Ablei t inger | Dorner | Embacher | Ulovec Mathematik verstehen 5 GEOGEBRA
Mathematik verstehen 5. GeoGebra, Technologietraining Schulbuchnummer: 175258 Mit Bescheid des Bundesministeriums für Bildung und Frauen vom 3. März 2015, GZ BMBF-5.018/0047B/8/2014, gemäß § 14 Absatz 2 und 5 des Schulunterrichtsgesetzes, BGBl. Nr. 472/86, und gemäß den derzeit geltenden Lehrplänen als für den Unterrichtsgebrauch an allgemein bildenden höheren Schulen für die 5. Klasse im Unterrichtsgegenstand Mathematik geeignet erklärt. Mit Bescheid vom 16. Oktober 2017, GZ BMBF-5.018/0066-IT/3/2017 teilt das Bundesministerium für Bildung mit, dass gegen die aktualisierte Fassung des Werkes Malle Mathematik verstehen 5. GeoGebra, Technologietraining, BNR 175.258, kein Einwand besteht. (Lehrplan 2017) Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Liebe Schülerin, lieber Schüler, Sie bekommen dieses Schulbuch von der Republik Österreich für Ihre Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Umschlagbild: Vladitto / Fotolia Technische Zeichnungen: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig 1. Auflage (Druck 0003) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2017 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Redaktion: Dr. Nathalie Tassotti, Wien Herstellung: Pia Moest, Wien Umschlaggestaltung und Layout: DWTC Balgavy, Wien Satz: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig Druck: Paul Gerin GmbH & Co KG, Wolkersdorf ISBN 978-3-209-09578-7 (Mathematik verstehen OS GGb Technologie 5) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
www.oebv.at Privatdoz. Dr. Christoph Ableitinger Mag. Dr. Christian Dorner, BSc Doz. Dr. Franz Embacher MMag. Dr. Andreas Ulovec Wissenschaftliche Beratung: Univ.-Prof. Mag. Dr. Günther Malle Technologietraining GeoGebra 5 Mathematik verstehen Ablei t inger | Dorner | Embacher | Ulovec Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
2 Bitte beachten! Im Zuge der Erneuerungen von GeoGebra wurde in der Befehlsstruktur von eckigen Klammern [ ] auf runde Klammern ( ) umgestellt! z.B. Vektor[A, B] wird zu Vektor(A, B) Alle aktuellen Updates und Korrekturen zu GeoGebra 6 können hier nachgelesen werden: http://wiki.geogebra.org/en/Reference:Changelog_6.0 (abgerufen am 22.12. 2021) Die Onlinehinweise zur Durchführung von Schularbeiten und Prüfungen mit GeoGebraExam finden Sie auf www.oebv.at. Geben Sie den Online-Code direkt ins Suchfeld ein. Erklärungen zum Technologietraining Die einzelnen Kapitel in diesem Technologietraining laufen parallel zu den Kapiteln im Schulbuch Mathematik verstehen 5. Ziel des Technologietrainings ist es, Fertigkeiten in der Software GeoGebra zu erwerben, die das Verständnis von Inhalten des Schulbuchs unterstützen, die Bearbeitung von Aufgaben aus dem Schulbuch erleichtern, es ermöglichen, handschriftlich erhaltene Ergebnisse rasch mit dem Computer zu überprüfen, bei der standardisierten Reifeprüfung erwartet werden. Zu Beginn jedes Kapitels werden die für die standardisierte Reifeprüfung bzw. vom Lehrplan geforderten Grundkompetenzen angegeben, die in diesem Kapitel mit Hilfe der Technologie vertieft und erweitert werden können. Die Technologie-Fertigkeiten sollen bei der Bearbeitung konkreter Aufgaben erworben werden. Die Idee ist, die vorgezeigten Aufgabenlösungen selbst in GeoGebra nachzuvollziehen! Entsprechende Screenshots des GeoGebra-Bildschirms sollen dabei helfen. Es ist ratsam, vor der Bearbeitung einer neuen Aufgabe ein neues Fenster in GeoGebra zu öffnen, da sich GeoGebra in manchen Fällen Variablennamen merkt und in neuen Aufgaben weiterverwendet. Die Sprechblasen sollen in der angegebenen Reihenfolge 1 2 3 … gelesen und bearbeitet werden. Der Text in einer Sprechblase beginnt immer mit dem Namen jenes Fensters bzw. Bereichs, in dem der nachfolgende Schritt ausgeführt werden soll. Graue Markierungen deuten auf eine spezielle Syntax in GeoGebra hin. Der grau unterlegte Text kann direkt so in GeoGebra eingegeben werden. Falls nicht anders angegeben, ist mit einem „Mausklick“ immer die linke Maustaste gemeint. GeoGebra bietet häufig mehrere Wege an, wie bestimmte Eingaben vorgenommen werden können. In einigen Fällen werden diese unterschiedlichen Möglichkeiten angesprochen. Wir verzichten allerdings darauf, wenn dies zu Verwirrungen führen könnte. Wir verwenden in diesem Technologietraining die Version 6.0 von GeoGebra in der Sprache Deutsch (Österreich). G 7. 05 Die imTechnologietraining verwendeten Aufgaben werden – sofern sie nicht aus dem Schulbuch übernommen worden sind – mit einem G gekennzeichnet. Lösungen zu diesen Aufgaben findet man auf www.oebv.at, indem der Online-Code direkt ins Suchfeld eingegeben wird. O O Dieses Symbol weist auf Aufgaben aus dem Schulbuch Mathematik verstehen 5 hin, die mit den neu erworbenen Fertigkeiten bearbeitet und weiter vertieft werden können. Ó c5s8xa Ó mm4sw2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
3 Inhalt Einführung in die Software GeoGebra 4 1 Zahlen und Zahlenmengen 19 2 Terme und Formeln 26 3 Quadratische Gleichungen 28 4 Berechnungen in rechtwinkeligen Dreiecken 31 5 Berechnungen in beliebigen Dreiecken 37 6 Reelle Funktionen 43 7 Lineare Funktionen 50 8 Einige nichtlineare Funktionen 58 9 Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme in zwei Variablen 63 10 Vektoren 66 11 Geometrische Darstellung von Vektoren und deren Rechenoperationen 69 12 Geraden in ℝ2 83 13 Weitere Anwendungen von Vektoren in ℝ2 87 Das Online-Handbuch zu GeoGebra 95 Wo findet man was? 96 Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv
4 Einführung in die Software Geogebra Falls die Software GeoGebra schon bekannt ist und schon einige Erfahrungen mit ihr gemacht wurden, kann man dieses Kapitel getrost überspringen! Für Anfänger stellt es eine Einführung anhand von Themen dar, die schon aus der Unterstufe bekannt sein sollten. Auf diese Weise kann man sich also auf das Erlernen des Programms konzentrieren. GeoGebra – eine dynamische Mathematiksoftware Im Namen GeoGebra stecken die beiden Wörter „Geometrie“ und „Algebra“. GeoGebra verbindet diese beiden Teilgebiete der Mathematik, die auch schon in der Unterstufe eine wichtige Rolle gespielt haben. Das Programm wird ständig weiterentwickelt, sodass es mittlerweile auch eine Tabellenkalkulation und viele weitere Funktionen enthält. Dieses Technologietraining soll einerseits die wichtigsten Werkzeuge in GeoGebra erklären, und andererseits dazu befähigen, sich selbständig weitere Funktionen des Programms anzueignen. GeoGebra kann man kostenlos von der Website www.geogebra.org herunterladen. Wichtige Fenster und Werkzeuge in GeoGebra kennenlernen Nach dem Öffnen des Programms GeoGebra erscheint die Programmoberfläche mit ihren unterschiedlichen Bereichen: Algebrafenster, Grafikfenster, Werkzeugleiste und Menübutton: 1 2 3 4 5 Fenstermenü: Jedes Fenster (Grafikfenster, Algebrafenster, etc.) besitzt rechts oben ein eigenes Fenstermenü. Hier kann man Einstellungen vornehmen, die dieses Fenster betreffen. Auch das Schließen des Fensters ist über dieses Menü möglich. Werkzeugleiste: Hier findet man Werkzeuge für die Arbeit im Grafikfenster. Klicke auf ein Werkzeug! Es öffnet sich ein Untermenü mit verwandten Werkzeugen. 1 2 3 4 5 Menübutton: Rechts oben findet man den Menübutton, über den man wichtige Funktionen (Öffnen einer neuen Datei, Speichern, Drucken, Exportieren, etc.) aufrufen und wichtige Einstellungen (Schriftgröße, Rundungsgenauigkeit, etc.) vornehmen kann. 1 2 3 4 5 Algebra: In diese Zeile im Algebrafenster können mathematische Objekte (Punkte, Geraden, Funktionen, etc.) eingegeben werden. Sie werden nach der Eingabe in diesem Fenster aufgelistet. 1 2 3 4 5 Grafik: Man kann Objekte auch direkt in das Grafikfenster zeichnen. Auch sie werden im Algebrafenster aufgelistet. Umgekehrt werden im Grafikfenster Objekte automatisch eingezeichnet, die über das Algebrafenster eingegeben werden. 1 2 3 4 5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum d s Verlags öbv
5 Einführung in die Software Geogebra Es gibt in GeoGebra noch zwei weitere wichtige Programmelemente, die in der Standardeinstellung zunächst nicht sichtbar sind, mit denen wir im Technologietraining jedoch arbeiten werden: die Tabellenkalkulation und das CAS-Fenster. Punkte eingeben, Koordinatengitter Ausblenden G E . 01 Zeichne den Punkt P = (2 1 4) in das Koordinatensystem ein! Blende danach das Koordinatengitter im Grafikfenster aus! Lösung: Öffne das Programm GeoGebra und folge danach den Anweisungen in den Sprechblasen! Menübutton: Wähle nach Anklicken des Menübuttons das Untermenü „Ansicht“ und danach „Tabelle“ (bzw. „CAS“), um die Tabellenkalkulation (bzw. das CAS-Fenster) zu öffnen! 1 2 3 Tabelle/Werkzeugleiste: Neben dem Algebra- und dem Grafikfenster öffnet sich nun auch die Tabellenkalkulation (bzw. das CASFenster). Für diese Fenster gibt es sogar jeweils eine eigene Werkzeugleiste mit speziellen Werkzeugen. 1 2 3 Fenstermenü: Klicke auf das Fenstermenü der Tabellenkalkulation und danach auf das Symbol ! Es öffnet sich ein Menü, in dem man das Fenster (in diesem Fall die Tabellenkalkulation) wieder schließen kann. Die Eingaben werden dabei nicht gelöscht, das Fenster wird nur ausgeblendet und kann jederzeit wieder geöffnet werden. 1 2 3 Algebra/Grafik: P wird sowohl im Grafikfenster als auch im Algebrafenster angezeigt. 1 2 3 Fenstermenü: Wähle im Fenstermenü des Grafikfensters das Symbol für das Koordinatengitter und darunter das Symbol für das Entfernen desselben! Analog kann das Koordinatengitter natürlich wieder eingeblendet werden. 1 2 3 Algebra: Gib P = (2,4) in das Algebrafenster ein und bestätige mit Enter! 1 2 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigent m des Verlags öbv
6 Einführung in die Software Geogebra Zuweisen von Namen Wir haben in Aufgabe G E.01 dem Punkt (2 1 4) durch die Eingabe P = (2,4) den Namen P zugewiesen. Gibt man in die Eingabezeile lediglich (2,4) ein, weist GeoGebra dem Punkt automatisch einen Namen zu, der noch nicht vergeben ist, zB A. Will man also die Kontrolle darüber behalten, wie die Objekte bezeichnet werden, sollte man darauf achten, den Objekten schon bei der Eingabe den gewünschten Namen zu geben. Man kann allerdings Bezeichnungen auch nachträglich noch ändern (siehe Aufgabe G E.02). Punkte werden in GeoGebra standardmäßig in der Form (x, y) dargestellt, also mit einem Beistrich zwischen den Koordinaten. In der Schulbuchreihe Mathematik verstehen wird zwischen den Koordinaten stattdessen ein senkrechter Strich geschrieben: (x 1 y). Objekte und ihre Beschriftungen ein- und ausblenden, Umbenennen und Löschen von Objekten G E . 02 Zeichne den Punkt P = (3 1 4) in das Koordinatensystem ein! a) Blende die Beschriftung von P im Grafikfenster aus! b) Blende den Punkt P im Grafikfenster aus und danach wieder ein! c) Benenne den Punkt P in Q um! d) Lösche den Punkt Q, sodass er auch im Algebrafenster nicht mehr aufscheint! Lösung: Öffne zunächst eine neue Datei in GeoGebra! Klicke auf den Menübutton, wähle „Datei“ und danach den Unterpunkt „Neu“ aus! Entscheide selbst, ob die alte Datei gespeichert werden soll! Zeichne den Punkt P wie in Aufgabe G E.01 beschrieben! Zwischen dem Ausblenden eines Objekts und dem Löschen besteht ein prinzipieller Unterschied: Während ein ausgeblendetes Objekt weiterhin in GeoGebra definiert bleibt und verwendet werden kann, steht ein Objekt nach dem Löschen nicht mehr zur Verfügung. Man kann ein Objekt auch löschen, indem man im Algebrafenster auf das zu löschende Objekt und danach auf das Kreuz rechts neben dem Objekt klickt. Algebra: Klicke auf den kleinen Kreis links neben dem Punkt P! Der Punkt wird zwar im Algebrafenster weiterhin angezeigt, im Grafikfenster jedoch nicht mehr. Klicke auf den kleinen Kreis, um den Punkt wieder einzublenden! Man kann ein Objekt auch mittels „Objekt anzeigen“ in seinem Kontextmenü ein- bzw. ausblenden. 1 2 3 4 Grafik: Klicke mit der rechten Maustaste auf den Punkt P! Es öffnet sich das Kontextmenü des Punktes P. Wähle dort „Beschriftung anzeigen“! Die Beschriftung im Grafikfenster verschwindet! Alternativ kann man auch im Algebrafenster mit der rechten Maustaste auf den Punkt P klicken. 1 2 3 4 Kontextmenü: Wähle im Kontextmenü von P „Umbenennen“ aus! Es öffnet sich ein kleines Fenster, in dem der neue Name Q eingegeben werden kann. Bestätige die Eingabe mit OK! 1 2 3 4 1 2 3 4 Kontextmenü: Wähle im Kontextmenü von Q „Löschen“ aus! Der Punkt verschwindet sowohl im Grafik- als auch im Algebrafenster. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
7 Einführung in die Software Geogebra Kontextmenü So wie der Punkt P in Aufgabe G E.02 besitzen viele Objekte in GeoGebra ein Kontextmenü. Dort kann man wichtige Grundeinstellungen des Objekts verändern. Das Kontextmenü kann man öffnen, indem man mit der rechten Maustaste auf das gewünschte Objekt klickt. Sogar das Grafikfenster besitzt ein Kontextmenü, das durch einen Rechtsklick auf einen freien Bereich des Grafikfensters geöffnet werden kann. (Vorsicht: Das Grafikfenster muss aktiviert sein! Wähle dazu in der Werkzeugleiste „Bewege“ aus und klicke mit der linken Maustaste auf einen freien Bereich im Grafikfenster!) In diesem Kontextmenü kann man zB die Achsen oder das Koordinatengitter ein- und ausblenden. Werkzeuge in GeoGebra, Zugmodus G E . 03 Zeichne den Punkt P = (‒1 1 3) mit Hilfe des Werkzeugs „Punkt“! Verschiebe den Punkt danach im Zugmodus, bis er die Koordinaten (2 1 5) hat! Lösung: Öffne ein neues Fenster in GeoGebra und blende das Koordinatengitter ein! Es gibt neben der Eingabe über das Algebrafenster noch eine weitere Möglichkeit, einen Punkt zu zeichnen. Beachte, dass sich durch das Verschieben des Punkts P seine Koordinaten auch im Algebrafenster entsprechend verändern! Das ist der Grund, warum GeoGebra als dynamische Mathematiksoftware bezeichnet wird: Ändert man ein Objekt in einem Fenster, so ändert sich das Objekt auch in jedem anderen Fenster, in dem es auftritt. Zugmodus Das Verschieben eines Objekts im Grafikfenster mit Hilfe des Werkzeugs „Bewege“ ist eine der zentralen Funktionen von GeoGebra. Man nennt dies den „Zugmodus“ von GeoGebra. Zieht man beispielsweise einen Punkt im Grafikfenster an eine andere Position, so verändern sich schon während des Ziehens seine Koordinaten im Algebrafenster mit. Außerdem verändern sich auch alle Objekte, die von dem verschobenen Punkt abhängig sind (siehe Aufgabe G E.12). 1 2 3 4 Werkzeugleiste: Wähle das Werkzeug „Punkt“ ! Grafik: Klicke auf den Punkt (‒1 1 3) im leeren Koordinatensystem! Der Punkt wird eingezeichnet und im Algebrafenster angezeigt. 1 2 3 4 Grafik/Kontextmenü: Öffne das Kontextmenü des Punkts A und benenne ihn in P um! 1 2 3 4 Werkzeugleiste/Grafik: Wähle das Werkzeug „Bewege“ ! Klicke nun den Punkt P im Grafikfenster an, halte die Maustaste gedrückt und ziehe den Punkt an die Position (2 1 5)! 1 2 3 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
8 Einführung in die Software Geogebra Sprache Im Menü (Menübutton anklicken) findet man unter „Einstellungen“ den Punkt „Sprache“. Interessant ist, dass sich dabei auch die Sprache „German/Deutsch (Österreich)“ findet. Das hängt zum einen damit zusammen, dass GeoGebra in Österreich entwickelt wurde. Zum anderen gibt es zwischen Deutschland und Österreich Bezeichnungsunterschiede. Beispielsweise heißt die Streckensymmetrale in Deutschland Mittelsenkrechte. Strecken zeichnen, Formatierung von Objekten verändern G E . 04 Zeichne die Strecke PQ mit P = (‒2 1 0) und Q = (4 1 3)! Lösung: Folge den Anweisungen! Manchmal will man eine Eingabe in GeoGebra wieder rückgängig machen (zB die Eingabe eines Objekts oder die Veränderung seiner Formatierung). Drücke dazu in der Werkzeugleiste rechts auf das Symbol ! Alternativ kann man auch die Tastenkombination Strg+Z drücken. Die letzte Eingabe wird dadurch rückgängig gemacht! Klicke auf das Symbol rechts daneben, um sie wiederherzustellen (Strg+Y)! Man kann statt der Symbole (bzw. Tastenkombinationen) auch im Menü (Menübutton) den Punkt „Bearbeiten“ anklicken und dann den entsprechenden Unterpunkt auswählen. Algebra: Im Algebrafenster wird bei jedem Objekt, das von anderen Objekten abhängt (zB von der x-Achse oder von anderen Punkten), die Definition des Objektes angezeigt (zB bei der Strecke f: Strecke[P, Q]). Diese Definitionen kann man im Fenstermenü des Algebrafensters unter den Einstellungen ausblenden. 1 2 3 4 Werkzeugleiste: Um die Verbindungsstrecke zwischen P und Q zu zeichnen, klicke auf das Werkzeug ! Wähle im Werkzeuguntermenü das Werkzeug „Strecke“ aus! 1 2 3 4 Algebra: Gib nacheinander die beiden Punkte P = (‒2,0) und Q = (4,3) ein! Sie erscheinen im Algebra- und im Grafikfenster. 1 2 3 4 Grafik/Algebra: Klicke nun nacheinander auf die Punkte P und Q im Grafikfenster (oder im Algebrafenster knapp neben die Kreise links neben den beiden Punkten)! Die Strecke f wird eingezeichnet. Im Algebrafenster wird die Strecke f angezeigt und ihre Länge mit 6,71 Einheiten angegeben. 1 2 3 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
9 Einführung in die Software Geogebra Werkzeug und Befehl Eine Strecke kann man in GeoGebra auf verschiedene Arten zeichnen: I) Mit Hilfe des Werkzeugs „Strecke“ (Aufgabe G E.04). II) Mit Hilfe des Befehls „Strecke“ über das Algebrafenster: Strecke[P,Q] . Das ist typisch für GeoGebra: Für sehr viele Aktionen gibt es sowohl ein Werkzeug, das man in der Werkzeugleiste bzw. ihren Untermenüs findet, als auch einen Befehl, den man direkt in das Algebrafenster schreiben kann. Auf der GeoGebra-Website gibt es ein Online-Handbuch, in dem alle Befehle und Werkzeuge beschrieben sind (für eine genauere Erklärung siehe Seite 95). G E . 05 Formatiere die Strecke PQ aus Aufgabe G E.04 folgendermaßen: Farbe grün, Linienstärke 5, Linienart langstrichliert, Beschriftung mit „Strecke PQ“! Lösung: Wir starten mit dem Ergebnis aus Aufgabe G E.04. Man kann den Eigenschaften-Dialog eines Objektes auch öffnen, indem man das Objekt im Grafikfenster markiert und danach auf das Fenstermenü rechts oben klickt. Eigenschaften: Gib in das Feld „Beschriftung“ Strecke PQ ein und achte darauf, dass bei „Beschriftung anzeigen“ ein Häkchen gesetzt ist! Wähle im Dropdown-Menü den Punkt „Beschriftung“ aus! 1 2 3 4 5 Eigenschaften: Ändere die Farbe der Strecke in der Registerkarte „Farbe“ auf grün! 1 2 3 4 5 Eigenschaften: Ändere die Linienstärke und -art in der Registerkarte „Darstellung“! Schließe danach den Eigenschaften-Dialog rechts oben! Alle Änderungen werden dabei übernommen. 1 2 3 4 5 Grafik: Öffne mit einem Rechtsklick auf die Strecke f ihr Kontextmenü! Wähle den Punkt „Eigenschaften“! Es öffnet sich rechts der Eigenschaften-Dialog der Strecke f. 1 2 3 4 5 Werkzeugleiste/Grafik: Klicke zuerst auf das Werkzeug „Bewege“ und danach irgendwo in das Grafikfenster, damit die Strecke PQ nicht mehr verschwommen angezeigt wird! 1 2 3 4 5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
10 Einführung in die Software Geogebra Eigenschaften-Dialog Viele Objekte in GeoGebra besitzen einen Eigenschaften-Dialog. Klicke dazu im Kontextmenü eines Objekts den Menüpunkt „Eigenschaften“ an (im Falle des Grafikfensters heißt der Kontextmenüpunkt „Grafik“)! Im Eigenschaften-Dialog eines Objekts kann man Einstellungen verändern und das Objekt formatieren. G E . 06 Zeichne die Strecke und formatiere sie in der angegebenen Weise! a) CD mit C = (‒2 1 2) und D = (1 1 4), rot, Linienstärke 7, Linienart strich-punktiert, Beschriftung mit „Länge l“ b) AB mit A = (‒1 1 0) und B = (3 1 1), blau, Linienstärke 3, Linienart durchgehend, Beschriftung mit der Länge der Strecke Gerade durch zwei Punkte zeichnen, Schneiden zweier Objekte, Mittelpunkt einer Strecke G E . 07 Zeichne das Dreieck ABC mit A = (‒1 1 ‒1), B = (4 1 3) und C = (1,5 1 4) und konstruiere seinen Schwerpunkt! Lösung: Folge den Anweisungen! Speichere die Datei zu Aufgabe G E.07 ab! Wähle dazu im Menü den Punkt „Export“ aus und klicke auf „ggb“! Achte beim Dateinamen darauf, dass er mit .ggb endet! Der Punkt „Speichern“ im Menü führt zum Abspeichern der Datei auf eine Online-Plattform von GeoGebra, sofern ein entsprechender Account angelegt ist. Algebra: Zeichne die Punkte A, B und C! Achte bei C darauf, dass das Komma in GeoGebra mit einem Punkt eingegeben werden muss: C = (1.5,4) ! 1 2 3 4 5 6 Werkzeugleiste/Grafik: Wähle das Werkzeug „Vieleck“ aus! Klicke nun nacheinander auf die Punkte A, B, C und schließlich wieder auf den Punkt A (entweder im Grafik- oder Algebrafenster)! 1 2 3 4 5 6 Algebra: Das Dreieck wird mit seinem Flächeninhalt 7,5 angezeigt. Die Seitenlängen werden aufgelistet. 1 2 3 4 5 6 Werkzeugleiste/Grafik: Klicke auf das Werkzeug „Mittelpunkt“ und danach auf die drei Dreiecksseiten! Es werden die Seitenmittelpunkte eingezeichnet. 1 2 3 4 5 6 Werkzeugleiste/Grafik: Wähle das Werkzeug „Gerade“ und klicke danach jeweils zwei Punkte im Grafikfenster an, durch die die Schwerlinien verlaufen sollen! 1 2 3 4 5 6 Werkzeugleiste/Grafik: Wähle das Werkzeug „Schneide“ und klicke danach zwei der Schwerlinien an! Es erscheint der Schwerpunkt. 1 2 3 4 5 6 Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv
11 Einführung in die Software Geogebra Statt der Werkzeuge „Vieleck“, „Mittelpunkt“, „Gerade“ und „Schneide“ hätte man auch entsprechende Befehle in das Algebrafenster schreiben können: Vieleck[A,B,C] Mittelpunkt[A,B] Gerade[C,D] Schneide[d,e] Das hätte übrigens den Vorteil, dass man den entstehenden Objekten den gewünschten Namen zuweisen könnte. Beispielsweise wird dem Schwerpunkt des Dreiecks in Aufgabe G E.07 durch die Eingabe S = Schneide[d,e] sofort der Name S zugewiesen. G E . 08 Löse Aufgabe G E.07 ausschließlich durch die Eingabe von Befehlen in das Algebrafenster! Wähle geeignete Bezeichnungen für die vorkommenden Objekte! Konstruktionsprotokoll An der Zeichnung aus G E.07 sieht man nicht mehr, welche Schritte bei der Konstruktion des Schwerpunkts nacheinander gemacht wurden. Zu diesem Zweck speichert GeoGebra ein Konstruktionsprotokoll, das man im Menü über „Ansicht“ und den Unterpunkt „Konstruktionsprotokoll“ abrufen kann. Es öffnet sich ein weiteres Fenster in GeoGebra, in dem alle vorkommenden Objekte in der Reihenfolge ihrer Entstehung aufgelistet sind. Daran erkennt man zB auch, dass die drei Dreiecksseiten zeitgleich entstanden sind (jeweils Nummer 4 im Protokoll). Insbesondere bei komplexeren Konstruktionen kann ein solches Protokoll hilfreich sein, um alle Schritte nachvollziehen zu können. Das Konstruktionsprotokoll lässt sich über das Symbol rechts oben schließen. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
12 Einführung in die Software Geogebra Formatierung einer Zeichnung G E . 09 Formatierung einer Zeichnung Beschrifte in der Zeichnung aus G E.07 die Achsen und die Dreiecksseiten! Blende die Beschriftungen der Punkte D, E und F aus und verkleinere die Punkte auf Punktgröße 2! Benenne den Schwerpunkt in S um! Lösung: Das Umbenennen und Beschriften von Objekten kennen wir schon aus G E.02 und G E.05. Benenne auf diese Art den Schwerpunkt um und beschrifte die Dreiecksseiten! Eigenschaften: Wähle die Registerkarte „xAchse“ aus und trage im Feld „Beschriftung“ 1. Achse ein! Verfahre ebenso für die 2. Achse! Schließe danach den Eigenschaften-Dialog, um die Änderungen zu übernehmen! 1 2 3 4 5 Kontextmenü/Eigenschaften-Dialog: Wähle den Punkt „Eigenschaften“ aus! Im Eigenschaften-Dialog können nun die Beschriftungen ausgeblendet und die Punktgrößen verändert werden. 1 2 3 4 5 Grafik: Für die Achsenbeschriftung öffne den Eigenschaften-Dialog des Grafikfensters (wähle dazu im Kontextmenü des Grafikfensters den Punkt „Grafik“)! 1 2 3 4 5 Grafik: Sollen die Beschriftungen der Seiten etwas verschoben werden, aktiviere den Zugmodus (Werkzeug „Bewege“ ) und verschiebe die Beschriftung mit gedrückter linker Maustaste an die gewünschte Position! 1 2 3 4 5 Algebra: Klicke bei gedrückter Strg-Taste nacheinander knapp neben die Kreise neben den Punkten D, E und F, um sie zu markieren! Klicke dann mit der rechten Maustaste auf eine der Markierungen, um in ein gemeinsames Kontextmenü der drei Punkte zu gelangen! 1 2 3 4 5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
13 Einführung in die Software Geogebra G E .10 a) Wähle als Linienart für die Schwerlinien in G E.09 kurz-strichliert aus! b) Formatiere die Punkte A, B und C aus G E.09 schwarz mit Punktgröße 2! Text einfügen G E .11 Füge in die Zeichnung von G E.10 den Text „Der Schwerpunkt des Dreiecks ist S = (1.5,2)“ ein, wobei die Koordinaten von S als dynamischer Text eingegeben werden sollen. Formatiere den Text passend! Lösung: Folge den Anweisungen! Speichere die Datei auf der Festplatte ab! Wähle dazu im Menü „Datei“ und danach „Export“! Wir arbeiten in Aufgabe G E.12 an dieser Datei weiter. Statischer und dynamischer Text Wird Text in ein Textfeld geschrieben, so wird er von GeoGebra einfach übernommen (statischer Text). Wird zusätzlich durch Klicken auf „Erweitert“ und das kleine GeoGebra-Symbol ein Objekt in den Text eingefügt, so wird nicht der Name, sondern der Wert des Objekts angezeigt (dynamischer Text, in G E.11 also die Koordinatendarstellung von S). Der Vorteil der Eingabe eines dynamischen Texts ist, dass sich dieser mitverändert, wenn man die Eckpunkte des Dreiecks im Zugmodus verändert (siehe Aufgabe G E.12). Man kann in einem Textfeld statischen und dynamischen Text auch mehrmals abwechselnd einfügen. Werkzeugleiste: Wähle das Werkzeug „Text“ ! 1 2 3 4 5 Grafik: Klicke nun an jene Stelle im Grafikfenster, an der der Text eingefügt werden soll! Es öffnet sich ein Fenster, in das der Text eingetragen werden kann. Das Textfeld kann auch nachträglich noch mit gedrückter linker Maustaste an eine andere Stelle verschoben werden. 1 2 3 4 5 Grafik: Öffne den Eigenschaften-Dialog des Textfelds! Wähle die Registerkarte „Text“ und formatiere ihn passend (Schriftgröße, Schriftart, kursiv bzw. fett)! Schließe das Fenster! 1 2 3 4 5 Text: Gib in das Textfeld den Text Der Schwerpunkt des Dreieck ist S = ein! Klicke danach auf „Erweitert“ sowie auf das kleine GeoGebra-Symbol, um zu einer Liste der bereits vorhandenen Objekte zu kommen! 1 2 3 4 5 Text: Wähle den Punkt S aus! Er wird dem Text hinzugefügt 1 2 3 4 5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
14 Einführung in die Software Geogebra Abhängige und freie Objekte G E .12 Zeichne das Dreieck ABC mit A = (‒2 1 0), B = (5 1 2) und C = (‒ 0,5 1 4) und konstruiere seinen Schwerpunkt! Nutze dazu das Ergebnis aus Aufgabe G E.11 und verwende den Zugmodus! Lösung: Um das Dreieck und seinen Schwerpunkt nicht neu zeichnen zu müssen, können wir die Konstruktion aus G E.11 nutzen. Beachte : Durch das Verschieben der Punkte A, B und C ändern sich auch die Einträge im Algebrafenster. Außerdem ändert sich die Konstruktion des Schwerpunkts automatisch mit und sogar der dynamische Text im Textfeld wird angepasst! Das alles passiert dynamisch, also schon während des Ziehens! Freie und abhängige Objekte Freie Objekte sind solche, deren Wert bzw. Position nicht von anderen Objekten abhängt (Punkte A, B und C in G E.12). Man kann sie im Zugmodus mit gedrückter linker Maustaste verschieben. Abhängige Objekte sind solche, deren Wert bzw. Position von anderen Objekten abhängt (Dreiecksseiten, Seitenmittelpunkte, Schwerlinien, Schwerpunkt S in G E.12). Man kann sie nicht direkt verschieben. Sie verändern sich nur dann, wenn jene Objekte verändert werden, von denen sie selbst abhängen. Löscht man ein Objekt, von dem ein anderes Objekt abhängt, so wird automatisch auch dieses abhängige Objekt gelöscht. Grafik: Verschiebe den Punkt A mit gedrückter linker Maustaste an die Position (‒2 1 0)! Verfahre analog mit den Punkten B und C! 1 2 Werkzeugleiste: Aktiviere den Zugmodus durch einen Klick auf das Werkzeug „Bewege“ ! 1 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
15 Einführung in die Software Geogebra G E .13 Gegeben ist das Dreieck ABC mit A = (‒2 1 ‒1), B = (3 1 1) und C = (1,5 1 4). a) Zeichne das Dreieck und konstruiere seinen Umkreis! Hinweis : Zur Konstruktion der Seitensymmetralen verwende das Werkzeug „Streckensymmetrale“ ! Für den Kreis wähle das Werkzeug „Kreis mit Mittelpunkt durch Punkt“ ! Suche diese Werkzeuge in den Untermenüs der Werkzeugleiste! b) Wechsle in den Zugmodus (Werkzeug „Bewege“ ), verschiebe die Punkte A, B und C im Grafikfenster und beobachte, wie sich die Konstruktion mitverändert! G E .14 Gegeben ist das Dreieck ABC mit A = (1 1 ‒1), B = (3 1 2) und C = (‒ 2 1 3,5). a) Zeichne das Dreieck und konstruiere seinen Inkreis! Hinweis : Zur Konstruktion der Winkelsymmetralen verwende das Werkzeug „Winkelsymmetrale“ ! GeoGebra zeichnet jeweils zwei Winkelsymmetralen ein. Arbeite mit jener weiter, die durch das Dreieck verläuft. b) Wechsle in den Zugmodus (Werkzeug „Bewege“ ), verschiebe die Punkte A, B und C im Grafikfenster und beobachte, wie sich die Konstruktion mitverändert! G E .15 Gegeben ist das Dreieck ABC mit A = (0 1 0), B = (5 1 2) und C = (3 1 5). a) Zeichne das Dreieck und konstruiere seinen Höhenschnittpunkt! Hinweis : Zur Konstruktion der Trägergeraden der Höhen verwende das Werkzeug „Senkrechte Gerade“ ! b) Wechsle in den Zugmodus (Werkzeug „Bewege“ ), verschiebe die Punkte A, B und C im Grafikfenster und beobachte, wie sich die Konstruktion mitverändert! G E .16 a) Konstruiere die Eulersche Gerade zum Dreieck ABC mit A = (‒2 1 ‒1), B = (4 1 1) und C = (1 1 4)! Konstruiere dazu zuerst den Schwerpunkt, den Höhenschnittpunkt und den Umkreismittelpunkt! b) Blende die Seitenmittelpunkte aus! c) Formatiere die Schwerlinien, die Trägergeraden der Höhen und die Seitensymmetralen kurz-strichliert! d) Formatiere die Eulersche Gerade rot mit Linienstärke 4! Beschrifte Sie mit „Eulersche Gerade“! e) Beschrifte den Schwerpunkt mit S, den Höhenschnittpunkt mit H und den Umkreismittelpunkt mit U! f) Füge den Text „Konstruktion der Eulerschen Geraden“ an einen geeigneten Platz im Grafikfenster ein und wähle als Schriftgröße „Groß“ aus! Speichern, Exportieren und Drucken Man kann GeoGebra-Dateien nach Klick auf den Menübutton, Wahl von „Datei“ und anschließend „Export“ (ggb) sichern und zu einem späteren Zeitpunkt wieder öffnen. Achte beim Dateinamen darauf, dass die Endung „.ggb“ lautet! Man kann aber auch die Grafik-Ansicht einer geöffneten GeoGebra-Datei exportieren, zB um sie als Bild in einem Textverarbeitungsprogramm (zB Word) einzufügen. Das wird auf der nächsten Seite erklärt. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
16 Einführung in die Software Geogebra Grafik-Ansicht als Bild Wähle nach Klick auf den Menübutton den Punkt „Datei“ und danach den Unterpunkt „Export“. Wähle nun „png“, um die Grafik-Ansicht lokal auf der Festplatte zu speichern. Achte beim Dateinamen auf die Endung „.png“! Beim Abspeichern einer Grafik-Ansicht als Bild wird es in vielen Fällen ratsam sein, zunächst die Schriftgröße in GeoGebra so einzustellen, dass sie dann auch im Textverarbeitungsprogramm noch gut lesbar ist (wähle dazu im Menü „Einstellungen“ und den Unterpunkt „Schriftgröße“). Drucken Will man das Algebra- oder das Grafikfenster drucken, so kann man das über den Menüpunkt „Datei“ und den Unterpunkt „Druckvorschau“ machen. GeoGebra erlaubt hier die Auswahl des gewünschten Fensters und die Wahl eines geeigneten Maßstabs. Möchte man das CAS-Fenster oder die Tabellenansicht exportieren (bzw. drucken), so empfiehlt es sich, einen Screenshot des Bildschirms zu machen und den gewünschten Bereich am Bildschirm auszuschneiden. Bildausschnitt drucken Will man nur einen bestimmten Bildausschnitt des Grafikfensters drucken oder als Bild exportieren, so kann man das Programmfenster von GeoGebra (wie bei Programmfenstern üblich) passend vergrößern bzw. verkleinern. (Befindet sich GeoGebra im Vollbildmodus, so klicke zunächst auf .) Es wird dann nur jener Teil der Grafik gedruckt bzw. exportiert, der auch im Grafikfenster sichtbar ist. G E .17 Speichern und Drucken der GeoGebra-Datei zu Aufgabe G E.12 a) Speichere die Datei zu G E.12 lokal auf der Festplatte ab! b) Exportiere die Grafik-Ansicht in ein Textverarbeitungsprogramm! c) Drucke die Grafik-Ansicht! Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
17 Einführung in die Software Geogebra Zeichenblatt verschieben, vergröSSern und verkleinern G E .18 Zeichne den Punkt P = (30 1 ‒20) und betrachte ihn im Grafikfenster! Lösung: Diese Aufgabe klingt einfach, doch ergibt sich hier eine unerwartete Schwierigkeit. Neben den Werkzeugen „Vergrößere“ und „Verkleinere“ kann man auch mit dem Scrollrad der Maus hinein- bzw. hinauszoomen. Orientierung beim Verschieben Sobald durch das Verschieben des Zeichenblatts der Koordinatenursprung aus dem Sichtbereich verschwindet, blendet GeoGebra links oben und rechts unten im Grafikfenster die Koordinaten der beiden Eckpunkte des aktuellen Sichtbereichs ein. Diese Koordinaten helfen bei der Orientierung. G E .19 Zeichne das Dreieck ABC und positioniere es so, dass es im Grafikfenster gut sichtbar ist! a) A = (‒10 1 10), B = (12 1 ‒ 3) und C = (5 1 14) b) A = (‒ 20 1 ‒ 30), B = (50 1 10) und C = (60 1 40) c) A = (‒ 200 1 ‒130), B = (75 1 10) und C = (0 1 260) G E . 20 Zeichne die Gerade g, die durch die Punkte A = (0 1 0) und B = (1 1 1) verläuft, und die Gerade h, die durch die Punkte C = (4 1 0) und D = (5 1 1,01) verläuft! Schließe dann das Algebrafenster durch einen Klick auf das Fenstermenü und das Symbol rechts oben im Algebrafenster! Konstruiere den Schnittpunkt der beiden Geraden und bestimme näherungsweise seine Koordinaten durch Ablesen im Grafikfenster! Algebra/Grafik: Gib P = (30,‒20) ein! Der Punkt P erscheint zwar im Algebrafenster, man sieht ihn aber nicht im Grafikfenster – der Bildausschnitt ist zu klein. 1 2 3 Werkzeugleiste/Grafik: Wähle das Werkzeug „Verschiebe Grafik-Ansicht“ , klicke danach irgendwo ins Grafikfenster und verschiebe die Grafik mit gedrückter linker Maustaste so weit, bis der Punkt P zum Vorschein kommt! (Siehe oranger Kasten: Orientierung beim Verschieben) 1 2 3 Werkzeugleiste/Grafik: Sollen sowohl der Punkt, als auch die Koordinatenachsen sichtbar sein, kann man mit dem Werkzeug „Verkleinere“ arbeiten. Klicke nach der Auswahl des Werkzeugs so oft ins Grafikfenster, bis der gewünschte Bildausschnitt erreicht ist! Das Werkzeug „Vergrößere“ funktioniert analog. 1 2 3 Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv
18 Einführung in die Software Geogebra Bild einfügen G E . 21 Bestimme näherungsweise den Flächeninhalt von Österreich! Lösung: Wir werden eine Österreichkarte mit Maßstab in das Grafikfenster importieren und danach die Außengrenze Österreichs durch ein Vieleck annähern. Eine Österreichkarte mit Maßstab findet man entweder im Internet, in einem Atlas (scannen!) oder über Google Maps (Screenshot anfertigen!). Speichere die Österreichkarte als Bilddatei auf der Festplatte! Um nun den Flächeninhalt von Österreich näherungsweise zu ermitteln, vergleichen wir die Längen (Flächen) im Grafikfenster mit den Längen (Flächen) in der Wirklichkeit: 1,49 š 100 km w 0,0149 š 1 km w 0,01492 š 1 km2 w 17,4 š (17,4 : 0,01492) km2 ≈ 78000 km2 Eine Fläche von 17,4 im Grafikfenster entspricht also einer Fläche von etwa 78000 km2 in Wirklichkeit (Vergleiche mit dem Wert, den man im Internet oder in Büchern findet!). G E . 22 Füge ein (annähernd) quadratisches Bild ins Grafikfenster ein! Öffne danach die Registerkarte „Position“ im Eigenschaften-Dialog des Bilds! Lege als Eckpunkte des Bilds folgende Punkte fest und schließe den Eigenschaften- Dialog! Beschreibe und erkläre, was mit dem Bild jeweils passiert! Werkzeugleiste/Grafik: Klicke nach Auswahl des Werkzeugs „Vieleck“ im Gegenuhrzeigersinn auf Punkte entlang der Außengrenze Österreichs! Klicke am Ende wieder den ersten Punkt an, um das Vieleck zu schließen! 1 2 3 4 5 Algebra: Lies den Flächeninhalt des Vielecks ab (hier: 17,4)! Um den Maßstab berücksichtigen zu können, zeichne eine Strecke vom Anfang zum Ende der 100 km-Markierung auf der Karte und lies ihre Länge im Algebrafenster ab (evtl. hinunterscrollen, hier: 1,49)! 1 2 3 4 5 Werkzeugleiste: Wähle das Werkzeug „Bild“ ! Klicke auf „Datei auswählen“ und suche auf der Festplatte nach der abgespeicherten Österreichkarte! Klicke danach auf „OK“! 1 2 3 4 5 Werkzeugleiste/Grafik: Verschiebe bzw. verkleinere die Grafik-Ansicht so, dass die gesamte Österreichkarte sichtbar ist! 1 2 3 4 5 Grafik: Durch Verschieben der Punkte A und B an den Ecken des Bildes lässt sich das Bild an eine beliebige Stelle des Grafikfensters verschieben! 1 2 3 4 5 1. Eckpunkt 2. Eckpunkt 4. Eckpunkt a) (1 1 1) (10 1 1) (1 1 10) b) (1 1 1) (10 1 10) (1 1 10) c) (10 1 1) (1 1 1) (10 1 10) d) (1 1 10) (10 1 1) (10 1 1) e) (1 1 10) (2 1 10) (1 1 1) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
19 Grundkompetenzen Wissen über die Zahlenmengen N, Z, Q, R… verständig einsetzen können Wissen über algebraische Begriffe angemessen einsetzen können: Variable, Terme, Formeln, (Un-)gleichungen, […]; Äquivalenz, Umformungen, Lösbarkeit. Mit Aussagen und Mengen umgehen können Im Folgenden nutzen wir GeoGebra dazu, bestimmte Mengen zu veranschaulichen. Schlage dazu im Schulbuch Mathematik verstehen 5 die Seite 9 auf! Wir werden die dort abgebildeten Mengendiagramme in GeoGebra „nachzeichnen“. Veranschaulichen von Mengen G 1 . 01 Es seien A und B Teilmengen einer Grundmenge G. Veranschauliche die drei Mengen in einem gemeinsamen Diagramm! Lösung: Folge den Anweisungen! AG-R 1 .1 AG-R 1 . 2 AG-R 1 . 3 Werkzeugleiste: Wähle das Werkzeug „Kreis mit Mittelpunkt und Radius“ aus! 1 2 3 4 5 Werkzeugleiste/Grafik: Verschiebe das Zeichenblatt so, dass die beiden Kreise zentral im Grafikfenster liegen! Wähle nun das Werkzeug „Vieleck“ und klicke nacheinander auf die Punkte (‒3 1 3), (‒3 1 ‒3), (6 1 ‒3), (6 1 3) und (‒3 1 3). Öffne den Eigenschaften-Dialog des Rechtecks und stelle in der Registerkarte „Farbe“ die Deckkraft auf 0 und die Farbe auf schwarz! Blende die Beschriftungen der Rechtecksseiten sowie der beiden Kreise aus! 1 2 3 4 5 Algebra/Grafik: Klicke auf die kleinen Kreise links neben den Punkten A, B, C, D, E und F! Dadurch werden diese Punkte ausgeblendet! Blende im Kontextmenü des Grafikfensters die Achsen und das Koordinatengitter aus! Speichere die Datei! 1 2 3 4 5 Grafik: Wir zeichnen als nächstes die Grundmenge G ein. Achte darauf, dass das Koordinatengitter eingeblendet ist! 1 2 3 4 5 Grafik: Klicke zuerst auf den Punkt (0 1 0)! Es öffnet sich ein Fenster, in dem der Radius 2 festgelegt werden kann. Klicke danach auf den Punkt (3 1 0) und wähle auch hier den Radius 2 . 1 2 3 4 5 1 Zahlen und Zahlenmengen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
20 1 Zahlen und Zahlenmengen Ein- und Ausblenden von Objekten I) Man kann Objekte nicht nur durch Anklicken des kleinen Kreises links neben dem Objekt im Algebrafenster ausblenden, sondern auch über sein Kontextmenü. II) A usgeblendete Objekte sieht man zwar nicht mehr, sie sind aber immer noch im Hintergrund vorhanden (im Gegensatz zu gelöschten Objekten). Man kann sie durch Anklicken des kleinen Kreises im Algebrafenster wieder anzeigen lassen. Füllen von Objekten G 1 . 02 Es seien A und B Teilmengen einer Grundmenge G. Veranschauliche die Menge A ± B! Lösung: Wir starten mit dem Ergebnis von G 1.01. Algebra/Eigenschaften: Markiere die Kreise c und d im Algebrafenster und öffne ihren gemeinsamen Eigenschaften-Dialog! Wähle in der Registerkarte „Farbe“ die gewünschte Farbe und setze die Deckkraft auf den Wert 100! 1 2 3 Algebra/Grafik: Um die beiden Kreise schwarz zu umranden, zeichnen wir sie nochmal. Gib dazu in jeweils eine neue Zeile des Algebrafensters nacheinander g = c bzw. h = d ein und drücke jeweils Enter! Blende danach die Beschriftungen von g und h aus! 1 2 3 Eigenschaften: In der Registerkarte „Darstellung“ könnte man als Füllung auch „Schraffur“ auswählen! 1 2 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
21 1 Zahlen und Zahlenmengen Kreisbögen zeichnen G 1 . 03 Es seien A und B Teilmengen einer Grundmenge G. Veranschauliche die Menge A ° B! Lösung: Wir starten mit dem Ergebnis von G 1.01. Blende zunächst die beiden Kreismittelpunkte ein und schneide die beiden Kreise mit dem Werkzeug „Schneide“ ! G 1 . 04 Es seien A und B Teilmengen einer Grundmenge G. Veranschauliche die Menge A\B! Grafik/Algebra: Zeichne nun nochmal die beiden Kreise, um wieder schwarze Umrandungen zu erhalten! Blende danach die Mittelpunkte und Schnittpunkte der Kreise aus! Blende nun auch die Beschriftungen der beiden Kreise und der beiden Kreisbögen aus! 1 2 3 Eigenschaften: Öffne die Registerkarte „Farbe“ im Eigenschaften-Dialog des Kreisbogens, wähle eine Farbe und setze die Deckkraft auf den Wert 100! Das füllt die Fläche des zugehörigen Kreissegments. Zeichne und formatiere nun auch den Kreisbogen mit Mittelpunkt B durch die Punkte G und H! 1 2 3 Werkzeugleiste/Grafik: Wähle das Werkzeug „Kreisbogen“ und klicke dann zunächst den Mittelpunkt A und danach H und G an (also im Gegenuhrzeigersinn, sonst erhält man den anderen möglichen Kreisbogen)! 1 2 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
22 1 Zahlen und Zahlenmengen Einfache Grafikwerkzeuge G 1 . 05 Strecken der Länge 9_ n Konstruiere eine Strecke mit der Länge 9__ 10! Hinweis : Stelle die Zahl unter der Wurzel in der Form a2 + b2 dar, zeichne ein rechtwinkeliges Dreieck mit den Kathetenlängen a und b, und wende den pythagoräischen Lehrsatz an! Lösung: Die Zahl 10 unter der Wurzel lässt sich in der Form a2 + b2 darstellen: 10 = 12 + 32. Begib dich ins Grafikfenster und folge den Anweisungen! Werkzeugleiste/Grafik: Wähle das Werkzeug „Strecke mit fester Länge“ , klicke an eine beliebige Stelle im Grafikfenster (dort erscheint dann der Punkt A), und gib als Länge 1 ein! 1 2 3 4 5 Werkzeugleiste/Grafik: Wähle das Werkzeug „Kreis mit Mittelpunkt und Radius“ , klicke auf Punkt B und gib als Radius 3 ein! 1 2 3 4 5 Werkzeugleiste/Grafik: Wähle das Werkzeug „Senkrechte Gerade“ , klicke auf Punkt B sowie auf die Strecke AB! 1 2 3 4 5 Werkzeugleiste/Grafik: Wähle das Werkzeug „Schneide“ , klicke auf den Kreis und auf die senkrechte Gerade! 1 2 3 4 5 Werkzeugleiste/Grafik: Wähle das Werkzeug „Strecke“ und klicke auf die Punkte A und D! Man erhält eine Strecke der Länge 9 ____ 12 + 32= 9__ 10. 1 2 3 4 5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
23 1 Zahlen und Zahlenmengen Die Nutzung der Bildschirmtastatur G 1 . 06 Berechnen von Wurzeln Gib Näherungswerte für 9__ 137und 3 9__ 57an! Lösung: Diese Aufgabe kann man selbstverständlich mit jedem Taschenrechner genauso lösen. Wenn man aber gerade in GeoGebra arbeitet, ist es natürlich praktischer, den Wert gleich dort auszurechnen. Man stößt allerdings auf eine Schwierigkeit: Auf der Tastatur gibt es kein Wurzelzeichen. Begib dich ins Algebrafenster und folge den Anweisungen! Bildschirmtastatur/Algebra: Klicke auf den Button und gib die Zahl 137 ein! Der Näherungswert für 9__ 137wird ausgegeben. 1 2 3 Bildschirmtastatur: In dieser Ansicht der Bildschirmtastatur gibt es nur einen Button für die Quadratwurzel. Zur Berechnung der Kubikwurzel muss man zu einer anderen Ansicht wechseln. Klicke dazu auf den Button ! 1 2 3 Bildschirmtastatur/Algebra: Klicke auf den Button und gib zunächst die Zahl 3 (zur Berechnung der 3ten Wurzel) ein! Dann klicke im Algebrafenster rechts neben 3 9_ und gib die Zahl 57 ein! Der Näherungswert für 3 9__ 57wird ausgegeben. 1 2 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
24 1 Zahlen und Zahlenmengen Hinweis Um wieder zur ursprünglichen Ansicht der Bildschirmtastatur zurückzukehren, klickt man auf den Button . Näherungsweise Angabe von Zahlen G 1 . 07 Runden Runde die Zahl 67,485 auf Zehntel! Lösung: Begib dich in das CAS und folge den Anweisungen! G 1 . 08 Multipliziere zunächst auf dem Papier die beiden Zahlen 67,485 und 23,216 und runde das Ergebnis auf Zehntel! Runde dann zuerst die beiden Zahlen 67,485 und 23,216 auf Zehntel und multipliziere sie! 1) Vergleiche die Ergebnisse und erkläre den Unterschied! 2) Stelle in GeoGebra wie oben beschrieben „Runden auf 1 Dezimalstelle“ ein, gib die beiden Zahlen ein und multipliziere sie! Erhält man eines der beiden Ergebnisse aus Punkt 1? Primzahlen G 1 . 09 Zerlegung einer Zahl in Primfaktoren Zerlege die Zahl 462 in Primfaktoren! Lösung: Das bekannte Zerlegungsverfahren ist mit der Hand sehr mühselig. Mit GeoGebra lässt sich die Zerlegung einfach durchführen (beachte aber, dass für sehr große Zahlen die Zerlegung auch mit GeoGebra sehr lange dauert). Wechsle (durch Anklicken des Menüpunkts CAS im Menü Ansicht) in das CAS und folge den Anweisungen! Als Lösung erhält man eine Liste von Primfaktoren. Die Primfaktorzerlegung von 462 lautet also 2·3·7·11. CAS: Gib die Zahl 67.485 ein und wähle das Werkzeug „Berechne numerisch“ ! Beachte, dass das Komma in GeoGebra als Punkt geschrieben wird! Die Zahl erscheint im CAS und wird (gemäß der Voreinstellung) auf 2 Kommastellen gerundet. 1 2 Menübutton: Wähle im Menü „Einstellungen“ den Menüpunkt „Runden“, und ändere die Genauigkeit auf 1 Dezimalstelle (also auf Zehntel)! Die Zahl wird auf Zehntel gerundet dargestellt. 1 2 CAS: Gib den Befehl Primfaktoren[462] ein! 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
25 1 Zahlen und Zahlenmengen Hinweise � Möchte man im CAS ein Symbol eingeben, das sich nicht auf der Tastatur findet (zB α oder Λ), so verwendet man wie oben gezeigt die „Bildschirmtastatur“. � Möchte man eine Zeile im CAS löschen, so klickt man auf das graue Feld neben der Zeile (welches auch die Zeilennummer enthält) und klickt im Kontextmenü auf „Lösche Zeile n“. G 1 .10 Zerlege die Zahl 2048 mit GeoGebra in Primfaktoren! Was bedeutet das Ergebnis? G 1 .11 Welche Ausgabe liefert das CAS von GeoGebra, wenn man versucht, eine Primzahl in ihre Primfaktoren zu zerlegen? G 1 .12 Partnerarbeit: Wählt je drei beliebige, große (zB 10-stellige) ungerade Zahlen aus und überprüft mit GeoGebra, aus wie vielen Primfaktoren diese Zahlen bestehen! Diskutiert, ob es eine Möglichkeit gibt, einer Zahl „anzusehen“, ob sie aus vielen oder wenigen Primfaktoren besteht! Gibt es Sonderfälle, bei denen man einfach (ohne Computer oder langer Rechnung auf dem Papier) feststellen kann, dass eine Zahl nur aus wenigen Primfaktoren besteht? OO Aufgaben aus dem Schulbuch Mathematik verstehen 5 Die in diesem Kapitel erworbenen Technologie-Fertigkeiten können an folgenden Aufgaben aus dem Schulbuch weiter vertieft werden. Löse die Aufgaben mit Hilfe von GeoGebra: 1 . 20 , 1 . 21 , 1 . 37, 1 . 38 , 1 . 39 , 1 . 78 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
26 Grundkompetenzen Wissen über algebraische Begriffe angemessen einsetzen können: Variable, Terme, Formeln, (Un-)Gleichungen, […]; Äquivalenz, Umformungen, Lösbarkeit. Einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten können. Lineare Gleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen und die Lösung im Kontext deuten können. Äquivalenzumformungen von Termen G 2 . 01 Äquivalenz von Termen feststellen Stelle fest, ob die angegebenen Terme äquivalent sind: a) (x + y)2, x2 + y2 b) (x – y)2, x2 – 2· x · y + y2 Lösung: Mit GeoGebra lässt sich die Äquivalenz einfacher Terme überprüfen. Öffne das CAS-Fenster und folge den Anweisungen! Hinweis Um beim Term x2 direkt das Quadrat-Symbol schreiben zu können, hält man die AltGr-Taste fest und drückt die Taste 2. Alternativ kann man auch x^2 eingeben; GeoGebra schreibt dann automatisch x2. Für die Multiplikation gibt man x*y ein; GeoGebra schreibt dann automatisch x · y. G 2 . 02 Vereinfachen von Termen Vereinfache den Term 3d – (d – a) + (a – d)! Lösung: Öffne das CAS-Fenster und folge den Anweisungen! AG-R 1 . 2 AG-R 2 .1 AG-R 2 . 2 CAS/Werkzeugleiste: Gib die beiden Terme aus a) ein und setze dazwischen zwei Gleichheitszeichen, d.h. gib (x + y)2 == x2 + y2 ein und wähle das Werkzeug „Berechne symbolisch“ ! Das Ergebnis „false“ bedeutet, dass die beiden Terme nicht äquivalent sind. 1 2 CAS/Werkzeugleiste: Verfahre ebenso mit den beiden Termen aus b), d.h. gib (x – y)2 == x2 – 2· x · y + y2 ein und wähle das Werkzeug „Berechne symbolisch“ ! Das Ergebnis „true“ bedeutet, dass die beiden Terme äquivalent sind. 1 2 CAS/Werkzeugleiste: Verwende den Befehl „Vereinfache“, d.h. gib Vereinfache[3d – (d – a) + (a – d) ein und wähle das Werkzeug „Berechne symbolisch“ ! 2 Terme und Formeln Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
27 2 Terme und Formeln Hinweis Drückt man nach der Eingabe eines Terms die Enter-Taste, so wird das ausgewählte (markierte) Werkzeug auf die Eingabe angewendet. Lösen von Gleichungen G 2 . 03 Lösen einer linearen Gleichung Löse die Gleichung 1 _ 4x – 7 = 0! Lösung: Mit GeoGebra lassen sich lineare Gleichungen (und auch andere Gleichungen, wie wir später sehen werden) sowohl graphisch als auch algebraisch lösen. Zunächst wird gezeigt, welchen Einfluss die Werkzeuge „Berechne“, „Numerisch“ und „Behalte Eingabe“ auf die Eingabe eines Terms oder einer Gleichung haben. Wechsle dazu in das CAS-Fenster und folge den Anweisungen! Drücke dabei nach dem Eintippen der Gleichung nicht auf die Enter-Taste, sondern verwende das angegebene Werkzeug, um die Eingabe zu bestätigen! G 2 . 04 Löse mit GeoGebra die Gleichung 4x _ 5 – 2 = 0! OO Aufgaben aus dem Schulbuch Mathematik verstehen 5 Die in diesem Kapitel erworbenen Technologie-Fertigkeiten können an folgenden Beispielen aus dem Schulbuch weiter vertieft werden. Löse die Aufgaben mit Hilfe von GeoGebra: 2 . 56 – 2 . 57, 2 . 59 , 2 . 62 , 2 . 78 , 2 . 80 – 2 . 83 , 2 . 85 CAS/Werkzeugleiste: Gib die Gleichung 1 _ 4 x – 7 = 0 ein und wähle das Werkzeug „Behalte Eingabe“ ! Die eingegebene Gleichung wird unverändert ausgegeben. 1 2 3 4 CAS/Werkzeugleiste: Gib dieselbe Gleichung ein und wähle das Werkzeug „Berechne symbolisch“ ! Die Gleichung wird (gegebenenfalls vereinfacht) wieder ausgegeben, aber nicht gelöst. 1 2 3 4 CAS/Werkzeugleiste: Gib die Gleichung ein letztes Mal ein und wähle das Werkzeug „Löse“ ! Die Gleichung wird gelöst. 1 2 3 4 CAS/Werkzeugleiste: Gib die Gleichung erneut ein und wähle das Werkzeug „Berechne numerisch“ ! Zahlen (etwa Bruchzahlen) werden in Dezimalschreibweise (bei Bedarf auch näherungsweise) ausgegeben. 1 2 3 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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