Lösungswege 1, Schulbuch

1. Auflage (Druck 0001) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2023 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Schulbuchvergütung/Bildrechte: © Bildrecht GmbH/Wien Redaktion: Roman Miksch MSc, Wien; Mag. Brigitte Jug, Graz Herstellung: Alexandra Brych, Wien Umschlaggestaltung: Petra Michel, Gestaltung und Typografie, Amberg Layout: Petra Michel, Gestaltung und Typografie, Amberg Illustrationen: Angelika Citak, Wipperfürth; Adam Silye, Wien Technische Zeichnungen: Da-Tex Gerd Blumenstein, Leipzig Satz: Da-Tex Gerd Blumenstein, Leipzig Druck: Ferdinand Berger & Söhne Ges.m.b.H., Horn ISBN 978-3-209-12251-3 (Lösungswege 1 und E-Book) ISBN 978-3-209-12255-1 (Lösungswege 1 mit E-BOOK+) ISBN 978-3-209-13060-0 (Lösungswege 1 E-Book Solo) ISBN 978-3-209-13064-8 (Lösungswege 1 E-BOOK+ Solo) Lösungswege 1, Schülerbuch und E-Book Schulbuchnummer: 210225 Lösungswege 1, Schülerbuch mit E-BOOK+ Schulbuchnummer: 210227 Lösungswege 1, Schülerbuch E-Book Solo Schulbuchnummer: 211405 Lösungswege 1, Schülerbuch E-BOOK+ Solo Schulbuchnummer: 211407 Mit Bescheid des Bundesministeriums für Bildung, Wissenschaft und Forschung vom 21. Juli 2023, Geschäftszahl: 2022-0.316.789, gemäß § 14. Abs. 2 und 5 des Schulunterrichtgesetzes, BGBL Nr. 472/86, und gemäß den derzeit geltenden Lehrplänen als für den Unterrichtsgebrauch an Mittelschulen und an allgemein bildenden höheren Schulen – Unterstufe für die 1. Klasse im Unterrichtsgegenstand Mathematik (Lehrplan 2023) geeignet erklärt. Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Liebe Schülerin, lieber Schüler, du bekommst dieses Schulbuch von der Republik Österreich für deine Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Umschlagbild: VIENNAMOTION KG, Krisztian Juhasz, Fotograf & Filmemacher; Marijs / Shutterstock Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Mathias Bortenschlager Andreas Fischer Max Koller Julia Marsik Markus Olf Markus Wittberger Lösungswege Mathematik 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

A Grundlagen natürlicher Zahlen...... 6 Die natürlichen Zahlen und derZahlenstrahl............................. 7 Vergleichen und Ordnen natürlicher Zahlen .. . 10 Die Stellenwerttafel und verschiedene Zahlensysteme.............................. 12 Runden von natürlichen Zahlen .. . . . . . . . . . . . . 16 Zusammenfassung .......................... 18 Selbstkontrolle.............................. 19 B Rechnen mit natürlichen Zahlen. . . . . 22 Addieren natürlicher Zahlen.. . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Subtrahieren natürlicher Zahlen. . . . . . . . . . . . . . 28 Zusammenhänge zwischen der Addition und der Subtraktion – Textaufgaben.. . . . . . . . . 32 Multiplizieren natürlicher Zahlen. . . . . . . . . . . . . 36 Dividieren natürlicher Zahlen.. . . . . . . . . . . . . . . . 42 Verbindung der vier Grundrechnungsarten.. . . 48 Zusammenfassung .......................... 54 Selbstkontrolle.............................. 55 DIGI: Der Taschenrechner und Geogebra – CAS....................................... 58 C Grundlagen der Geometrie........... 60 Strecke,StrahlundGerade.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Normale.................................... 64 Parallele.................................... 68 Winkel konstruieren und messen .. . . . . . . . . . . . 72 KreisundKreisteile.......................... 78 Zusammenfassung .......................... 84 Selbstkontrolle.............................. 85 DIGI: Geometrie mit Geogebra ............... 88 D Brüche.................................. 90 DarstellenvonBrüchen...................... 91 Erweitern und Kürzen von Brüchen .. . . . . . . . . . 98 VergleichenvonBrüchen.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 RechnenmitBrüchen........................ 106 Zusammenfassung .......................... 110 Selbstkontrolle.............................. 111 DIGI: Rechnen mit Brüchen................... 114 E Dezimalzahlen......................... 116 DieStellenwerttafel......................... 117 Darstellen und Vergleichen von Dezimalzahlen.............................. 120 Dezimalzahlen und Dezimalbrüche .. . . . . . . . . . 124 RundenvonDezimalzahlen.. . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Zusammenfassung .......................... 132 Selbstkontrolle.............................. 133 F Rechnen mit Dezimalzahlen.......... 136 Addieren und Subtrahieren.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Multiplizieren............................... 144 Dividieren.................................. 148 Verbindung der vier Grundrechnungsarten.. . . 156 Zusammenfassung .......................... 160 Selbstkontrolle.............................. 161 DIGI: Rechnen mit Dezimalzahlen............. 164 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2 Inhalt Zahlen und Maße Variable und Funktionen Figuren und Körper Daten und Zufall Dieser Code führt zu einer Seite, in der das dem Lehrplan zugrunde liegende Kompetenzmodell erklärt wird. Ó j843m8 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

G Rechnen mit Größen.................. 166 Zeitmaße.................................... 167 Geld........................................ 170 LängenmaßeundMaßstab.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Massenmaße................................ 178 Zusammenfassung .......................... 180 Selbstkontrolle.............................. 181 H Statistik................................ 184 Erfassen und Darstellen von Daten .. . . . . . . . . . 185 StatistischeKennzahlen.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Baumdiagramme............................ 196 Zusammenfassung .......................... 200 Selbstkontrolle.............................. 201 DIGI: Diagramme mit Excel erstellen.......... 204 I Arbeiten mit Variablen................. 206 Gleichungen................................. 207 Formeln..................................... 212 Zusammenfassung .......................... 214 Selbstkontrolle.............................. 215 J Arbeiten mit Figuren................... 218 Eigenschaften und Konstruktion von RechteckundQuadrat........................ 219 Umfangsberechnungen...................... 224 Flächenmaße................................ 230 Flächeninhalt................................ 234 Zusammenfassung .......................... 240 Selbstkontrolle.............................. 241 K Arbeiten mit Körpern.................. 244 Grundlagen der räumlichen Geometrie.. . . . . . . 245 AnsichtenvonObjekten...................... 250 NetzevonQuaderundWürfel.. . . . . . . . . . . . . . . . 254 Oberflächenberechnungen.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 Raum-undHohlmaße........................ 260 Volumen von Quader und Würfel.. . . . . . . . . . . . . 264 Zusammenfassung .......................... 268 Selbstkontrolle.............................. 269 DIGI: Ansichten von Körpern.................. 272 Anhang Lösungen der Selbstkontrollaufgaben . . . . . . . . 274 Sachregister................................. 285 Bildnachweis................................ 287 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 3 1. Scanne den QR-Code und lade die App auf dein Smartphone oder dein Tablet. 2. Scanne deinen Buchumschlag oder wähle dein Schulbuch in der App-Medienliste aus. 3. Scanne eine mit gekennzeichnete Buchseite oder wähle ein Audio/Video aus der App-Medienliste aus. 4. Spiele das Audio/Video ab. QuickMedia App Android iOS Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Merke Muster 4 So arbeitest Du mit Lösungswege 1 æ Ich kann natürliche Zahlen sinnvoll runden. Beim Runden von natürlichen Zahlen gilt: Ist die Ziffer nach der Rundungsstelle … — 0, 1, 2, 3 oder 4 wird abgerundet. Die Rundungsstelle bleibt gleich. — 5, 6, 7, 8 oder 9 wird aufgerundet. Die Rundungsstelle wird um 1 vergrößert. Die restlichen Stellen nach der Rundungsstelle werden durch Nullen ersetzt. Wurde eine Zahl gerundet, verwendet man oft das Zeichen ≈ (ungefähr). Runde die Zahl 128 934 auf a) Zehner. b) Tausender. a) Da die Ziffer rechts von der Rundungsstelle 4 ist, wird abgerundet. Die Rundungsstelle bleibt gleich, die Stellen nach der Rundungsstelle werden durch Nullen ersetzt: 128 934 ≈ 128 930 b) Da die Ziffer rechts von der Rundungsstelle 9 ist, wird aufgerundet. Die Rundungsstelle wird um 1 vergrößert, die Stellen nach der Rundungsstelle werden durch Nullen ersetzt: 128 934 ≈ 129 000 49 Runde auf Zehner. a) 579 ≈ b) 468 ≈ c) 522 ≈ d) 2 333 ≈ e) 15 476 ≈ f) 1 389 ≈ g) 1 255 ≈ h) 465 ≈ 50 Runde auf Tausender. a) 879 ≈ b) 3 868 ≈ c) 125 522 ≈ d) 58 476 ≈ e) 77899 ≈ f) 4 388 566 ≈ g) 599 256 ≈ h) 85 465 ≈ i) 48 893 ≈ 51 Runde auf die angegebenen Stellenwerte. H ZT HT M 715 398 635 499 2 318 907 500 001 Merke Ó Arbeitsblatt i2ry25 Ó Sprachaufgabe jh3m7a ÓErklärvideo q5v4mq Muster O O O 4 Runden von natürlichen Zahlen Im einem Fußballstadion waren in der letzten Saison rund 160 000 Zuschauerinnen bzw. Zuschauer. Glaubst du, stimmt diese Zahl genau? Was bedeutet „rund“ in diesem Zusammenhang? Du hast sicher schon einmal jemanden sagen gehört: „Das ist rund 1 000 € wert.“ Diese Sprechweise kommt vom Runden. 16 Die Lernziele eines Kapitels stehen direkt unter der Überschrift. Jedes Kapitel beginnt mit einer Aufgabe, die zeigt, wie die Inhalte des Kapitels mit Bereichen des täglichen Lebens in Zusammenhang stehen. Dieser Code führt zu Aufgaben für deinen Start ins neue Mathejahr. Im Merke-Kasten, befindet sich die wichtigste Theorie, mit der die folgenden Aufgaben gut zu lösen sind. Ein Muster-Beispiel zeichnet einen möglichen Rechenweg vor, der zum Lösen der folgenden Aufgaben genutzt werden kann. Eine WortspeicherBox gibt Auskunft darüber, warum manche Worte in der Mathematik genutzt werden oder erklärt schwierige Begriffe. 50 52 54 55 Die Kästchen neben den Aufgabennummern geben an, wie schwer die Aufgabe ist. Ein Kästchen bedeutet leicht, zwei Kästchen bedeuten mittel und drei Kästchen bedeuten schwer. Der Code bei diesem Symbol führt zu zusätzlichen Materialien im Lehrwek Online. Ó Ó pk6ht7 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

] 5 52 Gegeben ist eine Auswahl der höchsten Berge in Österreich. 1) Runde die Meterangaben jeweils auf Zehner und gib den Rundungsfehler an. Wildspitze: 3768 m ≈ Rundungsfehler: Weißkugel: 3738 m ≈ Rundungsfehler: Glocknerwand: 3721 m ≈ Rundungsfehler: Großvenediger: 3 657m ≈ Rundungsfehler: Hintere Schwärze: 3 624 m ≈ Rundungsfehler: Vorderer Brochkogel: 3 565 m ≈ Rundungsfehler: Rainerhorn 3 559 m ≈ Rundungsfehler: 2) Runde die Höhe der Berge jeweils auf Tausender. Warum ist eine Rundung auf die Hunderterstelle sinnvoller? 3) Was würde passieren, wenn man auf die ZT- Stelle runden würde? 53 Runde auf den angegebenen Stellenwert. a) 899 (Z) ≈ b) 3 999 (H) ≈ c) 7999 (H) ≈ d) 129 978 (H) ≈ e) 3 899 999 (T) ≈ f) 899 999 (Z) ≈ g) 599 879 (ZT) ≈ h) 359 897 (T) ≈ 54 Gib die gesuchten Zahlen an und erkläre, welche Bedingungen dafür notwendig sind. Welche natürlichen Zahlen kann man auf a) 70 b) 100 runden? 55 Gib an, bei welchen Beispielen die Zahlen nicht gerundet werden sollten und begründe deine Entscheidung. Telefonnummer, Postleitzahl, Anzahl der Bewohner einer großen Stadt, Hausnummer, Anzahl der pro Person abgegebenen Stimmen bei der Wahl zur Klassensprecherin bzw. zum Klassensprecher. 56 ] Kann eine dreistellige Zahl auf 0 gerundet werden? Wenn ja, gib Beispiele dazu an. Gecheckt? æ Ich kann natürliche Zahlen sinnvoll runden. 57 Kreuze an, ob die Aussagen richtig oder falsch sind und begründe deine Entscheidung. Aussage richtig falsch Aussage richtig falsch 599798 (T) ≈ 599 000 599798 (T) ≈ 600 000 599798 (H) ≈ 589 800 599798 (M) ≈ 1 000 000 599798 (ZT) ≈ 600798 58 Gegeben ist die Zahl 6 688 954 358. Ordne jeweils zu, auf welchen Stellenwert gerundet wurde. 1 6 688 954 000 A Z 2 7 000 000 000 B H 3 6 690 000 000 C T 4 6 688 954 360 D ZT E Md F ZM O, DI O V V V DI ÓArbeitsblatt e2ac9m DI Der Rundungsfehler gibt an, um wie viel sich die Zahl durch die Rundung verändert hat. Wenn man die Zahl 4 999 auf Z runden möchte, dann muss man auch bei den nächsten Ziffern weiter runden. 4 999 ≈ 5 000 Sprachliche Bildung  Interkulturelle Bildung 17 A Grundlagen natürlicher Zahlen Eine Check-it-Box gibt nützliche Tipps, um die Aufgabe zu lösen. Das Würfel-Symbol zeigt an, dass die Aufgabe ein Rätsel ist. 50 52 54 55 232 Der Gecheckt?-Bereich ist der Abschluss eines Kapitels. Hier kann man überprüfen, ob die Inhalte des Kapitels verstanden wurden. Eine grün markierte Aufgabennummer bedeutet, dass die Aufgabe dabei hilft, die Sprache der Mathematik zu erlernen. Sternchen verweisen auf die Übergreifende Kompetenz der Aufgabe. Prozesse des Kompetenzmodells – M Modellieren und Problemlösen – O Operieren (Rechnen und Konstruieren) – DI Darstellen und Interpretieren – V Vermuten und Begründen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

A Grundlagen natürlicher Zahlen Mathematik und Zahlen kommen überall im Leben vor. Im folgenden Text werden Beispiele genannt. Ich bin 11 Jahre alt und wohne in der Dorfstraße 80. Fünfmal in der Woche fahre ich mit der Straßenbahnlinie 25 in die Schule. Ich bin 130 cm groß und habe Schuhgröße 37. Ich spiele gerne mit meiner Spielkonsole, die 230 € kostet. Im Moment ist sie aber um 10 Prozent ermäßigt. Jede Woche bekomme ich 5 € Taschengeld von meiner Mutter und 3 € von meiner Oma. In der Volksschule hast du dich schon mit Mathematik beschäftigt. Jetzt wirst du dieses Wissen vertiefen. In diesem Abschnitt wirst du dich mit folgenden Fragen beschäftigen: – Warum ist eigentlich 7 größer als 4? – Auf der Welt lebten im Jahr 2022 rund 8 Milliarden Menschen. Wie schreibt man diese Zahl? Was bedeutet hier eigentlich das Wort „rund“? – Manchmal sind römische Zeichen zu sehen. Was bedeutet zum Beispiel MCM? Reden wir darüber… Gib Beispiele aus dem Alltag an, in denen Mathematik wichtig ist. Wie könnte man erklären, dass 7 größer als 4 ist? Was ist der Unterschied zwischen einer Zahl und einer Ziffer? Kennst du die Begriffe Vorgänger und Nachfolger? Was könnten diese Begriffe bei Zahlen bedeuten? ÓLesetext 2h5w4e Ó Sprachaufgabe jg82z4 6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

1 Die natürlichen Zahlen und der Zahlenstrahl ææ Ich kann die natürlichen Zahlen angeben. ææ Ich kann die natürlichen Zahlen am Zahlenstrahl darstellen und ablesen. Die natürlichen Zahlen Die Zahlen 0; 1; 2; 3; 4; … haben in der Mathematik einen Namen. Man nennt diese Zahlen die natürlichen Zahlen und kürzt diese Menge mit ℕ ab. Man schreibt: ℕ = {0; 1; 2; 3; 4; …}. Es gibt unendlich viele natürliche Zahlen. 1 Was ist gesucht? a) Gib alle natürlichen Zahlen an, die größer als 12 und kleiner als 20 sind. b) Gib alle natürlichen Zahlen an, die kleiner als 10 sind. 2 In der Abbildung siehst du viele verschiedene Zahlen. Male alle natürlichen Zahlen mit einer Farbe an. 3 Kreuze an, ob die gegebenen Aussagen richtig oder falsch sind. Aussage richtig falsch Es gibt unendlich viele natürliche Zahlen. Ich kann zu einer natürlichen Zahl immer 5 dazugeben und erhalte wieder eine natürliche Zahl. Ich kann von jeder natürlichen Zahl 5 abziehen und erhalte wieder eine natürliche Zahl. 4 Max behauptet: „Im täglichen Leben reichen die natürlichen Zahlen nicht. Es muss auch andere Zahlen geben.“ Was sagst du zu seiner Behauptung? Hat er recht? Nenne Beispiele dafür. Ziffer und Zahl Alle unsere Zahlen lassen sich durch die zehn Ziffern 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 und 9 bilden. Die Zahl 412 besteht z. B. aus den Ziffern 4, 1 und 2. 5 Gib die gesuchten Zahlen an. a) Gib alle zweistelligen natürlichen Zahlen an, die mit 4 enden. b) Gib alle zweistelligen natürlichen Zahlen an, in denen nur die Ziffern 8 oder 9 vorkommen. c) Gib alle dreistelligen natürlichen Zahlen an, die aus den Ziffern 3, 4 und 5 gebildet werden. d) Gib alle dreistelligen natürlichen Zahlen an, die aus den Ziffern 5, 7 und 0 gebildet werden. Merke DI DI V V Merke DI Zahlen begleiten dein Leben. Ohne Zahlen wäre die Kommunikation sehr schwierig. Gib viele verschiedene Beispiele an, wo dich Zahlen im Leben begleiten. Zweistellige natürliche Zahlen bestehen aus zwei Ziffern. 7 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Der Zahlenstrahl Der Zahlenstrahl Eine gerade Linie mit Anfangspunkt, aber ohne Endpunkt, nennt man Strahl. Die natürlichen Zahlen können am Zahlenstrahl mit Punkten oder Kreuzen dargestellt werden. Die natürlichen Zahlen werden dabei geordnet und in gleichen Abständen dargestellt. 0 ist die kleinste natürliche Zahl. Um einen Zahlstrahl zu zeichnen, sollte man sich vorher die Schrittweite und den Strichabstand überlegen. Der Strichabstand gibt den Abstand zwischen zwei eingezeichneten Strichen an (z.B. in mm), die Schrittweite gibt an, um wie viel die Zahlen bei jedem Strich größer werden. Beispiele: Strichabstand: 1 cm Schrittweite: 1 Strichabstand: 1 cm Schrittweite: 2 Strichabstand: 2 cm Schrittweite: 500 6 Gib an, welche Zahlen auf dem Zahlenstrahl markiert sind. Gib auch den Strichabstand und die Schrittweite an. a) b) c) d) 7 Auf jedem Zahlenstrahl sind einige Zahlen eingezeichnet. Streiche diese Zahlen aus der Tabelle heraus. Welche Zahl bleibt übrig? 2 000 150 7 000 600 90 1 200 800 60 350 4 000 80 600 250 900 30 13 000 300 Merke Ó Arbeitsblatt ac6p4q 1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B C 1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 Ó Erklärvideo b5e462 0 2 4 6 8 1012141618 0 500 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000 3 500 DI 1 0 Strichabstand: Schrittweite: 1 0 2 Strichabstand: Schrittweite: 0 2 4 Strichabstand: Schrittweite: 0 4 Strichabstand: Schrittweite: DI 50 0 1 000 0 200 0 6 000 0 8 1 Die natürlichen Zahlen und der Zahlenstrahl Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

8 Zeichne die Zahlen am Zahlenstrahl ein. Gib auch die Schrittweite an. a) 40; 60; 120; 85 Schrittweite: b) 25; 30; 45; 60 Schrittweite: c) 200; 350; 600; 900; 1 050; 525 Schrittweite: 9 Gegeben sind Ausschnitte von Zahlenstrahlen. Ordne jedem Ausschnitt die Zahlen zu. 1 315; 340; 370; 395 A 400 300 2 310; 320; 330; 345 B 350 300 3 310; 320; 330; 350 C 400 300 4 310; 320; 335; 345 D 400 300 10 Zeichne die gegebenen Zahlen auf einem Zahlenstrahl ein. Achte auf den Strichabstand. a) Strichabstand: 1 cm Schrittweite: 1 Zahlen: 2; 4; 6; 8; 11 b) Strichabstand: 2 cm Schrittweite: 1 Zahlen: 1; 2; 5; 6; 7 c) Strichabstand: 3 cm Schrittweite: 2 Zahlen: 2; 6; 8; 10 d) Strichabstand: 4 cm Schrittweite: 3 Zahlen: 3; 6; 9 11 Zeichne den gegebenen Zahlenstrahl. Achte darauf, welche Schrittweite du für 1 cm nehmen sollst. Wie lang solltest du den Zahlenstrahl mindestens zeichnen, damit du alle Zahlen einzeichnen kannst? a) 1 cm š 20 Zahlenstrahl: 20; 60; 70; 100; 140 b) 1 cm š 100 Zahlenstrahl: 50; 200; 400; 500; 550 c) 1 cm š 50 Zahlenstrahl: 100; 200; 250; 300; 400 d) 1 cm š 1 000 Zahlenstrahl: 2 000; 4 000; 6 000; 7500; 9 000 12 Mariella möchte die Zahlen 3, 4, 12, 25, 362 und 512 auf einem Zahlenstrahl darstellen. Wieso ist das schwierig? Wie könnte sie die Aufgabe trotzdem lösen? Gecheckt? ææ Ich kann die natürlichen Zahlen angeben. 13 Gib alle natürliche Zahlen an, die größer als 18 und kleiner als 24 sind. ææ Ich kann die natürlichen Zahlen am Zahlenstrahl darstellen und ablesen. 14 Zeichne einen geeigneten Zahlenstrahl und markiere die Zahlen 10, 20, 35 und 45. O 0 100 0 50 0 1 000 500 DI O, DI O, DI V DI Ó Arbeitsblatt s8tr7s O 1 cm š 20 bedeutet, dass 1 cm auf deinem Zahlenstrahl 20 Einheiten entspricht. Man sagt: 1 cm entspricht 20 9 A Grundlagen natürlicher Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

2 Vergleichen und Ordnen natürlicher Zahlen ææ Ich kann den Vorgänger und den Nachfolger einer natürlichen Zahl bestimmen. ææ Ich kann natürliche Zahlen ordnen. ææ Ich kann die Zeichen < und > anwenden. Ordnung der natürlichen Zahlen Vergleicht man zwei natürliche Zahlen, so gilt: Jene Zahl, die am Zahlenstrahl weiter links steht, ist kleiner. Dabei werden die Ungleichungszeichen < (kleiner) und > (größer) verwendet. 3 ist kleiner als 5. 5 ist größer als 3. 3 < 5 5 > 3 Jede natürliche Zahl (außer die 0) hat zwei natürliche Nachbarn: den Vorgänger und den Nachfolger. z. B. Vorgänger: 4 Zahl: 5 Nachfolger: 6 15 Ergänze die fehlenden Zahlen in der Tabelle. a) b) c) Vorgänger Zahl Nachfolger Vorgänger Zahl Nachfolger Vorgänger Zahl Nachfolger 14 13 4 805 29 18 6 502 25 22 301 38 36 1 901 16 Kreuze an, ob die Aussagen richtig oder falsch sind und begründe deine Entscheidung. Aussage richtig falsch Der Nachfolger des Vorgängers einer Zahl ist wieder die Zahl selbst. Jede natürliche Zahl besitzt einen Vorgänger in den natürlichen Zahlen. Jede natürliche Zahl besitzt einen Nachfolger in den natürlichen Zahlen. 17 Welche Zahl ist gesucht? a) Mein Nachfolger ist die Zahl 3 079. b) Der Vorgänger der Zahl 3 000 ist mein Nachfolger. c) Mein Vorgänger ist die Zahl 779. d) Der Nachfolger der Zahl 9 988 ist mein Vorgänger. 18 ] Welche Zahl bin ich? a) Rechnet man zu mir meinen Nachfolger dazu, dann erhält man 7. b) Rechnet man zu mir meinen Vorgänger dazu, dann erhält man 3. c) Multipliziert man mich mit meinem Nachfolger, dann erhält man 20. d) Erfinde selbst mehrere Zahlenrätsel. Merke Ó Arbeitsblatt b28z3c 0 3 5 O DI DI DI, V Ist 35 größer oder kleiner als 39? Wie könnte man das begründen? Gib verschiedene Beispiele an.  Sprachliche Bildung 10 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

19 Kreuze so an, dass eine richtige Aussage entsteht. Der Nachfolger der Zahl  ist die Zahl  .   801 æ 798 æ 799 æ 800 æ 304 æ 303 æ 20 Setze das richtige Ungleichungszeichen (< oder >) ein. a) 45 54 32 48 57 32 204 408 77 99 b) 804 812 79 78 501 105 300 299 0 12 c) 13 14 14 13 87 65 134 343 2 99 d) 9 8 799 798 304 3 004 12 112 98 89 Ungleichungsketten Ordnet man mehrere Zahlen von der kleinsten zur größten Zahl, nennt man dies eine steigende Ungleichungskette: z.B.4<5<7<9<12 Ordnet man mehrere Zahlen von der größten zur kleinsten Zahl, nennt man dies eine fallende Ungleichungskette: z.B.12>9>7>5>4 21 Schreibe die Zahlen als fallende und als steigende Ungleichungsketten an. a) 10; 5; 8; 7; 2; 15; 20; 1 b) 139; 147; 125; 138; 140; 136; 130 c) 990; 991; 986; 895; 995; 1 000 d) 25; 20; 37; 59; 83; 92; 44 e) 705; 707; 703; 709; 699; 700; 702 f) 650; 653; 652; 648; 655; 647; 633 Bilde aus den Ziffern 5, 8 und 2 alle möglichen dreistelligen Zahlen. Jede Ziffer darf nur einmal vorkommen. Ordne diese Zahlen mit Hilfe einer fallenden Ungleichungskette. Aus den drei Ziffern können folgende Zahlen gebildet werden: 258; 285; 528; 582; 825; 852 Es gilt daher: 852 > 825 > 582 > 528 > 285 > 258 22 Bilde aus den gegebenen Ziffern alle möglichen dreistelligen Zahlen und ordne diese mit Hilfe einer fallenden Ungleichungskette. Jede Ziffer darf pro Zahl nur einmal vorkommen. a) 3; 5; 4 b) 7; 8; 1 c) 4; 6; 2 d) 1; 2; 3 e) 8; 9; 2 f) 1; 5; 8 23 Schreibe den Text als Ungleichung bzw. als Ungleichungskette an. a) 12 ist kleiner als 18. b) 23 ist größer als 20. c) 105 ist kleiner als 108. d) 13 ist kleiner als 20 und größer als 10. e) 45 ist größer als 39 und 39 ist größer als 20. f) 24 ist größer als 20 und kleiner als 35. Gecheckt? ææ Ich kann den Vorgänger und den Nachfolger einer natürlichen Zahl bestimmen. 24 Gib den Vorgänger und den Nachfolger der Zahl 99 an. ææ Ich kann natürliche Zahlen ordnen und die Zeichen < und > anwenden. 25 Ordne die Zahlen mit Hilfe einer fallenden Ungleichungskette. 15; 38; 20; 57; 109; 1; 5 DI O Merke O Muster O, DI DI ÓArbeitsblatt x692qp O O Die Spitze des Ungleichungszeichen < oder > schaut immer zur kleineren Zahl. 11 A Grundlagen natürlicher Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

ææ Ich verstehe das dekadische Zahlensystem. ææ Ich kann Zahlen in dekadischen Einheiten anschreiben. ææ Ich kann große Zahlen anschreiben und vorlesen. ææ Ich kann römische Zahlen in Ziffernschreibweise angeben. ææ Ich kann Zahlen als römische Zahlen anschreiben. Das dekadische Zahlensystem Unser Zahlensystem nennt man dekadisches Zahlensystem. Jeweils zehn gleiche Einheiten ergeben die nächste Einheit. Es gilt: 10 Einer (E) = 1 Zehner (Z) 10 Zehner (Z) = 1 Hunderter (H) In der folgenden Tabelle ist die Stellenwerttafel bis zur Billion dargestellt. Billionen Milliarden Millionen Tausender Billionen Hundertmilliarden Zehnmilliarden Milliarden Hundertmillionen Zehnmillionen Millionen Hunderttausender Zehntausender Tausender Hunderter Zehner Einer B HMd ZMd Md HM ZM M HT ZT T H Z E Natürlich könnte man die Tafel noch erweitern. Es gibt noch Billiarden, Trillionen, Trilliarden, … Die Zahl 6 000 534 258 würde man wie folgt lesen: 6 Milliarden 534 Tausend 258 26 Lies die Zahlen und schreibe sie in Dreiergruppen an. HMZMMHTZT T H Z EZahl 1 0 0 0 2 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 5 0 3 0 0 0 0 0 0 ÓErklärvideo u2xa4y ÓArbeitsblatt xq9mj4 DI 3 Die Stellenwerttafel und verschiedene Zahlensysteme Auf der Welt lebten im Jahr 2022 rund 7980 000 000 Menschen. Kannst du diese Zahl vorlesen? Um große Zahlen lesen zu können, bietet es sich an, diese in 3er Gruppen (von rechts beginnend) zu schreiben und anschließend den Stellenwert der ersten Gruppe zu ermitteln. lateinisch: „decem“ bedeutet übersetzt „zehn“ 12 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

27 Lies die Zahlen und schreibe sie in Dreiergruppen an. B HMdZMd Md HM ZM M HT ZT T H Z E Zahl 2 0 0 3 5 2 0 0 0 1 0235000257 8960000003458 34002080004 2 3 4 0 6 8 0 1 28 Lies die Zahlen und schreibe sie passend in die Stellenwerttafel. B HMdZMd Md HM ZM M HT ZT T H Z E Zahl 4 738 123 708 5 703 506 305 005 030 12 005 070 080 29 Gib an, ob die Aussagen richtig oder falsch sind und begründe deine Entscheidungen. Aussage richtig falsch Eine Million besitzt genau sechs Nullen. Eine Milliarde besitzt genau 12 Nullen. Eine Billion besitzt genau 12 Nullen. 30 Schreibe die Zahl in dekadischen Einheiten an (z. B. 93 = 9Z 3E). a) 5 703 b) 14 308 c) 129 365 d) 12 456 000 e) 13 509 f) 13 005 987 g) 400 080 356 h) 300 000 005 31 Schreibe die Zahl in dekadischen Einheiten an (z. B. 93 = 9Z 3E). a) 1 503 703 b) 5 305 600 090 c) 70 050 030 056 d) 8 000 000 000 005 e) 500 000 030 f) 403 003 050 005 g) 70 008 003 005 h) 4 004 300 450 340 Schreibe die Zahl ohne dekadische Einheiten an: 4B 4M 3T 2H Alle Stellenwerte, die fehlen, müssen mit Nullen ergänzt werden. Zur Hilfe kann man die Stellenwerttafel nehmen. Es gilt daher: 4B 4M 3T 2H = 4 000 004 003 200 32 Ordne den dekadischen Einheiten die Zahlen zu. 1 4 Md 5 HT 3 Z A 4 005 000 000 030 2 4 B 5 Md 3 Z B 400 005 030 3 4 ZMd 5 M 3 H C 40 005 000 300 4 4 HM 5 T 3 Z D 4 000 500 030 33 Schreibe die Zahl ohne dekadische Einheiten an. a) 3T 5Z 2E = b) 7HT 4T 3H 5Z 4E = c) 4M 3HT 3H = d) 4ZMd 3Md 4M 3HT = e) 4B 3HMd 4M = f) 3HMd 4ZM 3HT = DI DI V O O Muster DI O 13 A Grundlagen natürlicher Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

34 Schreibe die Zahl mit ihren Ziffern an. a) 4 Billionen 305 Milliarden 305 b) 3 Milliarden 20 Millionen 4 Tausend 3 c) 70 Milliarden 50 Tausend 4 d) 4 Billionen 304 Millionen 50 e) 9 Billionen 45 Tausend 12 f) 43 Millionen 7 Tausend 48 g) 6 Billionen 5 Milliarden 304 h) 5 Billionen 17 Millionen 307 35 Gegeben ist die Zahl 1 432765 890. An welchem Stellenwert steht die gesuchte Ziffer? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 f) 5 g) 6 h) 7 i) 8 j) 9 36 Lies den Satz und gib die Zahlen mit dekadischen Einheiten an. a) Österreich hatte im Jahr 2021 ungefähr 8 956 000 Einwohner. b) 2021 lebten auf der Welt ungefähr 7837000 000 Menschen. c) Die Erde ist von der Sonne ungefähr 149 600 000 000 Meter entfernt. 37 ] a) Gib eine fünfstellige Zahl mit folgenden Eigenschaften an. Alle fünf Ziffern sind verschieden und kleiner als 5. Die ZT-Stelle besitzt die größte Ziffer. Die H-Stelle ist um 2 kleiner als die ZT-Stelle. Die E-Stelle ist um 1 größer als die T-Stelle. b) Erfinde ein eigenes Zahlenrätsel und stelle es der Klasse vor. 38 Gib die gesuchte Zahl an und begründe deine Entscheidung. a) Aus wie vielen Zehnern besteht ein Tausender? b) Aus wie vielen Zehnern besteht eine Milliarde? Die römischen Zahlen Die Römer verwendeten andere Zahlenzeichen und hatten auch keine Ziffer 0. Die römischen Zahlen: I V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1 000 Steht das „kleinere“ Zahlzeichen rechts vom „größeren“ Zahlzeichen, dann werden die Zahlen addiert. z.B.XXXV=10+10+10+5=35 Steht das „kleinere“ Zahlzeichen links vor dem „größeren“ Zahlzeichen, dann werden die Zahlen subtrahiert. z.B.IX=10–1=9 Beispiele für römische Zahlen: 39 Schreibe die römische Zahl in Ziffernschreibweise an. a) XXX = b) XX = c) LX = d) LXXX = e) CC = f) CCC = g) DCCC = h) MCCC= 40 Schreibe die römische Zahl in Ziffernschreibweise an. a) XXV = b) XVII = c) LXVII = d) LXXXIII = e) CCVII = f) CCCLII = g) DCIII = h) MCXXII = O Ó Arbeitsblatt zz38ja DI DI DI, V Ó Sprachaufgabe jhm7a V Merke ÓErklärvideo fd943v I II III IV V VI VII VIII IX X 1 2345678910 DI DI  Politische Bildung Sprachliche Bildung 14 3 Die Stellenwerttafel und verschiedene Zahlensysteme Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Schreibe die römische Zahl in Ziffernschreibweise an. MDCCXCIX Es ist hilfreich, die römische Zahl in Blöcke zu zerlegen. Steht das kleinere Zeichen rechts, dann entsteht ein neuer Block. M DCC XC IX = 1000+700+90+9=1799 41 Schreibe die römische Zahl in Ziffernschreibweise an. a) IX = b) XC = c) XL = d) CD = e) CM = f) XCII = g) CCXC = h) MMCX = 42 Gib die Zahl auf diesem Gebäude in Ziffernschreibweise an. 43 Schreibe die römische Zahl in Ziffernschreibweise an. a) CCXCIV = b) XLVIII = c) CDLXXXIV = d) MMCDXLVIII = e) MMCMXCIX = f) CDXXXIV = g) CCIX = h) DCCCXCIII= i) DCXLIV = j) XCVIII = Um eine Zahl in römischen Zahlen anzuschreiben, sind folgende Punkte wichtig: ——Dasselbe Zeichen darf maximal dreimal hintereinander vorkommen. richtig 40 = XL falsch 40 = XXXX ——Die Zahl sollte zuerst zerlegt und dann erst als römische Zahl angeschrieben werden. richtig 99 = 90 + 9 = XCIX falsch 99 = IC 44 Schreibe die Zahl als römische Zahl an. a) 15 b) 23 c) 207 d) 352 e) 568 f) 1 325 g) 2 718 h) 838 i) 333 j) 288 k) 1876 l) 3 655 45 Schreibe die Zahl als römische Zahl an. a) 34 b) 48 c) 97 d) 149 e) 399 f) 498 g) 994 h) 999 i) 1 348 j) 2 984 k) 1 695 l) 3 449 Gecheckt? ææ Ich verstehe das dekadische Zahlensystem. ææ Ich kann Zahlen in dekadischen Einheiten anschreiben. 46 Schreibe die Zahl mit dekadischen Einheiten an. 4 500 000 890 000 = ææ Ich kann große Zahlen anschreiben und vorlesen. 47 Schreibe die Zahl in Ziffernschreibweise an. 8 Billionen 12 Millionen 4 Tausend 3 = ææ Ich kann römische Zahlen in Ziffernschreibweise angeben. ææ Ich kann Zahlen als römische Zahlen anschreiben. 48 Schreibe die römischen Zahlen in Ziffernschreibweise bzw. die Zahlen als römische Zahlen an. LXXVIII= MCDXCIII = 47 = 429 = Muster DI DI DI Merke DI DI O O ÓArbeitsblatt p3p3p8 DI 15 A Grundlagen natürlicher Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

ææ Ich kann natürliche Zahlen sinnvoll runden. Beim Runden von natürlichen Zahlen gilt: Ist die Ziffer nach der Rundungsstelle … — 0, 1, 2, 3 oder 4 wird abgerundet. Die Rundungsstelle bleibt gleich. — 5, 6, 7, 8 oder 9 wird aufgerundet. Die Rundungsstelle wird um 1 vergrößert. Die restlichen Stellen nach der Rundungsstelle werden durch Nullen ersetzt. Wurde eine Zahl gerundet, verwendet man oft das Zeichen ≈ (ungefähr). Runde die Zahl 128 934 auf a) Zehner. b) Tausender. a) Da die Ziffer rechts von der Rundungsstelle 4 ist, wird abgerundet. Die Rundungsstelle bleibt gleich, die Stellen nach der Rundungsstelle werden durch Nullen ersetzt: 128 934 ≈ 128 930 b) Da die Ziffer rechts von der Rundungsstelle 9 ist, wird aufgerundet. Die Rundungsstelle wird um 1 vergrößert, die Stellen nach der Rundungsstelle werden durch Nullen ersetzt: 128 934 ≈ 129 000 49 Runde auf Zehner. a) 579 ≈ b) 468 ≈ c) 522 ≈ d) 2 333 ≈ e) 15 476 ≈ f) 1 389 ≈ g) 1 255 ≈ h) 465 ≈ 50 Runde auf Tausender. a) 879 ≈ b) 3 868 ≈ c) 125 522 ≈ d) 58 476 ≈ e) 77899 ≈ f) 4 388 566 ≈ g) 599 256 ≈ h) 85 465 ≈ i) 48 893 ≈ 51 Runde auf die angegebenen Stellenwerte. H ZT HT M 715 398 635 499 2 318 907 500 001 Merke Ó Arbeitsblatt i2ry25 Ó Sprachaufgabe jh3m7a ÓErklärvideo q5v4mq Muster O O O 4 Runden von natürlichen Zahlen Im einem Fußballstadion waren in der letzten Saison rund 160 000 Zuschauerinnen bzw. Zuschauer. Glaubst du, stimmt diese Zahl genau? Was bedeutet „rund“ in diesem Zusammenhang? Du hast sicher schon einmal jemanden sagen gehört: „Das ist rund 1 000 € wert.“ Diese Sprechweise kommt vom Runden. 16 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

52 Gegeben ist eine Auswahl der höchsten Berge in Österreich. 1) Runde die Meterangaben jeweils auf Zehner und gib den Rundungsfehler an. Wildspitze: 3768 m ≈ Rundungsfehler: Weißkugel: 3738 m ≈ Rundungsfehler: Glocknerwand: 3721 m ≈ Rundungsfehler: Großvenediger: 3 657m ≈ Rundungsfehler: Hintere Schwärze: 3 624 m ≈ Rundungsfehler: Vorderer Brochkogel: 3 565 m ≈ Rundungsfehler: Rainerhorn 3 559 m ≈ Rundungsfehler: 2) Runde die Höhe der Berge jeweils auf Tausender. Warum ist eine Rundung auf die Hunderterstelle sinnvoller? 3) Was würde passieren, wenn man auf die ZT- Stelle runden würde? 53 Runde auf den angegebenen Stellenwert. a) 899 (Z) ≈ b) 3 999 (H) ≈ c) 7999 (H) ≈ d) 129 978 (H) ≈ e) 3 899 999 (T) ≈ f) 899 999 (Z) ≈ g) 599 879 (ZT) ≈ h) 359 897 (T) ≈ 54 Gib die gesuchten Zahlen an und erkläre, welche Bedingungen dafür notwendig sind. Welche natürlichen Zahlen kann man auf a) 70 b) 100 runden? 55 Gib an, bei welchen Beispielen die Zahlen nicht gerundet werden sollten und begründe deine Entscheidung. Telefonnummer, Postleitzahl, Anzahl der Bewohner einer großen Stadt, Hausnummer, Anzahl der pro Person abgegebenen Stimmen bei der Wahl zur Klassensprecherin bzw. zum Klassensprecher. 56 ] Kann eine dreistellige Zahl auf 0 gerundet werden? Wenn ja, gib Beispiele dazu an. Gecheckt? ææ Ich kann natürliche Zahlen sinnvoll runden. 57 Kreuze an, ob die Aussagen richtig oder falsch sind und begründe deine Entscheidung. Aussage richtig falsch Aussage richtig falsch 599798 (T) ≈ 599 000 599798 (T) ≈ 600 000 599798 (H) ≈ 589 800 599798 (M) ≈ 1 000 000 599798 (ZT) ≈ 600798 58 Gegeben ist die Zahl 6 688 954 358. Ordne jeweils zu, auf welchen Stellenwert gerundet wurde. 1 6 688 954 000 A Z 2 7 000 000 000 B H 3 6 690 000 000 C T 4 6 688 954 360 D ZT E Md F ZM O, DI O V V V DI ÓArbeitsblatt e2ac9m DI Der Rundungsfehler gibt an, um wie viel sich die Zahl durch die Rundung verändert hat. Wenn man die Zahl 4 999 auf Z runden möchte, dann muss man auch bei den nächsten Ziffern weiter runden. 4 999 ≈ 5 000 Sprachliche Bildung  Interkulturelle Bildung 17 A Grundlagen natürlicher Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Grundlagen natürlicher Zahlen Die natürlichen Zahlen Die Zahlen 0; 1; 2; 3; 4; … haben in der Mathematik einen Namen. Man nennt diese Zahlen die natürlichen Zahlen und kürzt die Menge mit ℕ ab. Es gibt unendlich viele natürliche Zahlen. Für die Menge der natürlichen Zahlen schreibt man: ℕ = {0; 1; 2; 3; 4; …} Der Zahlenstrahl Die natürlichen Zahlen können am Zahlenstrahl dargestellt werden. Die natürlichen Zahlen werden dabei geordnet und in gleichen Abständen dargestellt. 0 ist die kleinste natürliche Zahl. Der Strichabstand gibt den Abstand zwischen zwei eingezeichneten Strichen an (z.B. in mm), die Schrittweite gibt an, um wie viel die Zahlen bei jedem Strich größer werden. Auf diesem Zahlenstrahl wurden die Zahlen 8, 14 und 20 eingezeichnet. Strichabstand: 1 cm Schrittweite: 4 Ordnung der natürlichen Zahlen Jene Zahl, die am Zahlenstrahl weiter links steht, ist kleiner. Dabei werden die Ungleichungszeichen < (kleiner) und > (größer) verwendet. Die Spitze des Ungleichungszeichens < oder > schaut immer zur kleineren Zahl. 5 ist kleiner als 7. 5 < 7 7 ist größer als 5. 7 > 5 steigende Ungleichungskette: 3 < 5 < 7 < 9 fallende Ungleichungskette: 9 > 7 > 5 > 3 Vorgänger und Nachfolger einer natürlichen Zahl Jede natürliche Zahl (außer 0) hat zwei Nachbarn in den natürlichen Zahlen: den Vorgänger und den Nachfolger. Vorgänger: 98 Zahl: 99 Nachfolger: 100 Die Stellenwerttafel Billionen Milliarden Millionen Tausender B HMd ZMd Md HM ZM M HT ZT T H Z E Die römischen Zahlen I V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1 000 Beispiele: CCC = 300 (100 + 100 + 100) CM = 900 (1 000 – 100) DCCCXC = 890 Runden von Zahlen Ist die Ziffer nach der Rundungsstelle… ææ 0, 1, 2, 3 oder 4 wird abgerundet. Die Rundungsstelle bleibt gleich. ææ 5, 6, 7, 8 oder 9 wird aufgerundet. Die Rundungsstelle wird um 1 vergrößert. Die restlichen Stellen nach der Rundungsstelle werden durch Nullen ersetzt. Der Rundungsfehler gibt an, um wie viel sich die Zahl durch die Rundung verändert hat. 589 (Z) ≈ 590 Rundungsfehler: 1 589 (H) ≈ 600 Rundungsfehler: 11 589 (T) ≈ 1 000 Rundungsfehler: 411 4 8 12 16 20 Ó Sprachaufgabe pm8ty6 18 Zusammenfassung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

ææ Ich kann die natürlichen Zahlen angeben. 59 Gib alle natürlichen Zahlen an, die kleiner als 8 sind. 60 Kreuze an, ob die Aussagen richtig oder falsch sind. Aussage richtig falsch 1 ist die kleinste natürliche Zahl. Zieht man von einer natürlichen Zahl, die größer als 1 ist, ihren Vorgänger ab, dann erhält man wieder eine natürliche Zahl. Zieht man von einer natürlichen Zahl ihren Nachfolger ab, dann erhält man wieder eine natürliche Zahl. ææ Ich kann die natürlichen Zahlen am Zahlenstrahl darstellen und ablesen. 61 Gib an, welche natürlichen Zahlen am Zahlenstrahl eingezeichnet sind. Gib weiters auch den Strichabstand und die Schrittweite an. Strichabstand: Schrittweite: 62 Zeichne am gegebenen Zahlenstrahl die Zahlen 10, 40, 60 und 35 ein. Gib auch den Strichabstand und die Schrittweite an. Strichabstand: Schrittweite: 63 Zeichne den Ausschnitt eines Zahlenstrahls und zeichne die Zahlen 200, 250, 400 und 550 ein. Verwende einen Strichabstand von 2 cm. ææ Ich kann den Vorgänger und den Nachfolger einer natürlichen Zahl bestimmen. 64 Gib den Vorgänger und den Nachfolger der Zahl 999 an. Vorgänger: Nachfolger: 65 Ordne jeder Zahl ihren Nachfolger zu. 1 999 A 10 000 000 2 9 999 B 10 000 3 99 999 C 1 000 000 4 9 999 999 D 1 000 E 100 000 000 F 100 000 O DI O 5 0 O 50 0 O O DI 19 A Grundlagen natürlicher Zahlen Selbstkontrolle Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

ææ Ich kann die Zeichen < und > anwenden. 66 Setze das richtige Zeichen < oder >. 17 19 123 231 111 34 12 123 67 Setze das richtige Zeichen < oder >. 99 999 9 999 100 000 231 005 32 899 111 312 9 999 999 999 998 68 Kreuze so an, dass eine richtige Aussage entsteht. Es gilt:  <  .   9 999 æ 9 997 æ 99 999 æ 8 719 æ 999 999 æ 10 000 æ ææ Ich kann natürliche Zahlen ordnen. 69 Bilde aus den Zahlen 5, 7 und 9 alle dreistelligen natürlichen Zahlen und ordne diese mit einer fallenden Ungleichungskette. 70 Ordne die Zahlen 9 999, 12 912, 99 999, 999 999 und 9 mit Hilfe einer steigenden Ungleichungskette. ææ Ich verstehe das dekadische Zahlensystem. 71 Kreuze an, ob die Aussagen richtig oder falsch sind. Aussage richtig falsch 1H = 10E 1T = 10H 1Md = 10HM ææ Ich kann Zahlen in dekadischen Einheiten anschreiben. ææ Ich kann große Zahlen anschreiben und vorlesen. 72 Schreibe die Zahl mit dekadischen Einheiten an. 1 000 400 = 12 000 000 100 = 3 000 000 001 = 104 312 = 73 Schreibe die Zahl ohne dekadische Einheiten an. 4Md 3ZM 4Z = 5ZT 4E = 3HMd 4T = 2B 5ZMd = O O DI O O DI O O 20 Selbstkontrolle Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

74 Ergänze die Tabelle zeilenweise. in Ziffern mit Worten in dekadischen Einheiten 2 030 viermillionenzweihundertfünf 1 000 400 2ZMd 3HT ææ Ich kann römische Zahlen in Ziffernschreibweise angeben. ææ Ich kann Zahlen als römische Zahlen anschreiben. 75 Gib die römischen Zahlen in Ziffernschreibweise an. CCCXX = MDLXXXVII = MMCCCIII = 76 Gib die römischen Zahlen in Ziffernschreibweise an. MMCM = MDXLIV = CMXCIX = 77 Gib an, ob die römischen Zahlen richtig dargestellt sind. Aussage richtig falsch Aussage richtig falsch 4 = IIII 400 = CCCC 408 = CDVIII 204 = CCIV 999 = IM 303 = CCCIII ææ Ich kann natürliche Zahlen sinnvoll runden. 78 Runde die Zahlen auf Zehner. 409 = 512 = 9 978 = 403 = 79 Runde die Zahlen auf die gegebenen Stellenwerte. H T HT M 4 728 3 452 897 80 Gegeben ist die Zahl 7788 412. Ordne jeweils zu, auf welchen Stellenwert gerundet wurde. 1 8 000 000 A ZT 2 7 800 000 B H 3 7 788 400 C M 4 7 790 000 D HT 81 Kreuze jene Beschreibungen an, bei denen sinnvoll gerundet werden kann. A In der Stadt Mathematika leben 513 987 Einwohnerinnen bzw. Einwohner. æ B Meine Hausnummer ist 34. æ C Ich wurde am 24.6.2014 geboren. æ D Ich bin 156 cm 4 mm groß. æ O DI DI DI O O DI DI  Sprachliche Bildung 21 A Grundlagen natürlicher Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

B Rechnen mit natürlichen Zahlen Es gibt Rechnungen, die du im Kopf rechnen kannst, bei anderen ist es einfacher, wenn du die Zahlen aufschreibst. In diesem Abschnitt wirst du lernen, wie man in der Zeile rechnet und somit keine Nebenrechnungen benötigt oder wie man sehr schnell 800 mit 9000 multipliziert. Du wirst auch Aufgaben lösen, in denen alle vier Grundrechnungsarten vorkommen. Wie löst man Rechnungen wie z.B. 3 + 2 · 4? Du wirst Rechentricks kennenlernen, die dir das Rechnen erleichtern. Ó Sprachaufgabe pn2qy5 Der Zauberer Hokospixus lässt sich die Augen verbinden. Ein Kind schreibt folgende drei Zahlen untereinander an die Tafel: 738, 514 und 380 Danach nimmt man dem Zauberer die Augenbinde weg. Er geht zur Tafel und schreibt zwei Zahlen dazu: 262 und 486 Jetzt beginnt das Wettrechnen. Ohne zu zögern schreibt der Zauberer das richtige Ergebnis 2 380 auf. Wie kommt der Zauberer so schnell auf das Ergebnis? Du wirst diesen Rechentrick auch bald können. Reden wir darüber… Was weißt du schon über die vier Grundrechnungsarten? Wo brauchst du sie im Alltag? Fasse den Trick des Zauberers in eigenen Worten zusammen. Kennst du Rechentricks aus der Volksschule? Wie könnte der Trick des Zauberers funktionieren? Versuche ihn zu erklären. ÓLesetext 3896ii 22 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

ææ Ich kann die einzelnen Teile der Addition benennen. ææ Ich kann große Zahlen addieren. ææ Ich kann Überschlagsrechnungen durchführen. ææ Ich kann Rechengesetze für die Addition formulieren und anwenden. Begriffsbildung und einfache Additionen Bezeichnungen der Addition Bei der Addition gilt: Summand + Summand = Summe 12 plus 24 ist gleich 36 82 Markiere bei den Rechnungen die Summanden rot und die Summe grün. 3 + 5 = 8 3 + 4 = 7 11 + 8 + 13 = 32 13 = 9 + 4 15 = 3 + 5 + 7 16 = 2 + 5 + 9 83 Formuliere zur Rechnung eine passende Rechenanweisung wie z.B.: „16 ist die Summe der Summanden 3, 4 und 9“. a) 2 + 8 + 7 = 17 b) 3 + 4 + 2 = 9 c) 11 + 8 + 23 = 42 d) 23 = 3 + 9 + 11 e) 4 = 2 + 1 + 1 f) 0 + 5 + 8 + 9 = 22 84 Kreuze an, ob die Aussagen richtig oder falsch sind. Aussage richtig falsch Die Summe der beiden Summanden 8 und 4 ergibt 12. Addiert man zum Summanden 4 die Summe 8, erhält man den Summanden 12. Addiert man die beiden Summanden 3 und 15, erhält man als Summe 12. Addiert man zur Summe der Zahlen 8 und 4 den Summanden 12, erhält man als Summe 24. 85 Gib an, ob folgende Aussage stimmt und begründe deine Meinung. a) Addiert man vier Summanden, erhält man immer eine Summe, die größer als 10 ist. b) Die Summe einer Addition natürlicher Zahlen ist stets größer als die einzelnen Summanden, wenn keiner der Summanden die Zahl 0 ist. ÓErklärvideo hc5t7p Merke DI M, DI DI V Der Zauberer Hokospixus zeigt noch einen Rechentrick. Die ersten drei Zahlen in der Abbildung wurden von den Kindern aufgeschrieben. Die letzten beiden Zahlen hat er dazugefügt und konnte sofort das Ergebnis hinschreiben. Wie funktioniert der Trick? 5 Addieren natürlicher Zahlen  Sprachliche Bildung 23 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

86 Am Zahlenstrahl ist die Addition dargestellt. Fülle die einzelnen Lücken. Am Ende soll die angegebene Zahl herauskommen. a) b) 87 Ergänze den Rechenturm. Die Summe der beiden unteren Kästchen ergibt jeweils den Wert des oberen Kästchens. a) b) c) 88 ] Die Summe der Zahlen 4 und 9 ist 13. a) Wie verändert sich die Summe, wenn du die erste Zahl um 3 vergrößerst? b) Wie verändert sich die Summe, wenn du den zweiten Summanden um 5 verkleinerst? c) Wie verändert sich die Summe, wenn du beide Summanden um 5 vergrößerst? Addition großer natürlicher Zahlen Addiert man große natürliche Zahlen, wird das Kopfrechnen schon schwieriger. Um große Zahlen zu addieren, schreibt man diese stellenwertrichtig untereinander. Danach können die einzelnen Stellenwerte addiert werden. Dabei muss auf den Übertrag geachtet werden. Führe die Addition durch. 3 482 | Zuerst werden die Einer, dann die Zehner usw. addiert. 102793 | Vergiss nicht auf den Übertrag. 811 499 | z. B. Einer: 9 + 3 + 2 = 14 (Schreibe 4, Übertrag 1) 1 2 1 917774 | Zehner: 1 + 9 + 9 + 8 = 27 (Schreibe 7, Übertrag 2) 89 Berechne die Summe. a) 314 b) 3 798 c) 4 899 d) 798 512 e) 135 289 f) 35 869 8 512 2 311 34 908 768 915 599 999 90 Addiere die Zahlen. a) 5 974 b) 198 c) 304 812 d) 804 795 e) 56 22 111 799 74 576 12 783 9 999 11 111 4 503 12 398 6 908 9 999 5 995 304 809 789 7 999 12 835 ÓArbeitsblatt z545t7 O 75 7 + 8 + 21 + 30 + + 4 59 11 + 9 + 13 + 12 + + 31 O 17 25 14 19 48 25 12 39 24 26 12 14 O, V Muster O O Stellenwertrichtig bedeutet, dass du die Einer unter die Einer schreibst, die Zehner unter die Zehner usw.  Sprachliche Bildung 24 5 Addieren natürlicher Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Führe eine Überschlagsrechnung durch. Schreibe die Zahlen stellenwertrichtig untereinander und addiere sie. 3 412 + 4 865 + 812 = Um die 3 Zahlen überschlagsmäßig zu addieren, verändert man sie so, dass man mit ihnen leichter rechnen kann. Hier bietet sich ein Runden auf Hunderter an. Für einen ungenaueren Überschlag wäre auch eine Rundung auf Tausender möglich. Ü: 3400 + 4900 + 800 = 9100 Für die genaue Rechnung ist es wichtig, dass alle Ziffern stellenwertrichtig untereinander geschrieben werden (Einer unter Einer, Zehner unter Zehner usw.). 3 412 4 865 812 9 089 Die Überschlagsrechnung ist eine gute Annäherung an das tatsächliche Ergebnis. 91 Führe eine Überschlagsrechnung durch. Schreibe die Zahlen stellenwertrichtig untereinander und addiere sie. a) 789 + 645 + 312 = b) 47 + 78 + 46 + 59 = c) 849 + 714 + 388 = d) 4 895 + 789 + 3 849 = e) 3897 + 5876 + 7987 = 92 Führe eine Überschlagsrechnung durch. Schreibe die Zahlen stellenwertrichtig untereinander und addiere sie. a) 689 + 3 489 + 2 675 = b) 567888 + 122 355 + 389 854 = c) 5 843 + 312 + 22 318 = d) 666 666 + 333 333 + 444 444 = 93 Erkläre, was bei der Rechnung falsch gemacht wurde und stelle sie richtig. Um mehrere größere Zahlen addieren zu können, muss man diese nicht immer untereinander schreiben. Man kann auch in der Zeile addieren. Addiere die folgenden Zahlen in der Zeile. 412 + 918 + 784 = 412+918+784=2114 2 1 1 1. Rechnung (Einer): 4 + 8 + 2 = 14 (4 anschreiben, 1 Übertrag) 2. Rechnung (Übertrag + Zehner): 1 + 8 + 1 + 1 = 11 (1 anschreiben, 1 Übertrag) 3. Rechnung (Übertrag + Hunderter): 1+ 7 + 9 + 4 = 21 (1 anschreiben, 2 Übertrag) 94 Addiere in der Zeile. a) 789 + 314 + 512 = b) 489 + 956 + 839 = c) 2 695 + 599 + 2 449 = d) 3 827 + 5 376 + 1 987 = e) 2 635 + 1 981 + 1 234 = f) 7234 + 2385 + 9854 = g) 7941 + 806 + 25718 = h) 444666 + 555333 + 777777 = Muster O O V a) 4 7 8 9 5 8 3 1 2 8 4 8 9 b) 1 1 9 9 9 9 4 5 1 8 1 4 4 0 7 0 0 0 9 7 7 8 1 3 c) 1 1 2 8 9 9 1 0 4 9 9 9 1 2 3 3 7 8 9 8 Muster O Mache den Überschlag so, dass du das Ergebnis im Kopf berechnen kannst.  Wirtschafts- und Verbraucher/innenbildung Entrepreneurship Education 25 B Rechnen mit natürlichen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

95 Ordne jeder Rechnung das passende Ergebnis zu. 96 Ergänze die fehlenden Lücken. a) 3412 + 7839 + 3518 = b) 12 315 + 67899 + 33 655 = 5 812 + 4 018 + 3 507 = 65 812+ 33 567 + 19 965 = 5687 + 7315 + 4089 = 99812+ 5013 + 7499 = 4 567 + 2 834 + 5 698 = 5 006 + 5 009 + 12 308 = + + = + + = Die Rechengesetze der Addition – vorteilhaft rechnen Jede Rechenoperation hat bestimmte Eigenschaften. Diese kann man nutzen, um Ergebnisse einfacher zu berechnen. 97 Verbinde alle Rechnungen, bei denen du dasselbe Ergebnis erhältst. Was fällt dir auf? a) 17 + 8 = 1 + 23 = b) 2 + 4 + 8 = 2 + 4 + 6 = 13 + 4 = 7 + 9 = 3 + 6 + 2 = 4 + 6 + 9 = 9 + 7 = 4 + 13 = 6 + 2 + 4 = 2 + 8 + 4 = 23 + 1 = 8 + 17 = 6 + 4 + 9 = 6 + 3 + 2 = Das Kommutativgesetz (das Vertauschungsgesetz) der Addition Bei der Addition darfst du die Reihenfolge der Summanden vertauschen. Es gilt: a + b = b + a 3 + 5 = 5 + 3 Mathematikerinnen und Mathematiker haben sich darauf geeinigt, dass sie immer zuerst die Rechnungen in den Klammern berechnen. Dabei schreibt man immer die ganze Zeile an. Berechne. (3 + 4) + (2 + 3 + 1) + (8 + 2) = Da bei dieser Rechnung Klammern gesetzt sind, müssen die Rechnungen in den Klammern zuerst berechnet werden: (3 + 4) + (2 + 3 + 1) + (8 + 2) = 122232225 122222322225 122232225 = 7 + 6 + 10 =23 98 Verbinde alle Rechnungen, bei denen du dasselbe Ergebnis erhältst. a) (12 + 8) + 5 = 1 + (4 + 5) = b) (1 + 8) + 7 = 5 + (6 + 7) = (1 + 2) + 5 = 1 + (2 + 5) = (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5) = (14 + 9) + 3 = 2 + (8 + 11) = (21 + 32) + 1 = 21 + (32 + 1) = (2 + 8) + 11 = 14 + (9 + 3) = (5 + 6) + 7 = 3 + (4 + 12) = (9 + 6) + 3 = 12 + (8 + 5) = (8 + 9) + 10 = 1 + (8 + 7) = (1 + 4) + 5 = 9 + (6 + 3) = (3 + 4) + 12 = 8 + (9 + 10) = O, DI A 78 666 1 23 398 + 35 367 + 18 911 = B 77 676 2 23 397 + 34 367 + 18 912 = C 77 666 3 23 392 + 35 363 + 18 911 = D 77 656 4 23 391 + 35 361 + 19 914 = E 86 676 F 76 676 O O, DI Merke Muster O, DI 26 5 Addieren natürlicher Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

Das Assoziativgesetz (das Verbindungsgesetz) der Addition Bei der Addition darfst du Teilsummen bilden. Es gilt: (a + b) + c = a + (b + c) (3 + 5) + 2 = 3 + (5 + 2) Das Kommutativ- und das Assoziativgesetz kannst du verwenden, um Rechnungen mit mehreren Summanden einfacher zu berechnen. Diese Vorgehensweise nennt man „vorteilhaft rechnen“. Rechne vorteilhaft: 23 + 24 + 22 + 26 + 27 + 28 = 23 + 24 + 22 + 26 + 27 + 28 = = (23 + 27) + (24 + 26) + (22 + 28) = = 50 + 50 + 50 = 150 Man erkennt, dass sich immer zwei Summanden auf 50 ergänzen. Zuerst vertauscht man die Reihenfolge der Summanden (Kommutativgesetz) und bildet dann Teilsummen (Assoziativgesetz). 99 Rechne vorteilhaft. a) 43 + 45 + 57 + 25 + 19 = b) 27 + 38 + 52 + 13 = c) 304 + 209 + 301 + 406 = d) 320 + 560 + 280 + 340 = e) 11 + 12 + 13 + 14 + 16 + 17 + 18 = f) 32 + 36 + 29 + 34 + 51 + 68 = 100 Der Zauberer Hokospixus lässt sich vom Publikum drei Summanden nennen und gibt zwei Summanden dazu. Blitzschnell kann er das Ergebnis sagen. Schreibe die Rechnung vorteilhaft auf und erkläre, wieso er so schnell rechnen konnte. a) Publikum: 12; 30; 55 Hokospixus: 88; 70 Ergebnis: 255 b) Publikum: 33; 47; 88 Hokospixus: 53; 12 Ergebnis: 233 101 Gib an, ob folgende Aussage richtig oder falsch ist. Stelle falsche Aussagen richtig. a) Bei der Addition darf man die Reihenfolge der Summanden nicht vertauschen. b) Bei der Addition von fünf Summanden, muss man immer zuerst die ersten beiden Summanden zusammenzählen und darf erst danach weiterrechnen. c) Die einzelnen Teile einer Addition heißen Kommutativgesetz. Gecheckt? ææ Ich kann die einzelnen Teile der Addition benennen. 102 Führe die Addition durch und benenne alle Teile dieser Rechnung. 15 + 7 = ææ Ich kann Überschlagsrechnungen durchführen. ææ Ich kann große Zahlen addieren. 103 Mache zuerst eine Überschlagsrechnung. Berechne anschließend das Ergebnis. 3 415 + 27816 + 312 945 + 47812 = ææ Ich kann Rechengesetze für die Addition formulieren und anwenden. 104 Rechne vorteilhaft und erkläre, welche Rechengesetze du verwendet hast. 3412+5703+4588+3297= Merke Muster ÓErklärvideo 5v2vk3 O V DI, V O O O, V Ó Arbeitsblatt dy3t3k Das Wort associare kommt aus dem Lateinischen und bedeutet verbinden oder vereinigen.  Sprachliche Bildung Wirtschafts- und Verbraucher/innenbildung 27 B Rechnen mit natürlichen Zahlen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv

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