 3 y − 6 5 a _ 2 b x2 y2 __ x y2 − 2 x y 1 _ n2 D = ℝ\{4,5} 12 _ 3 x − 3 k _ 9 h 4 x y _ x2 y − x y 3 _ 7 x y a2 _ b 13 _ 2 a − 4 D = ℝ\{– 2; 0,5} 3 x y __ x2 y + 2 x y 6 m n 4 x _ x2 − x 3 b − 5 _ 6 b D = ℝ\{– 3; 0,2} O O O O O 29 C TERME UND BRUCHTERME Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

D Statistik Statistische Kennzahlen und Häufigkeitsverteilungen Zur Selbstkontrolle sind einige Ergebnisse in einer Sprechblase unten. Wer hat alle richtigen Lösungen? 103 Das nachstehende Diagramm zeigt die Anzahl der bedeutenden Cyberangriffe weltweit im Jänner 2022. a) Erstelle eine Rangliste der Datenliste „Anzahl der Angriffe“. b) Gib das Minimum, das Maximum und die Spannweite r der Datenliste an. min: max: r: c) Gib das arithmetische Mittel, den Modalwert und den Median der Datenliste an. arithmetisches Mittel: Modalwert: Median: d) Interpretiere die angegebenen Werte im Sachzusammenhang. arithmetisches Mittel: Modalwert: Median: e) Zeichne das arithmetische Mittel und den Median als horizontale Linien im Diagramm oben ein. Lia Marc 13 O, DI, V Januar 2022 1 10 20 30 Gesamt: 111 Lizenz CC BY 4.0. Credits: KonBriefing.com https://konbriefing.com/de–topics/cyber–angriffe–2022–01.html Bedeutende Cyberangriffe Januar 2022 1234212235565612332462294377315 1 2 3 3,58 8 9 1 3 3,58 5 8 9  Sprachliche Bildung und Lesen 30 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Zur Selbstkontrolle stehen alle Ziffern der statistischen Werte im farbigen Kästchen unten. 104 Das Säulendiagramm zeigt die Anzahl der Kinder in Kinderbetreuungseinrichtungen in Österreich nach Alter im Jahr 2022/2023. Quelle: Statista, 2025 a) Erstelle eine Rangliste. b) Ermittle den Median und das arithmetische Mittel bezogen auf die Anzahl der Kinder in Kinderbetreuungseinrichtungen. Median: arithmetisches Mittel: c) Zeichne den Median und das arithmetische Mittel als horizontale Linien in das Diagramm ein. d) Seit 2024 können auch Zweijährige einen Kindergarten besuchen. Nimm an, dass sich die Anzahl der zweijährigen Kinder in Betreuungseinrichtungen dadurch verdreifachen wird. Gib an, welche Auswirkungen dies auf den Median und das arithmetische Mittel haben wird. Begründe deine Meinung. 105 Die Schülerinnen und Schüler der 4C werden nach der Anzahl ihrer Geschwister gefragt. Die Daten sind in einer Tabelle dargestellt. Berechne das arithmetische Mittel der Anzahl der Geschwister mit Hilfe des gewichteten Mittelwertes. Anzahl der Geschwister 0 1 2 3 4 5 6 Anzahl der Kinder 7 5 4 2 1 1 0 M, O, DI, V 0 Jahre 1 Jahr 2 Jahre 3 Jahre 4 Jahre 5 Jahre 6 Jahre 7 Jahre 8 Jahre 9 Jahre 10 Jahre 11 Jahre 12 Jahre 13 Jahre 14 Jahre 15 Jahre 16 Jahre Anzahl der Kinder 0 20.000 40.000 60.000 80.000 100.000 M, O 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 4 5 5 5 6 6 7 7 7 7 8 8 31 D Statistik Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

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